MUESTREO MUESTREO IDEAL Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies- paciados. A partir de estos valores existen  señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de banda limitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas (?), entonces hay una sóla señal que se puede extrapolar de esas muestras (se determina unívocamente). La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t)  x(t) xs(t) s(t) MUESTREO IDEAL s(t) es un tren de impulsos de período Ts (intervalo de muesteo) -2Ts -Ts Ts 2Ts 0.5 1 1.5 tiempo p(t) xs(t) = x(t) · s(t)  s = 2/Ts = 2fs 

X() S() Xs() Xs()

MUESTREO MUESTREO IDEAL Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies- paciados. A partir de estos valores existen  señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de banda limitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas (?), entonces hay una sóla señal que se puede extrapolar de esas muestras (se determina unívocamente). La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t)  x(t) xs(t) s(t) MUESTREO IDEAL s(t) es un tren de impulsos de período Ts (intervalo de muesteo) -2Ts -Ts Ts 2Ts 0.5 1 1.5 tiempo p(t) xs(t) = x(t) · s(t)  s = 2/Ts = 2fs  si s < 2m existe solapamiento (ALIASING). Si s  2m se puede recuperar X() con un LPF ideal de ganancia Ts fs = frecuencia de Nyquist

X() S() Xs() Xs()

MUESTREO MUESTREO IDEAL Teorema del muestreo: se puede reconstruir una señal analógica a partir de sus valores instantáneos (muestras) equies- paciados. A partir de estos valores existen  señales que pasan por esos puntos, pero si la señal original es de banda limitada (?) y las muestras son tomadas los suficientemente cercanas (?), entonces hay una sóla señal que se puede extrapolar de esas muestras (se determina unívocamente). La señal x(t) es multiplicada por la función de muestreo s(t), obteniendo los valores muestra xs(t)  x(t) xs(t) s(t) MUESTREO IDEAL s(t) es un tren de impulsos de período Ts (intervalo de muesteo) -2Ts -Ts Ts 2Ts 0.5 1 1.5 tiempo p(t) xs(t) = x(t) · s(t)  s = 2/Ts = 2fs  si s < 2m existe solapamiento (ALIASING). Si s  2m se puede recuperar X() con un LPF ideal de ganancia Ts fs = frecuencia de Nyquist Teorema de Nyquist: si una señal de banda limitada es muestreada a una frecuencia de por lo menos el doble de su máxima componente, ENTONCES es posible recuperarla unívocamente (a partir de sus puntos muestra) con un filtro pasabajos ideal.

MUESTREO PRACTICO La onda muestreadora está formada por pulsos que tienen amplitud y duración finitas. Los filtros de reconstrucción prácticos difieren de los ideales (banda o zona de transición). Los mensajes son limitados en tiempo  no pueden ser limitados en banda. Pulsos: en general se emplea la técnica de muestreo y retención (Sample and Hold  S&H)  Retenedor Orden Cero x[t] ROC xp[t] x(t) xs(t) s(t) xp(t) p(t) Ts t 1 P(f) ‘pesa’al espectro de la señal muestreada y lo distorsiona en las frecuencias superiores  efecto de apertura. Si el efecto es muy grande se puede corregir por medio de un filtro ecualizador Heq(f) = 1/P(f) (si 1/τ >> W no es necesario).

Para el ROC: p(t) Ts t 1 X() Xp() Xs() P() 1  s /2 -s /2 Heq()

MUESTREO PRACTICO La onda muestreadora está formada por pulsos que tienen amplitud y duración finitas. Los filtros de reconstrucción prácticos difieren de los ideales (banda o zona de transición). Los mensajes son limitados en tiempo  no pueden ser limitados en banda. Pulsos: en general se emplea la técnica de muestreo y retención (Sample and Hold  S&H)  Retenedor Orden Cero x[t] ROC xp[t] x(t) xs(t) s(t) xp(t) p(t) Ts t 1 P(f) ‘pesa’al espectro de la señal muestreada y lo distorsiona en las frecuencias superiores  efecto de apertura. Si el efecto es muy grande se puede corregir por medio de un filtro ecualizador Heq(f) = 1/P(f) (si 1/τ >> W no es necesario). Filtros de reconstrucción reales: se recurre al empleo de bandas de seguridad  incrementar ωs Señal NO limitada en banda: se debe asegurar que la señal no tenga componentes superiores a s/2  se aplica un filtro pasabajos en la entrada  Filtro anti-aliasing (es el peor inconveniente porque modifica la información).

Submuestreo Sea la señal x(t) = cos(0t) muestreada a S constante (S < 20). Se analiza que sucede a medida que 0 Para 0 > S/2 se produce el traslape y la frecuencia original original asume la identidad de una frecuencia inferior (S - 0). Para S/2 < 0 < S , a medida que 0 la frecuencia de salida (S-0)  efecto estroboscópico (uso: osciloscopio de muestreo, voltímetro vectorial).

