I DENTIFICACIÓN DE S ISTEMAS Señales determinísticos de tiempo discreto 1

C ONTENIDO Señales de tiempo discreto Analisis de Fourier de señales deterministicas de tiempo discreto Densidades espectrales de energía y de potencia de señales discretas La transformada discreta de Fourier Análisis de sistemas de tiempo discreto Los operadores de adelanto y de retardo Propiedades de las señales tratadas por sistemas de tiempo discreto resumen 2

S EÑALES DE TIEMPO DISCRETO 3

Definicion: Definidas solamente a valores discretos del tiempo las señales de tiempo discreto pueden tomar todos los valores posibles Son secuencias de numeros reales o complejos 4 Señales Digitales: Son señales de tiempo discreto que toman solo valores dentro de un conjunto finito de posibles valores

R EPRESENTACION DE SEÑALES DE TIEMPO DISCRETO 5 Representacion Funcional Representacion Grafica

S EÑALES DE TIEMPO DISCRETO ELEMENTALES 6 La señal impulso unitario

S EÑALES DE TIEMPO DISCRETO ELEMENTALES 7 Señal paso unitario (secuencia Heaviside)

S EÑALES DE TIEMPO DISCRETO ELEMENTALES 8 Señales de tiempo discreto complejas

M UESTREO DE S EÑALES CONTINUAS 9

Las señales de tiempo discreto son simplemente una secuencia de números S EÑALES DE TIEMPO DISCRETO 10

S EÑALES DE TIEMPO DISCRETO Notese que x[n] esta definida para valores enteros de n x[n] no esta definida para argumentos no-enteros 11 La notacion x[n] representa tanto a la secuencia completa como al valor de la secuencia en n

M UESTREO PERIODICO DE UNA SEÑAL CONTINUA El proceso de muestreo es la transformacion de una señal continua a una señal discreta 12 sampling Analog signal Discrete-time sequence El sistema que implementa esta operacion es llamado un conversor

M UESTREO PERIODICO DE UNA SEÑAL CONTINUA El proceso de muestreo toma el valor instantaneo de la continua cada periodo de muestreo 13 u d (k) = u(kT s ) es la secuencia discreta definida para valores enteros k ∈ Z. T s es el periodo de muestreo

M UESTREO IDEAL DE UNA SEÑAL CONTINUA 14 u d (k) := u(kT s ) Frecuencia de muestreo k =1, 2, ···.

¿T IEMPO DISCRETO A CONTINUO ? 15 n –x[n] = n 2 – 5n + 3, for n  0 produce las muestras {3, -1, -3, -3, -1, 3,...} No es posible saber como se ve la secuencia en el tiempo continuo porque no tiene un muestreo asociado con ella

S EÑALES DE DATOS MUESTREADOS Y SEÑALES DE TIEMPO DISCRETO Las señales de tiempo discreto son simplemente una secuencia de números Las señales de datos muestreados se refieren a la situación híbrida donde interactúan señales de tiempo continuo y señales de tiempo discreto 16 t x(t)

E QUIVALENCIA BAJO RETENEDOR DE ORDEN CERO En muchas aplicaciones de control por computador, las señales de entrada de tiempo discreto son mantenidas constantes en medio de dos instantes de muestreo 17 u(t) = u(kT s ) para kT s ≤ t < (k +1)T s

N ORMALIZACION DE LA FRECUENCIA DE SEÑALES MUESTREADAS 18

E L C ONCEPTO DE FRECUENCIA PARA UNA SEÑAL CONTINUA Para una señal senoidal El incremento de f da como resultado mas oscilaciones por unidad de tiempo (más períodos en la unidad de tiempo) Dos señales senoidales con frecuencias distintas f 1 y f 2 son distintas. 19

E L C ONCEPTO DE FRECUENCIA PARA UNA SEÑAL DE TIEMPO DISCRETO Sea la señal senoidal de tiempo discreto Para periodicidad debe cumplirse Esta relación es verdadadera si y sólo si existe un entero k tal que 20

E L C ONCEPTO DE FRECUENCIA PARA UNA SEÑAL DE TIEMPO DISCRETO Sea la señal senoidal de tiempo discreto Para periodicidad, f debe ser un numero racional Si k y N son primos entre si entonces N se denomina el periodo fundamental de x[n] 21

E L PERIODO DE UNA SEÑAL DE TIEMPO DISCRETO Sean dos señales senoidales de tiempo discreto Un pequeño cambio en la frecuencia da como resultado un cambio grande en el periodo 22

F RECUENCIA MAXIMA DE UNA SEÑAL DE TIEMPO DISCRETO La maxima oscilacion de una señal senoidal de tiempo discreto se obtiene cuando La frecuencia radial w maxima es entonces 23

F RECUENCIA DISCRETA DE UNA SEÑAL CONTINUA Considerese que la señal x(t) produce x[n] Definamos la frecuencia digital 24 Las unidades de  d es radianes, no rads/seg

F RECUENCIA DISCRETA DE UNA SEÑAL CONTINUA Cuando  d varia entre 0 y 2 , entonces f varia de 0 a la frecuencia de muestreo La frecuencia digital esta normalizada 25

N ORMALIZACION DE LA FRECUENCIA En la mayoría de las situaciones del análisis de señales muestreadas, la conección con un mecanismo de muestreo simplemente se descarta Introduciendo la transformación de variables 26 Asumiendo T s = 1.

