Solución de sistemas de ecuaciones Método gráfico Método por sustitución Método por eliminación

Hay varios métodos para resolver los sistemas de ecuación lineal Hay varios métodos para resolver los sistemas de ecuación lineal. Estudiaremos tres que usamos para hallar la solución de forma algebraica: solución por el método gráfico, solución por sustitución y solución por eliminación.

Método gráfico Se grafican ambas ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas. Así, las coordenadas del punto común en ambas gráficas será la solución del sistema, ya que satisfacen ambas ecuaciones.

Método gráfico Un sistema de ecuación lineal de los que hemos trabajado consta de dos ecuaciones y, por lo tanto, se tendrán dos rectas. Dos rectas en un plano pueden existir en una de tres situaciones: 1) se intersecan en un punto; 2) son paralelas; ó 3) coinciden. Dependiente, Consistente: infinitas soluciones misma recta Independiente, Consistente: una solución un punto Independiente Inconsistente: sin solución rectas paralelas

Las rectas coinciden Dependiente, Consistente: (infinita soluciones) Método gráfico Procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico Se elabora una tabla de valores para ambas ecuaciones Se grafican los pares ordenados Se unen los puntos mediante una recta. Las rectas coinciden Dependiente, Consistente: (infinita soluciones) Ejemplo x + y = 2 2x + 2y = 4 x + y = 2 2x + 2y = 4 x y -1 3 2 1 x y -1 3 2 1 5 5 -5 0 5 -5

Método Gráfico Ejemplo 2 -x + y = 2 -x + y = -2 y = x + 2 y = x - 2 5 x y -1 1 2 3 4 x y -1 -3 -2 1 2 Y = x - 2 Rectas paralelas, no hay solución Independiente Inconsistente -10 -5 0 5 -5

Método por sustitución El método de sustitución consiste en resolver cualquier ecuación del sistema por una de las variables y luego sustituir el valor de esa variable en la otra ecuación.

Método por sustitución Procedimiento para resolver un sistema por el método de sustitución 1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones x = -4y + 6 3. El valor de y se sustituye 2. Se sustituye el valor de x en la otra ecuación en cualquiera de las x – 2y = 18 dos ecuaciones originales.. -4y + 6 – 2y = 18 x + 4y = 6 -6y = -6 + 18 x + 4 (-2) = 6 -6y = 12 x + (-8) = 6 y = -2 x = 8 + 6 x = 14 Ejemplo x + 4y = 6 x – 2y = 18 Independiente, Consistente La solución es el par ordenado (14, -2)

Método por eliminación El objetivo de este procedimiento es obtener dos ecuaciones cuya suma sea una ecuación con una sola variable. Este método requiere que los coeficientes de la misma variable estén organizados en forma vertical: uno debajo del otro.

Método por eliminación Ejemplo 2 x + y = 6 -x – y = 2 Se suman o se restan las ecuaciones para obtener una ecuación en una variable. x + y = 6 -x – y = 2 0 = 8 Ninguna solución: ocurre cuando al sumar se eliminan las variables y tenemos una proposición falsa (independiente, inconsistente)

Método eliminación 3x + 6y = 12 Ejemplo 2 3x + 6y = 12 6y = -3x + 12 Multiplicamos por -1 cualquiera de las dos ecuaciones para poder eliminar una de las variables. -1 (3x + 6y = 12) -3x – 6y = -12 3x + 6y = 12 0 = 0 Soluciones infinitas: dependiente, consistente (0 = 0)

Método por eliminación Ejemplo 2x + y = 1 4x – 2y = -18 Se utiliza la propiedad multiplicativa de la igualdad para lograr que los coeficientes de y tengan el mismo valor (2x + y= 1) 4x + 2y = 2 4x - 2y = -18 4x – 2y = -18 8x = -16 8x = -16 8 8 x = -2 Se multiplica por 2 cada término Se sustituye en alguna ecuación original el valor de x 2x + y = 1 2(-2) + y = 1 -4 + y = 1 y = 5 La solución es el par ordenado (-2, 5) Independiente, consistente: una solución (valor para x y para y)

Resumen de posibles situaciones Relación de las rectas Número de soluciones Clasificación Se intersecan 1 Independiente Consistente Paralelas Inconsistente Coinciden infinitas Dependiente