Sucesiones Numéricas

INDUCCION MATEMATICA PRIMER AÑO TERCER AÑO SEGUNDO AÑO

INDUCCION MATEMATICA

¿Qué figura sigue ? ¿Cuántas rectas forman cada figura? ? , , , 3 5 7 9 ¿Cuántas rectas formarán la octava figura? 17 Dibuja la figura y cuenta su número de rectas

? 25 , , , , 1 4 7 10 13 ¿Qué figura completa la serie? ¿Cuántos círculos las forman? ? , , , , 1 4 7 10 13 Dibuja la novena figura de la serie : 25 ¿Cuántos círculos la forman?

2 , 7 , 12 , 17 , 22 , 27 , 32 Una sucesión numérica es: OBSERVA : + 5 + 5 + 5 2 , 7 , 12 , 17 , 22 , 27 , 32 + 5 + 5 + 5 DIFERENCIA COMUN ES 5 Una sucesión numérica es: Secuencia de números relacionados de tal manera que cada uno, después del primero, se puede obtener del que le precede sumando a éste una cantidad fija llamada diferencia común.

¿COMO ENCONTRAMOS EL TERMINO N-ESIMO ? 1° a1 + d 2° a1+ 2d 3° a1+ 3d 4° a1+ 4d 5° a1+ 5d 6° a1+ (n-1)d n° 2 , 7 12 17 22 27 … Término inicial Término n-ésimo ¿COMO ENCONTRAMOS EL TERMINO N-ESIMO ? an = a1 + (n – 1) d

Consecuente menos antecedente APLICACION Término inicial Hallar el 23° término de la sucesión numérica 9 , 4 , -1 … Antecedente Consecuente Determinamos la diferencia común Consecuente menos antecedente Sustituimos valores conocidos d = 4 – 9 d = -5 an = a1 + (n – 1) d a23 = 9 + (23-1) (-5) a23 = 9 – 110 23° término es - 101

Consecuente menos antecedente APLICACION Término inicial Hallar el 38° término de la sucesión numérica 2/3 , 3/2, 7/3 … Antecedente Consecuente Determinamos la diferencia común Consecuente menos antecedente Sustituimos valores conocidos d = 3 - 2 2 3 d = 5 6 an = a1 + (n – 1) d a38 = 2/3 + (38 – 1) (5/6 a38 = 2/3 + 185/6 38° término es 189/6 o 63/2

* APLICACION an = a1 + (n – 1) d an = a1 + (n – 1) d Término inicial Hallar la diferencia común de la sucesión numérica 3, … , 8 donde 8 es el 6° término. * Sustituimos valores conocidos Buscando el valor de “d” an = a1 + (n – 1) d an = a1 + (n – 1) d a6 = 3 + (6 – 1) d 8 = 3 + 5d 5d = 8 - 3 Diferencia común es 1 an - a1 d = n - 1

APLICACION Término inicial ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética 4, 6, …30 ? Buscamos diferencia común d = 6 – 4 d = 2 * Buscando el valor de “n” Sustituimos valores conocidos an = a1 + (n – 1) d an = a1 + (n – 1) d 30 = 4 + (n – 1) ( 2 ) 30 = 4 + 2n - 2 28 = 2n n = 14 an - a1 + d n = d

* APLICACION an = a1 + (n – 1) d an = a1 + (n – 1) d El 15° término de una progresión aritmética es 20 y la diferencia común 2/7. Hallar el primer término. * Sustituimos valores conocidos Buscando el valor de “a” an = a1 + (n – 1) d an = a1 + (n – 1) d 20 = a1 + (15 – 1) ( 2/7 ) 20 = a1 + 4 a1 = 16 a1 = an – nd - d

5 , 9 13 17 21 25 … TERMINO ENESIMO GENERALIZACION Término inicial 5 , 9 13 17 21 25 … Antecedente Consecuente Determinamos la diferencia común Sustituimos valores conocidos an = a1 + (n – 1) d Consecuente menos antecedente 9 – 5 = 4 an = 5 + (n – 1) 4 an = 5 + 4n - 4 an = 4n + 1 TERMINO ENESIMO GENERALIZACION

PRIMER AÑO

* + 4n + 1 GENERALIZACION 5 , 9 13 17 21 25 … Buscamos la diferencia Término inicial GENERALIZACION 5 , 9 13 17 21 25 … Antecedente Consecuente + 4n * Buscamos la diferencia Consecuente menos antecedente 9 – 5 = + 4n + 1 ¿ Qué número sumado a cuatro veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ? 4 ( 1 ) x + 4 = 5, donde x = + 1 Generalización 4n + 1 Primera posición

* 4n + 4 GENERALIZACION 8 , 12 16 20 24 … Buscamos la diferencia Término inicial GENERALIZACION 8 , 12 16 20 24 … Antecedente Consecuente 4n * Buscamos la diferencia Consecuente menos antecedente 12 - 8 = 4n + 4 ¿ Qué número sumado a cuatro veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ? 4 ( 1 ) x + 4 = 8, donde x = 4 Generalización 4n + 4 Primera posición

* 2n + 28 GENERALIZACION 9 , 11 13 15 17 … Buscamos la diferencia Término inicial GENERALIZACION 9 , 11 13 15 17 … Antecedente Consecuente 2n * Buscamos la diferencia Consecuente menos antecedente 11 - 9 = 2n + 28 ¿ Qué número sumado a dos veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ? 2 ( 1 ) x + 2 = 9, donde x = 7 Generalización 2n + 7 Primera posición

81 cuadrados debe tener la vigésima figura ¿ Cuántos cuadritos forman la figura que se ubica en la vigésima posición ? Tercer figura Segunda figura Primer figura 5 13 9 Quinta figura Cuarta figura 4n + 1 4(20) + 1 17 21 81 cuadrados debe tener la vigésima figura

¿ Cuál es la regla para encontrar el número de cubos que hay en una figura cualquiera de esta sucesión? ¿ Cómo se puede expresar esta regla con una fórmula ? Primer figura Segunda figura 3 5 Tercer figura Generalización 7 2n + 1

De la siguiente sucesión, determina cuántos cuadrados hay en la quinta figura y escribe su generalización. Segunda figura 2 5 Primer figura Generalización 3n - 1 Cuarta figura Tercer figura 11 8 3(5) – 1 = 14

De la siguiente sucesión, determina cuántos cuadrados hay en la quinta figura y escribe su generalización. 8 Generalización Segunda figura 4 Primer figura 4n Cuarta figura Tercer figura 16 12 4 (5) = 20

De la siguiente sucesión, determina cuántos cuadrados hay en la quinta figura y escribe su generalización. Tercer figura Segunda figura Primer figura 9 5 13 Cuarta figura Generalización 4n + 1 17 4 (5) + 1 = 21

De la siguiente sucesión, determina cuántas bolitas hay en la sexta figura y escribe su generalización. Tercer figura Primer figura Segunda figura 10 4 7 Cuarta figura 16 Generalización Quinta figura 3n + 1 3 (6) + 1 = 19 13

De la siguiente sucesión, determina cuántas bolitas hay en la sexta figura y escribe su generalización. Cuarta figura Tercer figura Segunda figura Primer figura 5 10 15 20 Quinta figura Generalización 5n 5 (6) = 30 25

1. Hallar los dos términos siguientes de las sucesiones que se indican: 4 , 6 , 8 , 10 , 12 14 -5 , -2 , 1 , 4 , 7 , 10 13 -3 , 5 , -7 , 9 , -11 , 13 -15 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 49 1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16 22 1 , -2 , 3 , -4 , 5 , -6 , 7 -8 27 , 23 , 19 , 15 , 11 7 1 , 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 29

2. Determine el décimo término: 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , … 44 4n + 4 4(10) + 4 = 44 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , … 30 3n 3(10) = 30 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , … 27 2n + 7 2(10) + 7 = 27 57 , 60 , 63 , 66 , 69 , … 84 3n + 54 3(10) + 54 = 84

3. Escribe la generalización de cada una de las sucesiones siguientes: 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , … 2n 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , … 5n 10 , 20 , 30 , 40 , 50 , … 10n 50 , 57 , 64 , 71 , … 7n + 43 14 , 21 , 28 , 35 , 42 , … 7n + 7 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , … 5n + 10 35 , 40 , 45 , 50 , 55 , 60 , … 5n + 30 17 , 22 , 27 , 32 , 37 , 42 , 47 , … 5n + 12

