Modelos de transición o Modelos matriciales

Introducción Los modelos matriciales son aquellos en los que se aprovechan las particularidades del álgebra de matrices para establecer modelos matemáticos. Principalmente se han usado en modelos en los que se considera la posibilidad de paso de un estadio poblacional al siguiente, de ahí que en ocasiones reciban el nombre de modelos de progresión

Modelos matriciales Discretos y Continuos Al igual que en los modelos lineales, en los modelos matriciales hay modelos discretos, es decir que consideran estados de la población fijos y no sobrelapables, y aquellos que son capces de considerar generaciones sobrepuestos Uno de los modelos discretos más comunes es el llamado modelo matricial o simplemente Matríz de Leslie. Este modelo permite predecir la proporción de individuos (o hembras) en una población cuando ésta se encuentra en equilibrio. También permite determinar el parámetro λ o tasa de crecimiento de la población

Modelo de Leslie En matemáticas aplicas este modelo se considera como un modelo discreto y estructurado de desarrollo poblacional que es muy popular en ecología de poblaciones. Desarrollado por el fisiólo Patrick Leslie (1900-1974), El modelo de Leslie es una de las mejores maneras que se conocen de predecir el desarrollo poblacional, para poblaciones cerradas (sin inmigración ni emigración) y el crecimiento es ilimitado. El modelo de Leslie es usada en ecología para modelar los cambios en una población de organismos durante un periodo de tiempo. En un model le Leslie, la población es dividida engrupos discretos que son las clases de edades. Un modelo similar que reemplasa las clases de edad por los estadios de vida es llamado el modelo de Lefkovitch [o matriz de Lefkovitch] donde los individuos pueden cambiar de estadio o permanecer en el mismo. En cada clase de tiempo, la población es representada por un vector con un elemento por cada clase de edad que representa el número de individuos en esa clase.

La matiz de Leslie es una matriz cuadrada (con el mismo número de renglones y columnas) de la misma dimensión que el el número de características que tiene el vector que define a la población. La celda (i,j) en la matriz indica cuantos individuos estarán en la clase de edad I en el siguiente tiempo (t+1) por cada individuo en la categoría j. En cada paso del tiempo el vector de la población es multiplicado por la matriz de Leslie para generar un vector del siguiente paso en la población

Para construir se requiere conocer alguna información n_x, conteo de individuos (n) en cada clase de edad x s_x, la fracción de individuos que sobreviven de la clase c a la clase x+1, f_x, es la fecundidad, es el promedio per cápita de las crías por hembra que alcanzan la edad n_0 o sea que nacen de una hembra que esta en la clase clase x. Más precisamente, esta puede ser vista como el número de crias producida en la siguiente categoría de edad b_{x+ 1} ponderada por la probabilidad de alcanzar la edad x. Es decir f_x = s_xb_{x+1}.

A partir de la observación de que n_0 al tiempo t+1 es simplemente la suma de toda la progenie nacida en los estados de tiempo previos y los organismos que sobreviven al tiempo t+1 son los organismos al tiempo t sobrevivientes con un una probabilidad S_X uno obtiene n_{x+1} = s_xn_x esto entonces se obtiene la Matriz Donde Es la máxima edad que alcanza la población