LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA Rafael García Pérez

PARAMETRIZACIÓN NATURAL DE UNA CURVA Recordemos que una curva en el espacio puede venir dada por ecuaciones de distintas formas:

FORMA IMPLÍCITA: Como intersección de dos superficies. ƒ ( x,y,z) = 0 , g (x,y,z) = 0 FORMA PARAMÉTRICA: a) Tomando como parámetro una de las variables. x = x, y = y(x), z = z(x) ; x = x (y), y = y, z = z(y) ; x = x(z), y = y(z), z = z b) Tomando como parámetro cualquier λ : X = X(λ) , Y = Y(λ) , Z = Z(λ) FORMA VECTORIAL: Utilizando el vector de posición de la curva: r (λ) = { x (λ) , y (λ) , z (λ) }

¿ Pero como obtenemos la longitud de un arco ? Pues bien tenemos dos posibles opciones: La primera es dada una curva de ecuación r(λ) = ( x(λ), y(λ), z(λ) ), con λ Є I C R , sean λ 1 , λ 2 dos puntos del intervalo I , la longitud del arco se define como el valor de la integral Cuando el extremo superior es un punto cualquiera del intervalo la longitud de arco de curva es una función del parámetro s = s(λ), por las propiedades que tiene esta función, puede considerarse la longitud de arco de curva como parámetro de la curva que se llama parámetro natural de la curva.

La otra opción se trata de calcular la longitud de la curva γ dada por la ecuación γ = ƒ ( x), donde suponemos que ƒ : [ a , b]  R es una función con derivada primera continua. Para ello aproximamos la curva por poligonales incritas en ella. Cada partición a = x0 < x1 < x2 < …< xn-1 < xn = b de [ a, b ] induce una poligonal cuyos vertices son los puntos ( x k0 ƒ (xk)), 0 ≤ k ≤ n . El comando “arclength[ {x(t),y(t)}, {t,a,b},n]” representa la grafica de curva cuyas ecuaciones paramétricas son { x = x(t) , y = y(t) e inscribe en ella una poligonal de n lados que la divide en n partes que tienen la misma longitud. Tambien calcula la longitud de la poligonal que es una aproximación a la longitud de la curva.

La longitud de la poligonal de vertices es igual a por el teorema del valor Medio se verifica que para algún por tanto Pero esto es una suma de Rieman de la función Deducimos que la longitud de γ viene dada por

Para el caso de que la curva γ venga dad por las ecuaciones parametricas { x = x(t) y = y(t) , ( a ≤ t ≤ b ) donde suponemos que las funciones tienen derivada primera continua, razonando igua que antes se obtiene que la longitud de γ es igual a. Si la curva γ viene dada en coordenadas polares por la ecuación ρ = ƒ (θ), donde es una función con derivada primera continua, entonces la longitud de γ es igual a.

FIN