4. Completa cada sucesión numérica y escribe el patrón que la generaliza: Generalización 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 3n 7 , 12 , 17 , 22 , 27 , 32 , 37 5n + 2 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , 29 4n + 1 1 , 8 , 15 , 22 , 29 , 36 , 43 7n - 6 2 , 11 , 20 , 29 , 38 , 47 , 56 9n - 7

SEGUNDO AÑO

* + 3n - 8 GENERALIZACION - 5 , - 2 1 4 7 … Buscamos la diferencia Término inicial GENERALIZACION - 5 , - 2 1 4 7 … Antecedente Consecuente + 3n * Buscamos la diferencia Consecuente menos antecedente - 2 - ( - 5 ) = + 3n - 8 ¿ Qué número sumado a tres veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ? 3 ( 1 ) x + 3 = - 5, donde x = - 8 Generalización 3n - 8 Primera posición

* - 1/2 n + 4 GENERALIZACION 7/2 , 3 5/2 2 3/2 … Término inicial GENERALIZACION 7/2 , 3 5/2 2 3/2 … Antecedente Consecuente - 1/2 n * Buscamos la diferencia Consecuente menos antecedente 3 - 7/2 = - 1/2 n + 4 ¿ Qué número sumado a – 1/2 veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ? - 1/2 ( 1 ) x - 1/2 = 7/2, donde x = 4 Generalización 1 n + 4 2 Primera posición

* - 5n + 28 GENERALIZACION 28 , 23 18 13 8 … Buscamos la diferencia Término inicial GENERALIZACION 28 , 23 18 13 8 … Antecedente Consecuente - 5n * Buscamos la diferencia Consecuente menos antecedente 23 - 28 = - 5n + 28 ¿ Qué número sumado a - cinco veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ? - 5 ( 1 ) x - 5 = 28, donde x = 33 Generalización - 5n + 33 Primera posición

, , , , , , , 1. Determina el décimo término: 5 2 - 1 … - 22 - 3 ( 10) + 8 = 22 1 , 1 2 , , - 1 2 , … n + 3 2 7 2 -10 + 3 = - 7 2 2

2. Escribe la generalización de cada una de las sucesiones siguientes: 44 , 41 , 38 , 35 , 32 , … - 3n + 47 28 , 23 , 18 , 13 , 8 , 3 , … - 5n + 33 8 , -2 , -12 , -22 , -32 , … - 10n + 18 -80 , -66 , -52 , -38 , -24 , … 14n - 94 -5 , -8 , -11 , -14 , -17 , -20 , … - 3n - 2 -24 , -18 , -12 , -6 , , 6 , … 6n - 30 -30 , -25 , -20 , -15 , -10 , -5 , … 5n - 35 -7 , -5 , -3 , -1 , 1 , 3 , … 2n - 9

Escribe la generalización de cada una de las sucesiones siguientes: -5 , -7 , -9 , -11 , -13 , … - 2n - 3 20 , 10 , , -10 , -20 , … - 10n + 30 -3 , -8 , -13 , -18 , -23 , … - 5n + 2 2 , -4 , -10 , -16 , -22 , … - 6n + 8 -1 , -2 , -3 , -4 , -5 , … - n 6 , 3 , , -3 , -6 , … - 3n + 9 3 2 , -1 , 1 2 , , 1 2 , … 1 n – 2 2

Escribe la generalización de cada una de las sucesiones siguientes: 4 , 3 , 2 , 1 , , … - n + 5 -9 , -15 , -21 , -27 , -33 , … - 6n - 3 7 2 , 3 , 5 2 , 2 , 3 2 , … - 1 n + 4 2 -10 , -8 , -6 , -4 , -2 , … 2n - 12 -3 , -7 , -11 , -15 , -19 , … - 4n + 1 5 , 3 , 1 , -1 , -3 , -5 , … - 2n + 7

TERCER AÑO

De la siguiente sucesión, determina cuántos cuadrados hay en la quinta figura y escribe su generalización. Tercer figura 4 Segunda figura Primer figura 1 9 Generalización Cuarta figura n2 16 (5)2 25 cuadrados

Número de mosaicos blancos que tendrá la figura que ocupa la quinta posición en la siguiente sucesión: Segunda figura Primer figura Tercer figura Cuarta figura

1 , 4 , 9 , 16 MOSAICOS CENTRALES Generalización n2 + 4 Observamos que en las figuras propuestas, se presenta un mosaico blanco en cada una de sus esquinas. CUATRO MOSAICOS BLANCOS APARECEN EN CADA FIGURA MOSAICOS CENTRALES 1 , 4 , 9 , 16 Generalización n2 + 4 Buscamos el quinto término: n2 + 4 = 52 + 4 = 29 29 mosaicos blanco debe tener la quinta figura

En la siguiente sucesión determina cuántos cuadrados formarán la sexta figura. Tercer figura Segunda figura Primera figura 1 3 6 Quinta figura Cuarta figura 10 15

Diferencias finitas an2 + bn + c a(1)2 + b(1) + c = a + b + c 1 3 9a + 3b + c a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c 2a 7a + b 4 16a + 4b + c a + b + c = 1 1/2 + 1/2 + c = 1 c = 0 2a = 1 a = 1/2 3a + b = 2 3/2 + b = 2 b = 1/2 c b a 1 2 1 3 an2 + bn + c 3 (6)2 + 6 2 21 cuadrados 6 1 n2 + n 2 4 10 Generalización

y escribe su generalización. En la siguiente sucesión determina cuántas bolitas hay en la quinta figura y escribe su generalización. Segunda figura 6 Primer figura 2 Cuarta figura Tercer figura 20 12

Diferencias finitas an2 + bn + c a(1)2 + b(1) + c = a + b + c 1 3 9a + 3b + c a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c 2a 7a + b 4 16a + 4b + c 2a = 2 a = 1 3a + b = 4 3 + b = 4 b = 1 a + b + c = 2 1 + 1 + c = 2 c = 0 c b a 2 4 2 6 6 12 2 n2 + n an2 + bn + c 8 20 Generalización

figura 2 se ven nueve caras. En la siguiente sucesión, en la figura 1 se ven tres caras del cubo, y en la figura 2 se ven nueve caras. Segunda figura Primer figura 9 3 Cuarta figura Tercer figura 27 17

En la vigésima quinta figura es posible ver 152 caras Diferencias finitas an2 + bn + c a(1)2 + b(1) + c = a + b + c 1 a + b + c 3a + b a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c 2 4a + 2b + c 2a a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c 5a + b 3 9a + 3b + c a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c 2a 7a + b 4 16ª + 4b + c 2a = 2 a = 1 3a + b = 6 3 + b = 6 b = 3 a + b + c = 3 1 + 3 + c = 3 c = -1 c b a 3 6 n2 + 3n - 1 2 9 (15)2 + 3(15 – 1 269 caras visibles 8 n2 + 3n – 1 = 153 n2 – 3n – 154 = 0 n = 25 17 2 Generalización 10 27 En la vigésima quinta figura es posible ver 152 caras

, , , , , Diferencias finitas Ejercicio a 10 24 44 70 102 … an2 + bn + c 1 a + b + c 3a + b 2 4a + 2b + c a(1)2 + b(1) + c = a + b + c 2a 5a + b a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c 3 9a + 3b + c 2a a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c 7a + b 4 16a + 4b + c a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c c b a 2a = 6 a = 3 3a + b = 14 9 + b = 14 b = 5 a + b + c = 10 3 + 5 + c = 10 c = 2 10 14 24 6 20 44 6 an2 + bn + c 3n2 + 5n + 2 26 70

, , , , , Diferencias finitas Ejercicio b 5 11 21 35 53 … an2 + bn + c a + b + c 3a + b 2 4a + 2b + c a(1)2 + b(1) + c = a + b + c 2a 5a + b a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c 3 9a + 3b + c 2a a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c 7a + b 4 16a + 4b + c a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c c b a 2a = 4 a = 2 3a + b = 6 6 + b = 6 b = 0 a + b + c = 5 2 + 0 + c = 5 c = 3 5 6 11 4 10 21 4 an2 + bn + c 2n2 + 3 14 35

