ANALISIS DE FRECUENCIA EN HIDROLOGIA (2) JULIÁN DAVID ROJO HERNÁNDEZ

Introducción Usos de la estadística: Extraer la información esencial de una muestra de datos, para determinar las características y el comportamiento de la población. Las características estadísticas básicas se calculan como el valor esperado (E) de alguna función de una v.a. Valor esperado de una función g(x) de una v.a. x se define como: Donde: fx(u): Función de distribución de probabilidades (fdp) de la variable x.

Parámetros Estadísticos Media, : Valor esperado de la variable. Es el primer momento con respecto al origen. Es una medida de la tendencia central de la distribución. Estimación muestral: Varianza, 2: Mide la variabilidad de los datos, dispersión de los mismos alrededor de la media. Es el segundo momento con respecto a la media.

Desviación estandar, : Es una medida de la variabilidad con las mismas dimensiones de x. Es la raíz cuadrada de la varianza. Estimación muestral:

Coeficiente de variacíon, CV: Esta definido por la relación de la desviación estandar y la media. Medida ademensional de la variabilidad. Estimación muestral: Coeficiente de asimetría, :

Características principales Asimetría: La distribución de los valores de una distribución alrededor de la media. Tercer momento alrededor de la media. La asimetría se hace adimensional dividiendo la anterior ecuación por 3, se obtiene el coeficiente de asimetría .

Usos de la distribución normal Aproximar la distribución de probabilidades de errores aleatorios. Comparar distribuciones: las propiedades de una muestra de variables no normales pueden compararse con las de variables normales. Muchos estadísticos pueden ser normalmente distribuidos, como, por ejemplo, la media de la mayoría de las variables hidrológicas.

Función de distribución de probabilidad

Parámetros Media Desviación estandar Asimetría = 0 Media = Moda = Mediana La variable z es llamada variable estandarizada media cero y desviación estándar uno.

Tabla de distribución: Normal tipificada N(0,1)

Usos de la tabla

Estimación de parámetros

Factor de frecuencia La magnitud de la variable XT para un período de retorno dado T puede encontrarse, utilizando el factor de frecuencia, con el siguiente procedimiento: Usando el valor calculado en la tabla, se lee el valor de x en la primera columna, que corresponde a K o Fu-1 (1- 1/T). Se calcula el valor buscado como:

Intervalos de confianza Cuando se desea hallar cualquier estadístico, por ejemplo la media, generalmente se dispone de una muestra de tamaño limitado. Se quiere saber qué tan cercano puede estar ese estimado al verdadero valor desconocido de la población. En otras palabras, se quisiera conocer con una cierta certeza (probabilidad) la franja de valores entre los cuales se encontraría el verdadero valor de la población. Franja grande: mucha incertidumbre.

: Nivel de confianza o nivel de probabilidad. ST: Error estándar. El error estándar, ST, es una medida de la desviación estándar de la magnitud de un evento calculado a partir de una muestra respecto a la verdadera magnitud del evento.

Ejemplo: Distribución Normal Se tiene una estación con 30 años de datos de caudales medios anuales con media de 117 m3/s y desviación estándar de 94 m3/s. ¿Si los datos se ajustan a una distribución Normal, cuál es el caudal correspondiente a un período de retorno, Tr, de 100 años?. (se asume independencia de los datos). En este caso se puede escribir: Fu(K) = 1 - 1/Tr = 0.99 K = Fu-1 (0.99) Con el valor de 0.99 en la tabla 5.1, se obtiene: K = 2.326 El valor asociado a Tr = 100 se calcula como: Q100 =117 + 94 x 2.326 = 335.6 m3/s

Ejemplo: Distribución Normal Los caudales medios anuales de un río con media 1.5 m3 /s y desviación estándar de 0.6 m3 /s se distribuyen normalmente. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca un caudal medio igual o menor a 1 m3 /s, en cualquier año? P( -0.83)=1-P( 0.83) = 1-0.797 = 0.203

Ejemplo: Caudales de río Escondido Cual es el caudal correspondiente a un TR=100 años, si tienen una distribución normal. N=25 años. =283.5 m3/s σ=24.8 m3/s En este caso se puede escribir: Fu(K) = 1 - 1/Tr = 0.99 K = Fu-1 (0.99) Tabla K=2.326

Intervalos de confianza para =5%: