Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ECUACIONES EXACTAS

Diferencial total Dada la función z=f(x,y), se dice que la expresión: es su diferencial total.

Ejemplo Si z=4x2y-2xy3+3x Entonces: dz = (8xy-2y3+3)dx + (4x2-6xy2)dy Es el diferencial total de la función z.

Ecuación diferencial exacta La igualdad: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es una ecuación diferencial exacta si y sólo si el primer miembro de la igualdad es una diferencial total.

Solución de una ED exacta Encontrar la solución de una ecuación diferencial exacta es obtener una función f(x,y) tal que su diferencial total sea exactamente la ecuación diferencial dada.

Solución de una ED exacta... Usando la notación de la diferenciación parcial, tenemos: Si volvemos a derivar estas ecuaciones, pero ahora con respecto a la otra variable: Si las derivadas parciales son continuas: lo que significa que:

Teorema La condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 sea exacta es que:

Método de solución Dada una ecuación diferencial, vemos si es exacta. Aplicamos la definición: Integramos con respecto a x o con respecto a y:

Método de solución… Al resultado lo derivamos con respecto a y o con respecto a x: Igualamos de nuevo el resultado a N(x,y) o a M(x,y). Integramos por última vez esta ecuación.

Solución de ED exactas Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: 1. 2. 3. 4.

Factores integrantes A veces, para una ecuación diferencial no exacta M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es posible encontrar un factor integrante m(x,y) de modo que: m(x,y)M(x,y)dx + m(x,y)N(x,y)dy = 0 sea una diferencial exacta.

Factores integrantes… En un intento por encontrar m, regresamos al criterio de exactitud. La ecuación: m(x,y)M(x,y)dx + m(x,y)N(x,y)dy = 0 es exacta si y sólo si: (mM)y=(mN)x. Por la regla para la derivada del producto, tenemos que: mMy+myM = mNx+mxN pero también: mxN-myM=(My-Nx)m

Factores integrantes… En la ecuación mxN-myM=(My-Nx)m M, N, My y Nx son funciones conocidas de x y y, la dificultad para determinar la incógnita m(x,y) es que se debe resolver una ecuación diferencial parcial. Como no estamos preparados para ello, se hace una suposición “simplificadora”. Suponga que m es una función de una variable.

Factores integrantes… Suponga, por ejemplo, que m depende sólo de x. En este caso: Así: mxN-myM=(My-Nx)m se puede escribir como Estamos en una situación sin solución si el cociente (My-Nx)/N depende de x y y. Sin embargo si después de simplificar, el cociente depende sólo de x, entonces la ecuación es una ED ordinaria de primer orden.

Factores integrantes… Esto nos conduce a que: De manera análoga, se deduce que si m depende sólo de la variable y, entonces: En este caso, si el cociente (Nx-My)/M depende solamente de y, entonces la ecuación se puede resolver para m y en este caso:

Problemas Resuelva la ecuación diferencial mediante la determinación de un factor integrante adecuado. 1. 2. 3.