ESTADISTICA PARA RELACIONES LABORALES CURSO 2009 TURNO NOCTURNO CLASE 9 MODULO 6 – MEDIDAS DE CONCENTRACION

Presentación gráfica: Curva de Lorenz Estadístico: Indice Gini (cálculo simplificado, para entenderlo conceptualmente) Existen otros estadísticos para medir concentración, incluso más precisos o que dan mejor cuenta de esta característica.

¿Para qué me sirven? Hay algunas características de una población en las que el grado de heterogeneidad y sobre todo el tipo de asimetría en su distribución pueden revestir un especial interés. Por ejemplo: ¿qué grado de concentración tiene la distribución del ingreso de una población? ¿los beneficios de un sistema de seguridad social se reparten equitativamente? ¿las horas extra de una empresa están concentradas en algunos individuos?

Se trata de variables en las cuales sus valores (categorías) significan cantidades de algún elemento para los individuos (o unidades) e interesa ver que tan equitativo o desigual es el reparto de estos elementos entre los integrantes de la población.

EJEMPLO En una empresa trabajan 20 personas. La empresa destina mensualmente $200 mil al rubro salarios (MASA SALARIAL) Cada trabajador es remunerado de acuerdo al puesto que ocupa, en un escalafón donde –para simplificar el planteo- supondremos que a igual puesto, igual paga. Por tanto, esta MASA SALARIAL no se distribuye equitativamente entre los 20 empleados. Dependiendo del lugar que ocupen en el escalafón, recibirán una mayor o menor proporción de la misma.

Salarios según puesto y número de empleados por puesto Salarios según puesto en el escalafón   Empleados según puesto Puesto Salario Cant. empleados cadetes 2000 3 planta no calificado 4000 planta no calif 5 administrativo 6000 4 planta calificado 8000 técnicos 15000 2 gerentes 25000 gerente general 46000 1

Con las herramientas que ya estudiamos para caracterizar DISTRIBUCIONES UNIVARIADAS podemos decir algunas cosas de la distribución de la variable Salarios: Características de la tendencia central de la distribución: MEDIA, MEDIANA Podemos dar cuenta de algunas otras “posiciones”, por ejemplo: CUARTIL 1 y 3, que nos ayudan a evaluar la heterogeneidad Y también para ver esta dispersión en relación a la media, podemos usar la VARIANZA y el DESVÍO

Xi fi Fi fr xi*fi (xi-X)2*fi 2 3 0,15 6 192 4 5 8 0,25 0,4 20 180 12 Salarios (valores de la variable salarios) Trabajadores que ganan ese salario (frecuencia simple absoluta) Columnas que construimos para estudiar la distribución de la variable Salarios Xi fi Fi fr xi*fi (xi-X)2*fi 2 3 0,15 6 192 4 5 8 0,25 0,4 20 180 12 0,2 0,6 24 64 15 0,75 17 0,1 0,85 30 50 25 19 0,95 450 46 1 0,05 1296   200 2244

Observando la tabla: distribución poco homogénea: algunos valores muy altos concentración de los individuos en los valores más bajos de la variable Frecuencias relativas acumuladas: el 60% (Fi=0,60) de los empleados ganan como máximo $ 6 mil.

Calculamos los estadísticos Obtenemos: 50% de los empleados gana como máximo $6 mil y 75% $8 mil (cuando hay salarios de hasta $ 46 mil). Dejando de lado a los que menos ganan y más ganan, el 50% central gana entre $4 y $8 mil. Si comparamos estos estadísticos con la media, tenemos nuevamente indicaciones de la asimetría de la distribución: La Media es $4 mil mayor que la Mediana, y se ubica fuera del intervalo que creamos entre el Primer y el Tercer Cuartil, o sea me está sirviendo poco como medida de tendencia central. Fuerte asimetría hacia la derecha (porque algunos individuos presentan valores muy altos de la variable y se distancian del resto de la población) Promedio 10 Varianza 112,2 Desvío 10,6 CV 106% Mediana 6 Q1 4 Q3 8

analizar la CONCENTRACIÓN Un enfoque alternativo a este camino que estudia la FORMA de la distribución es analizar la CONCENTRACIÓN

Reescribimos la tabla de frecuencias, con las columnas que nos sean útiles y observando el cambio de nomenclatura. Trataremos de llegar a dos datos, pi y qi que son los que necesitamos para construir los indicadores de CONCENTRACION.

Nuevos conceptos usando viejos conocidos… MASA PARCIAL: indica la cantidad total de elementos que obtienen entre todos los que reciben una cantidad xi. Masa parcial = xi*fi MASA PARCIAL ACUMULADA: Ui=  (hasta i) xi*fi o (vamos sumando en cada renglón la masa parcial acumulada hasta esa categoría) MASA TOTAL: indica la cantidad total de elementos que obtiene el conjunto de la población. MTV=  (todas las categorías) xi*fi suma de todas las masas parciales de las variables pi = Fi*100/N (antes Frecuencia relativa acumulada como %) qi=Ui*100/MTV

Masa parcial acumulada: Al 15% de los empleados con menor salario les corresponde el 3% de la masa salarial. Xi fi (Nº trabajadores) Masa parcial: xi*fi Masa parcial acumulada: Ui qi (Ui en %) pi (F%) 2 3 6 15 4 5 20 26 13 40 24 50 25 60 8 74 37 75 30 104 52 85 154 77 95 46 1 200 100 Al 95% de los empleados con menor salario les asignan el 77% de la masa salarial

Entonces: pi es el porcentaje acumulado de trabajadores para cada categoría de Xi qi es el porcentaje acumulado de masa de la variable para cada categoría de Xi

CURVA DE LORENZ Con pi y q1 es posible construir una gráfica:CURVA DE CONCENTRACIÓN o CURVA DE LORENZ eje horizontal: pi eje vertical: qi pi qi 15 3 40 13 60 25 75 37 85 52 95 77 100

Esta curva nos permite ver en forma gráfica lo expresado en la tabla. Además podemos ver que sucedería en el caso de una - equidistribución: que todos los empleados ganaran el mismo sueldo. El sueldo sería MTV/N, o sea, 200000/20=$10000, que equivale a la MEDIA de la variable. Las diferencias entre el valor pi y qi sería cero. Es decir, cualquier porcentaje de trabajadores recibiría ese mismo porcentaje de masa salarial. máxima concentración: que un solo empleado obtuviera toda la masa salarial, y los otros 19 no recibieran ningún salario. Es decir, cualquiera sea el porcentaje de trabajadores a considerar no se llevan ninguna masa salarial. Las diferencias entre pi y qi son máximas, por tanto = a pi. Sólo el estrato superior se llevaría el 100% de la masa salarial.

INDICE DE GINI Agregamos ahora un resumen numérico, un indicador que permita sintetizar esta información y darnos una medida del grado de concentración. Existen diversos indicadores que cumplen con ese objetivo. Nosotros vamos a estudiar en particular uno que se utiliza frecuentemente: el INDICE DE GINI.

El fundamento de este índice es que pueden establecerse n-1 desigualdades entre pi y qi (en la fila “n” sabemos que pi=qi=100). De la amplitud de estas desigualdades dependerá el mayor o menor nivel de desigualdad de la masa total de la variable. Introducimos la función: (i=1 hasta i=n-1)(pi-qi) A su vez, sabemos que si hay una equidistribución todos los pi=qi.

Para que la fórmula anterior sea aplicable a esta situación extrema, (si los datos están presentados en una tabla de frecuencia, hay un sola fila, ya que todos los individuos presentan el mismo valor, y por tanto es p1=q1).En ese casi la sumatoria anterior es=0. Ese es el límite inferior de nuestra función. Sin embargo el límite superior no es fijo, ya que dependerá de las magnitudes de las diferencias encontradas y del número de “filas” a sumar. Por tanto, es necesario calcular este límite en cada caso, para ver qué tan cerca o lejos está nuestra distribución de esa situación de máxima concentración. Para facilitar la interpretación entonces, haremos que nuestra función tome como límite superior el valor 1. Esto se logra dividiendo la sumatoria entre (i=1 hasta i=n-1)pi (Recuérdese que la máxima concentración se tiene cuando todas las filas hasta n-1 tienen qi=0).

Por tanto obtenemos el INDICE DE GINI: Indice de Gini = (i=1 hasta i=n-1)(pi-qi) / (i=1 hasta i=n-1)pi O simplificando, si descomponemos el numerador y el denominador nos queda = 1 - (i=1 hasta i=n-1)qi (i=1 hasta i=n-1)pi INTERPRETACIÓN: Si hay equidistribución, todos los pi =qi y por tanto el IC=0. En caso de máxima concentración, todos los qi=0 (menos el último) y por tanto IC=1 Cuanto mayor sea la concentración, mayores serán las diferencias entre los n-1 primeros pi y qi, y por tanto el índice se acercará más a 1. Si comparamos diferentes indices de Gini este criterio va a ser útil para saber cual es la población más equitativa o más concentrada.

pi qi (pi – qi ) 15 3 12 40 13 27 60 25 35 75 37 38 85 52 33 95 77 18 370 207 163 Gini = Sumatoria (pi-qi) hasta penúltima categoría/Sumatoria de qi 163/370= 0,440541 Gini = 1-sumatoria de qi/sumatoria de pi 1 - 207/370 0,440541

Ejemplo: