Cap. 2 – Movimiento en Una Dimension

Posición y Tiempo Lo fundamental del movimiento es un cambio de posición que ocurre durante un intérvalo de tiempo. Desplazamiento = Cambio de posición Matemáticamente Δx = x2 – x1 Δt = t2 – t1

Posición se mide con un sistema de coordenada(s) donde se escoge un origen arbitrariamente. El signo del desplazamiento corresponde a la dirección del movimiento.

Descripción Detallada Si conozco sólo el desplazamiento total y el intérvalo de tiempo total, tengo una descripción general del movimiento pero no detallada. Una detallada se logra conociendo la posición para cada instante de tiempo entre el inicio y el fin del movimiento. Matemáticamente: x(t), una función.

Cuatro movimientos que son muy diferentes pero que tienen todos el mismo desplazamiento.

Gráfica de Posición Una ayuda matemática. Esta es la gráfica de algo que no se está moviendo.

Gráfica de Algo en Movimiento La gráfica Herramienta matemática El movimiento La realidad física

Descripción Alterna - Velocidad Porqué necesito otra descripción? Porque será útil para ciertas cosas. Nuevo concepto – nueva manera de mirar la misma realidad. Esto ocurre frecuentemente en la física. El poder mirar la misma realidad desde muchos puntos de vista diferentes es bueno. Cada uno puede ser útil para diferentes propósitos. La simple razón entre desplazamiento y tiempo me da un nuevo concepto que no es ni uno ni lo otro.

Gráficamente, velocidad es la pendiente Gráficamente, velocidad es la pendiente. En el ejemplo se ve claramente la diferencia entre una descripción general en términos de la velocidad promedio y una descripción detallada. La línea rosa es el detalle de un movimiento donde primero se va en truck y después a pie. La línea azul que va en recta desde la posición inicial a la final tiene una pendiente que equivale a la velocidad promedio. Fíjate que la pendiente del movimiento en truck es mayor que el de caminar (velocidad del truck es mayor). Fíjate que la velocidad promedio es intermedia pero no es igual al promedio matemático de las velocidades que componen el movimiento.

Velocidad Instantanea Al tomar la derivada de la función de posición, puedo definir la velocidad en un instante de tiempo en el cual el objeto está en una sola posición. Esta es la magia del cálculo…. Así obtengo otra función del tiempo, v(t), que también es una descripción detallada del movimiento.

Otro ejemplo. Aquí los colores están al revés del último. En este movimiento la velocidad instantanea cambia continuamente (linea curveada). Esto corresponde a que la pendiente de tal linea nunca se mantiene constante. La velocidad promedio es la pendiente de un movimiento imaginario con velocidad constante que tiene el mismo desplazamiento total y tiempo total.

Aceleración Promedio Instantanea Podemos repetir la historia calculando la razón entre cambio de velocidad y tiempo. A esto le llamaremos aceleración. Podemos calcular la aceleración promedio y la aceleración instantanea. Gráficamente será la pendiente de la gráfica de velocidad. También provee una descripción detallada del movimiento que tiene gran utilidad. Afortunadamente, la derivada de la aceleración no es útil y podemos terminar aquí nuestro juego de tomar derivadas.

Sentidos de Velocidad y Aceleración? ¿Has viajado a velocidad constante en carro en una carretera plana y lisa? Sentías la velocidad? Podías decir a qué velocidad iba el carro? El cuerpo no tiene sentido de velocidad. ¿Qué sentías cuando el carro cambiaba de velocidad ya sea que acelerara fuertemente o que pegara frenos de momento? El cuerpo sí tiene un sentido de aceleración. Hay una buena razón física para esto que entenderemos más adelante cuando estudiemos la relación entre aceleración y los objetos que rodean a un cuerpo acelerado.

Las tres gráficas para un movimiento de aceleración constante La gráfica de posición es una parábola y la de velocidad una linea recta.

Un ejemplo un poco complicado compuesto por tres movimientos de velocidad constante y dos movimientos de transición. Empieza en reposo y termina en reposo. Velocidad constante de cero. Gráfica de posición horizontal. Velocidad y aceleración también horizontal (en cero). En el medio hay un movimiento de velocidad constante. Gráfica de posición linea recta. Gráfica de velocidad es una linea horizontal no igual a cero. Gráfica de aceleración es una linea horizontal en cero. Durante las transiciones, la velocidad varia uniformemente (aceleración constante). La gráfica de velocidad es una linea recta con pendiente. La gráfica de aceleración es una linea horizontal no igual a cero.

Resumen Posición, velocidad y aceleración son tres maneras diferentes de describir el movimiento aunque están relacionadas. El cambio con el tiempo es lo más importante en el movimiento. Los casos de: A) velocidad constante. B) aceleración constante. se dan a menudo. Debemos estudiarlos en detalle.