N ORMALIZACION DE LA FRECUENCIA Las señales se interpretan como señales de tiempo discreto (secuencias de números) 27 La frecuencia radial se normaliza en el intervalo [- ,  ]

N ORMALIZACION DE LA FRECUENCIA 28 Ejemplo:

A NALISIS DE F OURIER DE SEÑALES DETERMINISTICAS DE TIEMPO DISCRETO 29

S EÑALES DE TIEMPO DISCRETO Notacion: u es la señal de tiempo continuo que, posiblemente, sea la causa de la señal de tiempo discreto 30 ud(k)ud(k) k =1, 2, ···. indice Frecuencia de muestreo u d (k) := u(kT s )

P ROPIEDADES DE LAS SEÑALES Energia Potencia 31

S ERIES DE F OURIER DE TIEMPO DISCRETO Sea u d (k) una señal de tiempo discreto periodica. La serie Fourier de tiempo discreto de la señal está dada por 32 período N 0 Los coeficientes son tambien periodicos ω 0 = 2π/(N 0 T s )

S ERIES DE F OURIER DE TIEMPO DISCRETO Y CONTINUO 33 Caso discretoCaso continuo

S EÑAL PERIÓDICA DE TIEMPO DISCRETO 34 Señal periodicos ! Coeficientes de la serie

P OTENCIA DE LAS SEÑALES PERIÓDICAS 35 Cada función exponencial en u tiene una contribución independiente a la potencia de la señal Solo N 0 valores !!

T RANSFORMADA DE F OURIER PARA TIEMPO DISCRETO La Transformada de Fourier para señales de tiempo discreto está dada por 36 La transformada es una funcion continua en w

T RANSFORMADA DE F OURIER PARA TIEMPO DISCRETO La Transformada de Fourier de la señal de tiempo discreto u d está dada por 37 Ya que k es un entero, la transformada U s (ω) es una función periódica de período 2π/T s = ω s

T RANSFORMADA DE F OURIER PARA TIEMPO DISCRETO La Transformada de Fourier de la señal de tiempo discreto u d está dada por 38 La integral se puede tomar sobre cualquier rango de ω con longitud 2π/T s,

T RANSFORMADA DE F OURIER PARA TIEMPO DISCRETO 39 Señal Transformada las señales en verde son las equivalentes para tiempo continuo

T RANSFORMADA DE F OURIER PARA SEÑALES DE TIEMPO FINITO Las señales de tiempo finito que están definidas en el intervalo [0,N ], (o, estrictamente, entre [0,NT s ]) 40 Solo N valores !!

T RANSFORMADA DE F OURIER DE SEÑALES PERIÓDICAS Para una señal periódica con período T 0 los coeficientes de la serie de Fourier pueden estar directamente relacionados con una transformada de Fourier de tiempo finito, tomada durante un período de la señal periódica 41

T RANSFORMADA DE F OURIER DE UN TREN DE IMPULSOS 42 Señal Transformada

P OTENCIA DE LAS SEÑALES PERIÓDICAS 43 La potencia de la señal se puede calcular a partir de la Transformada de Fourier

D ENSIDADES ESPECTRALES DE ENERGÍA Y DE POTENCIA DE SEÑALES DISCRETAS 44

D ENSIDAD E SPECTRAL DE E NERGÍA Para una señal de energía u d ( k ) 45 Donde Ψ u (ω) es la Densidad Espectral de Energía

D ENSIDAD E SPECTRAL P OTENCIA Para una señal de potencia 46 Donde Φ u (ω) es la Densidad Espectral de Potencia

P ERIODOGRAMA Para señales de potencia finita la cantidad se denomina el periodograma de la señal de tiempo discreto (de tiempo finito). 47

D ENSIDAD ESPECTRAL DE S EÑALES PERIÓDICAS Para señales periódicas la densidad espectral de potencia puede ser calculada directamente en base a los coeficientes de Fourier de tiempo discreto 48

L A TRANSFORMADA DISCRETA DE F OURIER 49

T RANSFORMADA DE F OURIER PARA SEÑALES DE TIEMPO FINITO Las señales de tiempo finito que están definidas en el intervalo [0,N ], (o, estrictamente, entre [0,NT s ]) 50 Solo N valores !!

T RANSF. DE F OURIER DE SEÑALES DISCRETAS DE TIEMPO FINITO Si restringimos la atención a la situación de señales de tiempo finito, la DTFT de tiempo finito esta dada por el par: 51

T RANSF. DE F OURIER DE SEÑALES DISCRETAS DE TIEMPO FINITO 52 Observese que mientras U N (ω) toma sus valores en una región continua de ω, para reconstruir la señal original u d sólo son necesarios N valores discretos de U N.

L A TRANSFORMADA DISCRETA DE F OURIER Esta secuencia, U N ( ω ), = 0, … N – 1}, se denomina la Transformada discreta de Fourier (DFT) de la señal u d ( k ) 53

L A TRANSFORMADA DISCRETA DE F OURIER La Transformada discreta de Fourier (DFT) 54 ¿Qué se puede observar?

L A TRANSFORMADA DISCRETA DE F OURIER La Transformada discreta de Fourier (DFT) 55 Es periódica con un período de 2π/T s. 1

L A TRANSFORMADA DISCRETA DE F OURIER La Transformada discreta de Fourier (DFT) 56 Constituye un mapeo uno a uno de una secuencia de longitud N de muestras en el dominio del tiempo a una secuencia de longitud N de muestras en el dominio de la frecuencia 2

L A TRANSFORMADA DISCRETA DE F OURIER La Transformada discreta de Fourier (DFT) 57 Debido a razones de simetría, la DFT satisface U N (−ω) = U N (ω) ∗ 3

L A TRANSFORMADA DISCRETA DE F OURIER La Transformada discreta de Fourier inversa 58 4 La DFT inversa, también define una secuencia en el dominio del tiempo fuera del intervalo [0, N − 1]. Induce una extensión periódica de la secuencia original u d (k), ya que la señal reconstruida es periódica con período N

L A TRANSFORMADA DISCRETA DE F OURIER PARA T S = 1 En muchas situaciones las señales de tiempo discreto son analizadas sin tener en cuenta el hecho que ellas provienen de señales muestreadas en tiempo continuo 59

¿Preguntas? 60

C OMPUTO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE F OURIER 61

C OMPUTO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE F OURIER Para el calculo de la transformada discreta de Fourier, un computador digital únicamente trabaja con datos discretos de u ( t ), k = 0, …, N – 1. Además debe calcular la transformada sólo en valores discretos de w, es decir, 62

C OMPUTO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE F OURIER Recalquemos que se debe calcular la transformada sólo en valores discretos de w, 63

C OMPUTO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE F OURIER Es decir, para calcular la transformada es necesario usar solo las primeras N funciones exponenciales complejas periódicas 64

C OMPUTO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE F OURIER INVERSA Tambien se observa que La DFT inversa es un polinomio trigonométrico de interpolación de grado ≤ N – 1 para las señales discretas de tiempo finito. 65

F ORMA VECTORIAL DE LA TRANS. DISCRETA DE F OURIER Se puede reformular la serie discreta Fourier en forma vectorial Definiendo 66

F ORMA VECTORIAL DE LA TRANS. DISCRETA DE F OURIER Entonces 67

F ORMA VECTORIAL DE LA TRANS. DISCRETA DE F OURIER Considerando se puede escribir 68

LA MATRIZ DE F OURIER Definimos la matriz de Fourier W N dada por entonces 69

F ORMA VECTORIAL DE LA TRANS. DISCRETA DE F OURIER La transformada discreta de Fourier esta dada en terminos de las matrices de Fourier se expresa por el par 70

M ATRIZ DE F OURIER PARA N = 4 Por ejemplo, para N = 4 71 u d (k), k = 0, 1, 2, 3

C ARGA COMPUTACIONAL DE LA T RANSFORMADA F OURIER En general, el cálculo de todos los coeficientes de Fourier discretos de una señal muestreada N veces requiere un total de N 2 multiplicaciones complejas y sumas complejas Similarmente, dados los coeficientes de Fourier, la reconstrucción de la señal muestreada requiere de N 2 – N multiplicaciones complejas y N 2 – N sumas complejas. 72

T RANSFORMADA RÁPIDA DE F OURIER James Cooley y John Tukey descubrieron un algoritmo mucho más eficiente La Transformada rápida de Fourier (FFT) 73 número de cálculos aproximado: disminuye en orden desde N 2 a Nlog (N) Requerimiento: N = 2 n, n entero

P ROPIEDADES DE LAS SEÑALES TRATADAS POR SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO P 74

E N EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA Para un sistema LTI de dimension finita con señal de entrada u ( t ) 75 Transformada de Fourier Densidad espectral de energía Densidad espectral de potencia

R ESUMEN 76

A NALISIS DE F OURIER PARA SEÑALES 77

F UENTES Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004 Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class Notes. December, Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems. University of Birmingham Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics. School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas Moler C. and Moler K., Numerical Computing with MATLAB. The MathWorks, Inc. and Stanford University Basile G. and Marro G., Controlled and Conditioned Invariants in Linear Systems Theory. Department of Electronics, Systems and Computer Science. University of Bologna, Italy. October 7, 2002 Tham M.T., Dynamic Models for Controller Design. Department of Chemical and Process Engineering. University of Newcastle upon Tyne

ULTIMA DIAPOSITIVA 79