Interpolación Orden Cero Interpolación Primer Orden INTERPOLACION Interpolación  reconstrucción (aproximada ó exacta) de una función a partir de sus muestras. Retenedor de Orden Cero: retiene el valor de la muestra hasta la próxima. Es el más simple. 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 -1 -0.5 0.5 1 Interpolación Orden Cero tiempo Amplitud 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 -1 -0.5 0.5 1 Señal muestreada tiempo Amplitud 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 -1 -0.5 0.5 1 Interpolación Primer Orden tiempo Amplitud Interpolación Lineal: los puntos adyacentes se conectan con una línea recta. 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 -1 -0.5 0.5 1 Interpolación Sinc tiempo Amplitud Interpolación Sinc: cada muestra corresponde al peso de una sinc centrada en el instante de muestreo, y los valores intermedios se otienen sumando las contribuciones de cada una de estas funciones. Interpolación de mayor Orden: los puntos se unen mediante polinomios de grado mayor u otras funciones matemáticas.

INTERPOLACION SINC Xs() Xr() H() Para reconstruir espectralmente la señal se emplea un LPF ideal  Xr(f) = Xs(f)·H(f) con H(f) = rect [f /( 2fc)] y fc = fs/2 -0.5 0.5 1 tiempo considerando fc = fs/2:

CALCULO DE LA INTERPOLACION SINC Para la implementación de la expresión deben fijarse parámetros para sustiruir la variable contínua t por su equivalente discreta: Cantidad de muestras por ciclo de la máxima componente de la señal  n_muestras Cantidad de valores a intercalar entre dos valores muestra consecutivos  n_puntos Cantidad de muestras a considerar como “historia” (valores pasados y futuros) de la señal  n_historia Cada intervalo de muestreo debe dividirse en (n_puntos + 1) intervalos: Ts = (n_puntos+1)·t x • t Ts Reemplazando t por k·t (1  k  n_puntos): Debe agregarse otro índice para el desplazamiento dentro del registro de valores adquiridos (j)  Comparando con los osciloscopios comerciales, se obtienen valores de: n_muestras = 2.5 ~ 4 y n_historia = 10. Para n_puntos se considera que en la pantalla del instrumento siempre deben presentarse 500 puntos para cualquier ajuste de la Base de Tiempo. El TDS320 (fs = 500 Ms/s) tiene una velocidad de barrido máxima de 5 ns/div, por lo que tendría que muestrear a (5 ns/50 muestras) = 0.1 ns/s (10 Gs/s !)  deben generarse 20 puntos entre muestras reales. En el caso del TDS220 (fs = 1 Gs/s), para 5 ns/div se interpolan 10 nuevos valores entre valores adquiridos.

CAMBIO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO La señal de tiempo contínuo xc(t) puede representarse por una secuencia x[n] = xc[nTs]. Se quiere cambiar fs obteniendo una nueva secuencia x’[n] = xc[nTs’]. El método indirecto sería: (complejo!!) x[n] xc(t) x’[n] fs fs’ DAC + Filtro Interp. ADC DIEZMADO por un factor entero: se disminuye la frecuencia de muestreo (“muestreándola” cada M valores). xd[n] = x[nM] = xc[nMTs]  compresor de frecuencia de muestreo  xd[n] es la que se obtendría muestreando xc(t) con período Ts’= M·Ts x[n] xd[n] Ts Ts’= M·Ts M Recordando el espectro X() de la secuencia x[n] (valores muestra): análogamente puede escribirse el espectro Xd() para xd[n] : para que no exista solapamiento (s/M)  max  la frecuencia de Nyquist original debe ser M veces mayor !! Ejemplo: si s = 4 max , el máximo diezmado para no tener solapamiento es M = 2

Se verifica que no existe solapamiento. Diezmado con M = 2. Se verifica que no existe solapamiento. Si se quiere utilizar un M superior habrá que garantizar que la señal no tenga un contenido espectral mayor que s/M mediante el empleo de un filtro pasabajos digital . x[n] Ts Ts Ts’= M·T M LPF G =1 c=/M Sistema para reducir la frecuencia de muestreo en M

Diezmado con M = 3. Aparece solapamiento. Diezmado con M = 3 y filtrado previo para evitar el solapamiento.

Sistema para incrementar la frecuencia de muestreo en L INTERPOLACION por un factor entero: se aumenta la frecuencia de muestreo (insertando L valores entre muestras). los valores intermedios se generan mediante una función de reconstrucción  LPF de ganancia L y c = /L x[n] xe[n] xi[n] Ts Ts’= Ts/L Ts’= Ts/L L LPF G =L c=/L Sistema para incrementar la frecuencia de muestreo en L xi[n] = x[n/L] = xc[nTs/L]  expansor de frecuencia demuestreo El análisis en el dominio de la frecuencia se realiza mediante el cálculo de la Transformada de Fourier (TF), definida por:   La Transformada de Fourier de la salida del expansor es una versión escalada en frecuencia de la T.F. de la entrada. La fórmula de interpolación para xi[n] en función de x[n] es: En algunos casos se pueden utilizar funciones más simples, como la lineal:

Interpolación en el dominio de la frecuencia

CAMBIO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO POR UN FACTOR NO ENTERO Es una combinación de las técnicas de diezmado e interpolación. L LPF G =L c=/L M G =1 c=/M xc[n] Interpolador x[n] xi[n] Ts Ts/L TsM/L Diezmador Ts LPF G =L c=min(/L, /M) L M x[n] TsM/L Funciones utilizadas en Matlab®: DECIMATE: Resample data at a lower rate after lowpass filtering. INTERP: Resample data at a higher rate using lowpass interpolation RESAMPLE: Change the sampling rate of a signal.