Ten cuidado Puedo tener posición = 0 y velocidad ≠ 0. Puedo tener velocidad = 0 y aceleración ≠ 0. Algo puede tener velocidad (estar moviéndose hacia) una dirección y tener aceleración en dirección contraria. En ese caso su rapidez (la magnitud de la velocidad) estaría disminuyendo. A esto se le llama deceleración. Hay una diferencia entre “estar en reposo” y “permanecer en reposo”. En el segundo, la velocidad es constantemente cero. En el primero la velocidad instantanea es cero pero podría estar cambiando, o sea, podría haber aceleración.

Caida Libre - Aceleración Constante

Caida Libre - Aceleración Constante

Comparación entre dos “caidas libres” Ambas son tiradas hacia arriba Gráficas de posición versus tiempo. Se tiran desde la misma altura. La que se tira con más rapidez (curva anaranjada) está más tiempo en el aire y llega a su altura máxima más tarde. Gráficas de velocidad versus tiempo. Ambas son lineas rectas con la misma pen-diente negativa (misma aceleración = - g). Ambas empiezan con velocidad positiva (hacia arriba) y se detienen (v=0) en el instante en que llegan a su altura máxima. Luego tienen velocidad negativa (se mueven hacia abajo).

Ecuaciones de Relación entre Desplazamiento, Velocidad y Aceleración para el caso de Aceleración Constante v = velocidad final, v0 = velocidad inicial, t es el intervalo de tiempo x - x0 = Δx = desplazamiento total.

Ecuaciones de Relación entre Desplazamiento, Velocidad y Aceleración para el caso de Aceleración Constante, cont. Hay dos ecuaciones independientes. que contienen cinco variables, Δx, v, v0 , a, t . Si conocemos tres de estas variables, podemos usar estas ecuaciones para encontrar las otras dos. En vez de hacer manipulaciones algebráicas durante el examen, muchos estudiantes prefieren memorizar otras ecuaciones que se deducen de estas dos.

Ecuaciones de Relación entre Desplazamiento, Velocidad y Aceleración para el caso de Aceleración Constante, cont. Consideraciones prácticas. Ninguna de las ecuaciones contiene todas las cinco variables. A todas les falta una variable. Así que podemos resolver cualquier problema con una sola ecuación considerando cuál es la variable que ni me dan ni me piden. ECUACION VARIABLE QUE NO TIENE x – x0 v t a v0

Ecuaciones para “Caida Libre” Para no estar cambiando, siempre tomamos positivo hacia arriba. La aceleración está fija en – g así que el número de variables se reduce a cuatro. Las otras tres ecuaciones se pueden escribir de forma análoga. En estos problemas sólo me tienen que dar dos variables. Fíjate que en estas ecuaciones y en las de la página anterior, t ahora se refiere al intervalo de tiempo. Aquí “y” no es la posición sino el desplazamiento. Los signos de las variables son muy importantes. Velocidad hacia arriba es positiva, hacia abajo es negativa. Desplazamiento negativo quiere decir que termina por debajo de donde empezó, positivo que termina por encima. g es +9.8 m/s2 . Los signos en las ecuaciones no cambian con el problema. Los que cambian son los signos de las variables.

Problema de Ejemplo – Caida Libre Un objeto es soltado del reposo. ¿Cuánto tiempo le toma caer 48m? Solución: Dado a = -g, v0 = 0, Δy = -48. (tres variables) Me piden t. Ecuación que selecciono. Sustituyo en la ecuación Resuelvo (Positivo!) (b) ¿Cuál es su velocidad final? Me piden v. Escojo la solución negativa porque sé que se está moviendo hacia abajo!

Otro Ejemplo de Caida Libre Un objeto es tirado hacia arriba a 12 m/s. (a) ¿Cuánto tiempo le toma llegar a su altura máxima? Solución: Dado a = -g, v0 = +12, v = 0. (tres variables) Me piden t. Ecuación que selecciono. Resuelvo (b) ¿Cuál es su altura máxima? Me piden y. Ecuación que selecciono. V 2 = V02 – 2 g y (c) ¿ Cuánto tiempo le toma llegar a una altura de 5m? Solución: Dado a = -g, v0 = +12, y = +5. (tres variables) Hay dos soluciones porque alcanza esa altura dos veces.

Problemas con Dos Movimientos Hay problemas complicados donde hay dos movimientos. Las ecuaciones aplican a cada movimiento por separado pero hay que diferenciar entre las variables de un movimiento versus el otro. Algunas variables serán diferentes entre los dos movimientos pero algunas serán iguales. Por ejemplo, si los desplazamientos de ambos son iguales o si ambos toman el mismo tiempo. Esto permite reducir el número de variables en el problema y hacer la solución mucho más fácil. En los casos en que el segundo movimiento es la continuación del primero, entonces la velocidad final y la posición final del primero es la velocidad inicial y la posición inicial del segundo.