MÓDULO DE ESTADÍSTICA Medidas de Dispersión

Objetivo: Al finalizar el módulo de medidas de dispersión, el estudiante será capaz de: hallar el rango, varianza y desviación estándar de un conjunto de datos.

Medidas de dispersión: Las medidas de dispersión describen la variabilidad entre un conjunto de datos. Al estar cercanos los valores de los datos, carecen de dispersión. A mayor dispersión, mayor es la diferencia entre los datos.

𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 – 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 Las medidas de dispersión son: rango (alcance), varianza, desviación estándar. Rango (alcance) = La diferencia entre el valor máximo de un conjunto de datos y el mínimo.  𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 – 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

Ejemplo 1: Determinar el rango de las estaturas de seis estudiantes: 162cm, 176cm, 180cm, 182cm, 178 cm y 175cm Debemos buscar el valor mayor = 180 cm, el valor menor = 162 cm. 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = (180 – 162) 𝑐𝑚 = 18 𝑐𝑚. Hay una gran dispersión de datos.

Ejemplo 2: Determinar el rango de las propinas de un mesero durante nueve días de labor. Si los datos son: $20, $21, $24, $24, $23, $28, $24, $36, $28 Hallar el valor mayor = $36, el valor menor = $20, entonces 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = $36 − $20 = $16 Entonces hay una dispersión alta de datos.

Ejemplo 3: Encontrar el rango de los sueldos semanales de once trabajadores $350, $280, $450, $373, $470, $450, $300, $500, $490, y $430 Determinar el valor mayor = $490, el valor menor = $280, entonces 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = $490 − $280 = $210. Hay una dispersión alta de sueldos.

Donde varianza = 𝜎 2 , 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎= 𝜇 , el número de datos = n. Varianza y desviación estándar La desviación estándar se determina cuando se ha encontrado la varianza. Luego, la desviación estándar indica cómo cada dato se acerca o se aleja de la media. Si los datos se esta trabajando es una población, la varianza tiene como fórmula lo siguiente: 𝜎 2 = 𝑥 −x̅ 2 𝑛 , Donde varianza = 𝜎 2 , 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎= 𝜇 , el número de datos = n.

Pero si es una muestra sería 𝑠 2 = 𝑥 − 𝑥 2 𝑛−1 Cambia el símbolo de la varianza en la muestra y se trabaja con un dato menos. Donde varianza = 𝑠 2 , 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎= 𝑥 , el número de datos = n.

Ejemplo 1: Determinar la varianza y desviación estándar de las estaturas de seis estudiantes seleccionados aleatoriamente de un grupo. Sus medidas son: 162𝑐𝑚, 176𝑐𝑚, 180𝑐𝑚, 182𝑐𝑚, 178 𝑐𝑚 𝑦 175𝑐𝑚 Coloquemos los datos en una tabla, busquemos la media, debemos restar cada dato de la media y a ese diferencia se eleva al cuadrado. Luego, debemos sumar esos cuadrados y se dividirá por la cantidad de datos menos 1 ya que es una muestra.

Solución: Media: sumar todas las x y dividirla por 6. 𝑥 = 1053 6 =175 Solución: Media: sumar todas las x y dividirla por 6. 𝑥 = 1053 6 =175.5 Luego cada dato debe ser restado por esa Media obtenida. Cada diferencia debe ser elevado al cuadrado. 𝑠 2 = 𝑥− 𝑥 2 𝑛 −1 = 251.5 6 −1 = 251.5 5 =50.3 𝑠 2 =50.3 x (x - 𝐱 ) 𝐱 − 𝐱 𝟐 162 -13.5 182.25 176 0.5 0.25 180 4.5 20.25 182 6.5 42.25 178 2.5 6.25 175 -0.5 1053   251.5

Desviación estándar siempre será la raíz cuadrada de la varianza Desviación estándar siempre será la raíz cuadrada de la varianza. En el ejemplo anterior la varianza fue: 𝑠 2 =50.3 cm Entonces la desviación estándar será: 𝑠= 𝑠 2 𝑠= 50.3 = ±7.09𝑐𝑚

Ejemplo 2: Determinar la varianza y desviación estándar de las propinas de un mesero por nueve días. Si los Datos son: $20, $21, $24, $24, $23, $28, $24, $36, $28 𝒙   𝒙 − 𝒙   𝒙 − 𝒙 𝟐 20 -5.3 28.09 21 -4.3 18.49 24 -1.3 1.69 23 -2.3 5.29 28 2.7 7.29 36 10.7 114.49 228   186.01

Solución: Como esto no es un muestra se deberá utilizar la siguiente fórmula: 𝜎 2 = 𝑥 − 𝑥 2 𝑛 𝜎 2 = 186.01 9 = 20.67 La desviación estándar será 𝜎= 20.67 𝜎= ±4.55 Lo cual implica que cada propina se aleja o se acerca de la media entre $4.55

Ejemplo 4: Veamos la siguiente información de un estudio llevado a cabo en un laboratorio. Se recoge la información de crecimiento de bacterias sembradas en placas por segundos.

Placas Compañía A Compañía B 1 6.5 4.2 2 6.6 5.4 3 6.7 5.8 4 6.8 6.2 5 7.1 6 7.3 7.7 7 7.4 8 8.5 9 9.3 10 Se desea determinar cuán confiable son los resultados. Se determina la media, mediana, moda y desviación estándar de cada compañía.

Compañía A: Media = 7. 15 seg. Mediana = 7. 2 seg. Moda = 7. 7 seg Compañía A: Media = 7.15 seg. Mediana = 7.2 seg. Moda = 7.7 seg. Desviación Estándar = 0.476678 seg. Compañía B: Media = 7.15 seg Mediana = 7.2 seg Moda = 7.7 seg Desviación estándar = 1.821629 seg La compañía A su desviación estándar es menor que la compañía B. Los datos de la compañía A están más homogéneos. Los datos de la compañía A es más confiable.