, , , , , Diferencias finitas Ejercicio c - 4 - 1 4 11 20 … an2 + bn + c a(1)2 + b(1) + c = a + b + c a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c 1 a + b + c 3a + b 4a + 2b + c 9a + 3b + c 16a + 4b + c 5a + b 7a + b 2a 2 3 4 c b a 2a = 2 a = 1 3a + b = 3 3 + b = 3 b = 0 a + b + c = - 4 1 + 0 + c = - 4 c = - 5 - 4 3 - 1 2 5 4 2 an2 + bn + c n2 - 5 7 11

, , , , , Diferencias finitas Ejercicio d 3 8 15 24 … an2 + bn + c , 3 , 8 , 15 , 24 , … an2 + bn + c a(1)2 + b(1) + c = a + b + c a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c 1 a + b + c 3a + b 4a + 2b + c 9a + 3b + c 16a + 4b + c 5a + b 7a + b 2a 2 3 4 c b a 2a = 2 a = 1 3a + b = 3 3 + b = 3 b = 0 a + b + c = 0 1 + 0 + c = 0 c = -1 3 3 2 5 8 2 an2 + bn + c n2 - 1 7 15

, , , , , Diferencias finitas Ejercicio e 12 27 52 87 132 … an2 + bn + c a(1)2 + b(1) + c = a + b + c a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c 1 a + b + c 3a + b 4a + 2b + c 9a + 3b + c 16a + 4b + c 5a + b 7a + b 2a 2 3 4 c b a 2a = 10 a = 5 3a + b = 15 15 + b = 15 b = 0 a + b + c = 12 5 + 0 + c = 12 c = 7 12 15 27 10 25 52 10 an2 + bn + c 5n2 + 7 35 87

, , , , , Ejercicio f 5 14 29 50 77 … Generalización c b a 5 9 2a 3a + b a + b + c 14 6 15 29 2a = 6 a = 3 3a + b = 9 9 + b = 9 b = 0 a + b + c = 5 3 + 0 + c = 5 c = 2 6 21 50 6 27 77 3n2 + 2 Generalización

, , , , , Ejercicio g -7 2 17 38 65 … Generalización c b a -7 9 2a 3a + b a + b + c 2 6 15 17 2a = 6 a = 3 3a + b = 9 9 + b = 9 b = 0 a + b + c = -7 3 + 0 + c = -7 c = -10 6 21 38 6 27 65 3n2 - 10 Generalización

, , , , , Ejercicio h 6 13 24 39 58 … Generalización c b a 6 7 2a 3a + b a + b + c 13 4 11 24 2a = 4 a = 2 3a + b = 7 6 + b = 7 b = 1 a + b + c = 6 2 + 1 + c = 6 c = 3 4 15 39 4 19 58 2n2 + n + 3 Generalización

, , , , , Ejercicio i 5 12 23 38 57 … Generalización c b a 5 7 2a 3a + b a + b + c 12 4 11 23 2a = 4 a = 2 3a + b = 7 6 + b = 7 b = 1 a + b + c = 5 2 + 1 + c = 5 c = 2 4 15 38 4 19 57 2n2 + n + 2 Generalización

, , , , , Ejercicio j 5 11 21 35 53 … Generalización c b a 5 6 2a 3a + b a + b + c 11 4 10 21 2a = 4 a = 2 3a + b = 6 6 + b = 6 b = 0 a + b + c = 5 2 + 0 + c = 5 c = 3 4 14 35 4 18 53 2n2 + 3 Generalización

, , , , , Ejercicio k 1/2 3/2 3 5 … Generalización c b a 1/2 2a 3a + b , 1/2 , 3/2 , 3 , 5 , … c b a 1/2 2a 3a + b a + b + c 1/2 1/2 1 3/2 2a = 1/2 a = 1/4 3a + b = 1/2 3/4 + b = 1/2 b = -1/4 a + b + c = 0 1/4 - 1/4 + c = 0 c = 0 1/2 3/2 3 1/2 2 5 n2 - n 4 Generalización

