TEMA 5 PROBABILIDAD

1. Experimentos aleatorios. Y espacios muestrales Los experimento aleatorios son aquellos cuyo resultado final depende del azar, y por tanto no se puede predecir de ante mano. Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio lo llamaremos espacio muestral, y lo designaremos por E. Cada elemento que forma parte del espacio muestral E, se denomina punto muestral.

2. Sucesos aleatorios. Tipo de sucesos. Se llama suceso de un experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos de espacio muestral E. El conjunto de todos los sucesos de un experimento aleatorio se denomina espacio de sucesos y se designa por S. En un experimento aleatorio con un espacio muestral de n elementos (n finito), el conjunto espacio de sucesos tendrá 2

2.1 Suceso seguro. Un suceso seguro es aquel que siempre sucede. Por tanto, este tipo de sucesos, estará formado por todos los posibles resultados. Por ello se representa también por E. 2.2 Suceso elemental. Un suceso elemental es aquel que está formado por un único punto muestral, es decir, por un único resultado del experimento aleatorio. 2.3 Suceso imposible. Un suceso imposible es aquel que no se puede realizar. Por ello se designa por O/

2.4 Suceso contrario Dado un suceso cualquiera A del espacio de sucesos S, se llama suceso contrario al suceso A a un suceso que se realiza siempre que no se realiza A y recíprocamente. Al suceso contrario se le designa A- , Ac. 2.5 Suceso compatible e incompatible Cuando se verifica la igualdad AÇB = Ø se dice que los sucesos A y B son dos sucesos incompatibles, y, cuando la intersección no es el suceso imposible los sucesos se llaman compatibles.

3. Operaciones con sucesos. 3.1 Unión de sucesos Dados dos sucesos, A y B, de un mismo experimento aleatorio, se llama suceso de unión de A y B el que se produce cuando se realiza A o B, es decir, alguno de los dos. Se designa A U B. Al suceso de unión entre A y B se le denomina suceso C. 3.2 Intersección de sucesos Dado dos sucesos A y B, de un mismo experimento aleatorio, se llama suceso intersección de A y B el que se produce cuando se realizan simultáneamente los sucesos A y B. Se designa A B. El suceso A B está formado por los puntos muestrales comunes a los sucesos A y B

3. Operaciones con sucesos. 3.3 Diferencia de sucesos Dados dos sucesos, A y B, de un mismo experimento aleatorio, se llama suceso diferencia de A y B el suceso A B-, es decir, el que se produce cuando se realiza el suceso A, pero no se realiza B. Se designa por A - B.

4. Leyes de Morgan 1ª. El contrario de la unión es la intersección de los contrarios. 2ª. El contrario de la intersección es la unión de los contrarios.

5. Regla de Laplace Si un espacio maestral es equiprobable (es decir, todas las opciones tienen la misma posibilidad), entonces la probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables al suceso A y el número de casos posibles. Su fórmula es :

6. Definición axiomática de probabilidad La definición axiomática de probabilidad se basa en la relación que existe entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de pruebas es muy grande. Kolmogorov enunció la siguiente definición axiomática de probabilidad.

6. Definición axiomática de probabilidad Se llama probabilidad a una ley (función o aplicación) que asocia a cada suceso A. de un espacio muestral, un número real que llamamos probabilidad de A y representamos por P (A), que cumple los siguientes axiomas: L a probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula. P(A) 0 La probabilidad de un suceso cierto es igual a la unidad. P (E) = 1 La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. P(A U B)=P(A)+P(B) (A y B incompatibles)

6. Definición axiomática de probabilidad Las consecuencias son: Probabilidad del suceso contrario La probabilidAd de , contrario al suceso A, es igual a 1 menos la probabilidad del suceso A. P ( ) = 1 – P (A) 1= P(E) = P (A ) = P (A) + P ( ) Probabilidad del suceso imposible. La probabilidad del suceso imposible es O: Como el suceso imposible es el contrario del suceso cierto y P (E) = 1, aplicando el resultado anterior se obtiene:

7.Probabilidad condicionada. Sucesos dependientes e independientes Se llama probabilidad condicionada del suceso A respecto del suceso B, y se anota por P (A/B) a la siguiente fórmula y consiste en que se tiene que cumplir aquello que va tras la barra en este caso B para que se cumpla el suceso A. si P ( A ) 0 Al igual sucedería con la A condicionada de B. De esta relación se obtiene el producto siguiente : P( B /A ) = P( B/A ) · P( A )

8. Teorema de la probabilidad total Si A1, A2 ,... , An son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A1 A2 … An= E). Y B es otro suceso. Resulta que: p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2) + ... + p(An) · p(B/An)

9.Teorema de Bayes Si A1, A2,... , Anson: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A1 A2... An= E). Y B es otro suceso. Resulta que: *Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori. *Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori. *Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.