Gráfica de una ecuación y lugares geométricos

Geometría Analítica Plana Gráfica de una ecuación y lugares geométricos Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría Extensión de la curva Asíntotas Construcción de curvas

Geometría Analítica Plana Gráfica de una ecuación y lugares geométricos Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica

Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica

Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica Dada una ecuación, interpretarla geométricamente Dada un figura geométrica, determinar su ecuación

Geometría Analítica Plana Gráfica de una ecuación y lugares geométricos Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación

Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación

Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación

Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación

Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación

Primer caso: Construir una gráfica a partir de una ecuación. Definición: El conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación, se llama gráfica de la ecuación ó lugar geométrico.

Para trazar una gráfica Plano cartesiano Ecuación Se necesita Lugar geométrico ó gráfica de la ecuación Pares ordenados de puntos Ejemplo de notas

Características de la ecuación El conjunto solución de la ecuación, formado por los puntos ordenados, debe pertenecer al conjunto de los números reales Al menos una de las variables debe de estar en función de otra

x y -3

x y -3 1 -1

x y -3 1 -1 -5

x y -3 1 -1 -5 2

x y -3 1 -1 -5 2 -2 -7

x y -3 1 -1 -5 2 -2 -7 3

x y -3 1 -1 -5 2 -2 -7 3 -9

x y -3 1 -1 -5 2 -2 -7 3 -9 4 5

x y -3 1 -1 -5 2 -2 -7 3 -9 4 5 -4 -11

Construcción de la curva Criterios Extensión de la curva Intersección con los ejes Cálculo de coordenadas Construcción de la curva Simetría Asíntotas

Intersección con los ejes coordenados Geometría Analítica Plana Gráfica de una ecuación y lugares geométricos Intersección con los ejes coordenados

Intersección con el eje X

Intersección con el eje X Para encontrar la intersección con el eje X: Se hace y = 0 en la ecuación y se encuentran las raíces de la ecuación resultante

Intersección con el eje X. Ejemplo

Intersección con el eje Y

Intersección con el eje Y Para encontrar la intersección con el eje Y: Se hace x = 0 en la ecuación y se encuentran las raíces de la ecuación resultante

Intersección con el eje Y. Ejemplo

Simetría Geometría Analítica Plana Gráfica de una ecuación y lugares geométricos Simetría

Simetría

Simetría

Simetría

Simetría

Simetría Se dice que dos puntos son simétricos a un punto O, si O es el punto medio del segmento que los une. El punto O se llama centro de simetría. A B O

Simetría El punto O se llama centro de simetría. A B O

Simetría A B O

Simetría Se dice que una curva es simétrica con respecto a un eje de simetría cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que estos dos puntos son simétricos respecto al eje. y x O P(x, y) P’(a, b) M(x, 0)

Simetría Se dice que una curva es simétrica con respecto a un centro de simetría O, cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que dos puntos son simétricos respecto a O.

Simetría

Simetría con respecto al eje X

Simetría con respecto al eje X

Simetría con respecto al eje X

Simetría con respecto al eje X

Simetría con respecto al eje X Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable y es reemplazada por –y, la curva es simétrica respecto al eje X. El recíproco también es verdadero

x y 0.0 1.0 -1.0 2.0 1.4 -1.4 3.0 1.7 -1.7 4.0 -2.0 5.0 2.2 -2.2 6.0 2.4 -2.4 7.0 2.6 -2.6 8.0 2.8 -2.8 9.0 -3.0 10.0 3.2 -3.2 11.0 3.3 -3.3 12.0 3.5 -3.5 13.0 3.6 -3.6 14.0 3.7 -3.7 15.0 3.9 -3.9 16.0 -4.0 17.0 4.1 -4.1 18.0 4.2 -4.2 19.0 4.4 -4.4 20.0 4.5 -4.5

Simetría con respecto al eje Y Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable x es reemplazada por –x, la curva es simétrica respecto al eje Y.

x y -10 100 -9 81 -8 64 -7 49 -6 36 -5 25 -4 16 -3 9 -2 4 -1 1 2 3 5 6 7 8 10 11 121

Simetría con respecto al origen 3) Si la ecuación de una curva no se altera cuando las variables x y y son reemplazadas por –x y –y, la curva es simétrica respecto al origen O.

x y -10 -1000 -9 -729 -8 -512 -7 -343 -6 -216 -5 -125 -4 -64 -3 -27 -2 -1 1 2 8 3 27 4 64 5 125 6 216 7 343 512 9 729 10 1000 11 1331

Simetría

Simetría

Extensión de la curva Geometría Analítica Plana Gráfica de una ecuación y lugares geométricos Extensión de la curva

Extensión de una curva La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de x e y son valores reales.

Extensión de una curva Es útil porque: La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de x e y Es útil porque: da la localización general de la curva en el plano e indica si la curva es cerrada o si es de extensión indefinida.

Extensión de una curva Los intervalos para los cuales los valores de x e y son reales se determinan resolviendo la ecuación dada para y en términos de x, y para x en términos de y

Extensión de una curva. Ejemplo 1

Extensión de una curva. Ejemplo 2

Asíntotas Geometría Analítica Plana Gráfica de una ecuación y lugares geométricos Asíntotas

Asíntotas Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asíntota de la curva.

Asíntotas Esta definición implica dos cosas : una curva que tiene una asíntota no es cerrada o de extensión finita, sino que se extiende indefinidamente una curva se aproxima a la asíntota más y más a medida que se extiende más y más en el plano coordenado

Asíntotas Siendo la asíntota una línea recta, puede tener una cualquiera de tres posiciones particulares . Si es paralela o coincide con el eje X, se llama asíntota horizontal. Si es paralela o coincide con el eje Y, asíntota vertical. Si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, asíntota oblicua.

Asíntotas Aquí consideraremos solamente la determinación de asíntotas verticales y horizontales. Posteriormente veremos la determinación de asíntotas oblicuas para una curva particular conocida con el nombre de hipérbola.

Asíntotas Se debe tener presente que una curva no tiene necesariamente una o más asíntotas. Hay muchas curvas que no tienen asíntotas. Sin embargo , si una curva tiene asíntotas, su determinación será , como veremos , una gran ayuda para construir su gráfica.

Asíntotas

Recta paralela al eje Y

Recta paralela al eje Y

Recta paralela al eje Y

Recta paralela al eje X

Asíntotas

Asíntotas verticales

Asíntotas horizontales

Asíntotas. Ejemplo 1

Asíntotas. Ejemplo 1

Asíntotas. Ejemplo 1

Asíntotas. Ejemplo 1

Asíntotas. Ejemplo 1

Asíntotas. Ejemplo 1

Asíntotas. Ejemplo 2

Asíntotas. Ejemplo 2

Asíntotas. Ejemplo 2

Asíntotas. Ejemplo 2 ¡Hay dos asíntotas!

Asíntotas. Ejemplo 2

Asíntotas. Ejemplo 2

Asíntotas. Ejemplo 2

Asíntotas. Notas