, , , , , Ejercicio l 1/2 2 9/2 8 25/2 … Generalización c b a 1/2 3/2 3a + b a + b + c 2 1 5/2 9/2 2a = 1 a = 1/2 3a + b = 3/2 3/2 + b = 3/2 b = 0 a + b + c = 1/2 1/2 + 0 + c = 1/2 c = 0 1 7/2 8 1 9/2 25/2 n2 2 Generalización

, , , , , Ejercicio m 1/4 1 9/4 4 25/4 … Generalización c b a 1/4 3/4 3a + b a + b + c 1 1/2 5/4 9/4 2a = 12 a = 1/4 3a + b = 3/4 3/4 + b = 3/4 b = 0 a + b + c = 1/4 1/4 + 0 + c = 1/4 c = 0 1/2 7/4 4 1/2 9/4 25/4 n2 4 Generalización

, , , , , Ejercicio n - 3 3 13 27 45 … Generalización c b a - 3 6 2a 3a + b a + b + c 3 4 10 13 2a = 4 a = 2 3a + b = 6 6 + b = 6 b = 0 a + b + c = - 3 2 + 0 + c = - 3 c = - 5 4 14 27 4 18 45 2n2 - 5 Generalización

, , , , , Ejercicio ñ 3 6 11 18 27 … Generalización c b a 3 3 2a 3a + b a + b + c 6 2 5 11 2a = 2 a = 1 3a + b = 3 3 + b = 3 b = 0 a + b + c = 3 1 + 0 + c = 3 c = 2 2 7 18 2 9 27 n2 + 2 Generalización

, , , , , Ejercicio o 2 8 18 32 50 … Generalización c b a 2 6 2a 3a + b a + b + c 8 4 10 18 2a = 4 a = 2 3a + b = 6 6 + b = 6 b = 0 a + b + c = 2 2 + 0 + c = 2 c = 0 4 14 32 4 18 50 2n2 Generalización

, , , , , Ejercicio p -1 8 23 44 71 … Generalización c b a - 1 9 2a 3a + b a + b + c 8 6 15 23 2a = 6 a = 3 3a + b = 9 9 + b = 9 b = 0 a + b + c = - 1 3 + 0 + c = - 1 c = - 4 6 21 44 6 27 71 3n2 - 4 Generalización

, , , , , Ejercicio q 2 6 12 20 … Generalización c b a 2 2a 3a + b , 2 , 6 , 12 , 20 , … c b a 2 2a 3a + b a + b + c 2 2 4 6 2a = 2 a = 1 3a + b = 2 3 + b = 2 b = - 1 a + b + c = 0 1 - 1 + c = 0 c = 0 2 6 12 2 8 20 n2 - n Generalización

, , , , , Ejercicio r 3 12 27 48 75 … Generalización c b a 3 9 2a 3a + b a + b + c 12 6 15 27 2a = 6 a = 3 3a + b = 9 9 + b = 9 b = 0 a + b + c = 3 3 + 0 + c = 3 c = 0 6 21 48 6 27 75 3n2 Generalización

, , , , , Ejercicio s 4 15 30 49 72 … Generalización c b a 4 11 2a 3a + b a + b + c 15 4 15 30 2a = 4 a = 2 3a + b = 11 6 + b = 11 b = 5 a + b + c = 4 2 + 5 + c = 4 c = - 3 4 19 49 4 23 72 2n2 + 5n - 3 Generalización

, , , , , Ejercicio t 1/2 3 15/2 14 45/2 … Generalización c b a 1/2 3a + b a + b + c 3 2 9/2 15/2 2a = 2 a = 1 3a + b = 5/2 3 + b = 5/2 b = -1/2 a + b + c = 1/2 1 –1/2 + c = 1/2 c = 0 2 13/2 14 2 17/2 45/2 n2 - n 2 Generalización

, , , , , Ejercicio u - 3/2 5/2 6 21/2 … Generalización c b a - 3/2 , 5/2 , 6 , 21/2 , … c b a - 3/2 3/2 2a 3a + b a + b + c 1 5/2 5/2 2a = 1 a = 1/2 3a + b = 3/2 3/2 + b = 3/2 b = 0 a + b + c = - 3/2 1/2 + 0 + c = -3/2 c = - 2 1 7/2 6 1 9/2 21/2 n2 - 2 2 Generalización