Apuntes de Matemáticas 3º ESO POLIEDROS TEMA 9 * 3º ESO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO PIRÁMIDES TEMA 9.5 * 3º ESO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO PIRÁMIDE Una pirámide es un poliedro limitado por una base y caras laterales triangulares que confluyen en un punto ( vértice ). Se pueden clasificar por su base: Hay tantas pirámides como lados del polígono que forma la base. h h h @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TIPOS DE PIRÁMIDES PIRÁMIDES RECTAS Son los PIRÁMIDES cuyas caras laterales son triángulos isósceles, todos iguales entre sí. PIRÁMIDES OBLICUAS Son los PIRÁMIDES que NO son rectas. PIRÁMIDES REGULARES Son los PIRÁMIDES cuya base es un polígono regular. También se puede clasificar al mismo tiempo según la forma de su base h @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Propiedades métricas La apotema de la pirámide, apo, es la altura del triángulo isósceles lateral de la misma. La apotema es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura, h, y la mitad del lado de la base, l/2. Luego: apo = √ [ (l/2)2 + h2 ] Cuando la base sea un rectángulo, habrá otra apotema distinta de la anterior: apo = √ [ (a/2)2 + h2) h apo a l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Propiedades métricas La apotema de la pirámide, apo, es la altura del triángulo isósceles lateral de la misma. Si la base es un rectángulo ya hemos visto que habrá dos apotemas: apo1 = √ [ (l/2)2 + h2 ] apo2 = √ [ (a/2)2 + h2) La arista lateral de la pirámide es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la apotema de la cara y la mitad de la base de dicha cara. Si la base es un rectángulo, la arista lateral de puede hallar de dos formas al = √ [(l/2)2 + apo12] al = √ [(a/2)2 + apo22] El valor de la arista lateral es único. al al h apo2 apo1 a l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_1 Una pirámide recta de base cuadrangular presenta una altura de 4 cm y un lado de la base de 6 cm. Hallar el perímetro de la base, la apotema y la arista lateral. P = 4.l = 4.6 = 24 cm Por Pitágoras: apo = √ [ (l/2)2 + h2) Apo = √ [ (6/2) 2 + 42 ] = √ 25 = 5 cm Arista lateral: al = √ [ (l/2) 2 + apo2) = √ (9 + 25) = = √ 34 cm apo al l l/2 l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_2 La apotema señalada en la figura de la pirámide mide 7 cm, y la altura es 1 cm mayor que el ancho de la base.Hallar el ancho y la altura. Por Pitágoras: apo = √ [ (a/2) 2 + h2) 7 = √ [ (a/2) 2 + (a+1) 2 ] Elevando todo al cuadrado: 49 = (a2 / 4) + a2 + 2.a + 1 196 = 5.a2 + 8.a + 4 5.a2 + 8.a – 192 = 0 Resolviendo … a = 5,45 cm El otro valor de a, negativo, no vale debido a la naturaleza del enunciado. Luego h = a+1 = 6,45 cm h apo a l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_3 La apotema señalada en la figura de la pirámide mide 7’07 cm. Sabemos que el largo de la base mide el doble que el ancho y que la altura mide el triple del ancho. Hallar las dimensiones de la pirámide y la arista lateral. Por Pitágoras: apo = √ (a2 + (3.a) 2) 7’07 = √ (a2 + 9.a2 ) Elevando todo al cuadrado: 50 = 10.a2 5 = a2  a = √5 cm a= - √5 cm no vale por el enunciado. Luego l = 2.√5 cm , h = 3.√5 cm La arista lateral valdrá: al = √ [apo2 + (a/2) 2] = √ (50 + (5/4)) = 7,16 cm al apo h apo a a a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TRONCO DE PIRÁMIDE Tronco de pirámide es el espacio de la misma existente entre la base y un plano paralelo que la corta. Ambas bases son siempre SEMEJANTES y las caras laterales son trapecios isósceles si la pirámide original es recta. ÁREA LATERAL Al = (P + p). h / 2  Al = (P + p). Apo / 2 ÁREA de las BASES La suma de las áreas de los polígonos que la formen. b = l h = Apo B = L TRONCO DE PIRÁMIDE con una de sus caras laterales resaltadas @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Desarrollo del tronco de pirámide apo l Apo @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO