Ecuación logística Poblaciones Karen Yulieth rayo-20132025231 Julián Ricardo rodriguez-20122025114 Kevin Fernando rojas-20122025050

Dinámica poblacional Uno de los primeros intentos para modelar el CRECIMIENTO de la población humana por medio de las matemáticas fue realizado en 1798 por el economista inglés Thomas Malthus. Básicamente la idea detrás del modelo de Malthus es la suposición de que la razón con la que la población de un país en un cierto tiempo es proporcional a la población total del país en ese tiempo.

Dinámica poblacional En otras palabras, entre más personas estén presentes al tiempo t, habrá más en el futuro. En términos matemáticos, si P (t) denota la población al tiempo t, entonces esta suposición se puede expresar como: Donde K ES UNA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD.

DINÁMICA POBLACIONAL Este modelo simple, falla si se consideran muchos otros factores que pueden influir en el crecimiento o decrecimiento (por ejemplo, inmigración y emigración), resultó, sin embargo, bastante exacto en predecir la población de los Estados Unidos, durante 1790-1860. Las poblaciones que crecen con una razón descrita por la ecuación ANTERIOR son raras; sin embargo, aún se usa para modelar el crecimiento de pequeñas poblaciones en intervalos de tiempo cortos (por ejemplo, crecimiento de bacterias en una caja de Petri).

DINÁMICA POBLACIONAL Thomas Malthus no creía que la población crecía de manera asintótica perfecta, él pensaba que cuando se llegaba a un límite poblacional ocurrirían eventos como catástrofes y por esto la población oscilaría alrededor del límite, dando paso a estas catástrofes.

DINÁMICA POBLACIONAL Pierre François verhulst, fue un matemático belga el cual leyó el trabajo de Thomas Malthus e intento modelar la idea de la cual hablaba Malthus. Si no consideramos las restricciones del ambiente entonces la población puede crecer de manera exponencial, mientras que si nos acercamos a los límites dados por el ambiente entonces la población va a crecer de una manera asintótica hacia algún tipo de población.

DINÁMICA POBLACIONAL t

Intuición sobre la ED logística r=Const proporción a N K=Capacidad Máxima 𝑑𝑁 𝑑𝑡 =𝑟𝑁( ) N= Población 𝑁≪𝑘≈1 1− 𝑁 𝑘 ≈0 𝑁→𝐾 𝑑𝑁 𝑑𝑡 =𝑟𝑁 1− 𝑁 𝑘 Ecuación Diferencial logística

Resolviendo ed logística 𝐿𝑛 𝑁 −𝐿𝑛 1− 𝑁 𝑘 +𝐶1=𝑟𝑡+𝐶2 𝑑𝑁 𝑑𝑡 =𝑟𝑁 1− 𝑁 𝑘 Con 0<N(t)<k y aplicando propiedades de los logaritmos 1 𝑁 1− 𝑁 𝑘 ∙𝑑𝑁=𝑟𝑑𝑡 𝐿𝑛 𝑁 1− 𝑁 𝑘 =rt+C3 1 𝑁 + 1 𝑘 1− 𝑁 𝑘 ∙𝑑𝑁= 𝑟∙𝑑𝑡 Multiplicando a ambos lados por e: 𝑁 1− 𝑁 𝑘 = 𝑒 𝑟𝑡 𝐶4 1 𝑁 ∙𝑑𝑁 − − 1 𝑘 1− 𝑁 𝑘 ∙𝑑𝑁= 𝑟∙𝑑𝑡 Tomando el reciproco: 1− 𝑁 𝐾 𝑁 = 𝑒 −𝑟𝑡 𝐶5

FUNCIÓN LOGISTICA 𝑵 𝑻 = k 𝒌−𝑵0 𝑵0 ∙ 𝒆 −𝒓𝒕 +𝟏 1− 𝑁 𝐾 𝑁 = 𝑒 −𝑟𝑡 𝐶5 Asumiendo Población inicial N0 en un tiempo=0 1− 𝑁 𝐾 𝑁 = 𝑒 −𝑟𝑡 𝐶5 N0 = 1 𝐶6+ 1 𝑘 C6= 1 𝑁0 − 1 𝑘 1 𝑁 − 1 𝑘 = 𝑒 −𝑟𝑡 𝐶5 𝑁 𝑇 = 1 1 𝑁0 − 1 𝑘 ∙ 𝑒 −𝑟𝑡 + 1 𝑘 k k . Pasando -1/k al otro lado y tomando el reciproco 𝑁 𝑇 = 1 𝐶5 ∙ 𝑒 −𝑟𝑡 + 1 𝑘 𝑵 𝑻 = k 𝒌−𝑵0 𝑵0 ∙ 𝒆 −𝒓𝒕 +𝟏

Ejercicio de aplicación Utilizando un modelo logístico con capacidad sustentable k=100* 10 9 , una población mundial (humana) de 5 * 10 9 en 1986 y una razón de crecimiento de 2% anual, hacer una predicción de la población mundial para el año 2010.¿En que tiempo será esta población de 32* 10 9 ?

Tenemos: k=100 𝑁 0 =5(en miles de millones de habitantes del planeta) en 1986 y r=0.02 N(t)= 𝑘 1+ 𝑘− 𝑁 0 𝑁 0 ∗ 𝑒 −𝑟𝑡 N(t)= 100 1+ 100−5 5 ∗ 𝑒 −0.02𝑡 N(t)= 100 1+19∗ 𝑒 −0.02𝑡 en miles de millones de habitantes.

en el año 2010 tendremos t=24; entonces: la población será de 32* 10 9 en el tiempo 𝑡 1 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒: N( 𝑡 1 )= 100 1+19∗ 𝑒 −(0.02)( 𝑡 1 ) =32⇒100=32+608∗ 𝑒 −0.02 𝑡 1 608* 𝑒 −0.02 𝑡 1 =68 𝑒 −0.02 𝑡 1 = 68 608 ⇒−0.02 𝑡 1 =ln⁡( 68 608 )=> 𝑡 1 = ln⁡( 68 608 ) −0.02 ≈109.5334 𝑎ñ𝑜𝑠.