>> Transformación << Sistemas de Referencia LINK http://www.sc.ehu.es/ccwgamoa/docencia/Material/Presentaciones Trfm.SistRef A. García-Alonso

Contenido Transformación “window/viewport” (Hearn 6) Recorte de primitivas Fundamentos de Álgebra (Burgos 11) J. de Burgos, “Álgebra Lineal”, McGraw-Hill, 1993 Sistemas de referencia Transformaciones 3D (Foley 5, Hearn 11) Cámaras (OpenGL PG 3, Hearn 12) Avatares (VRML’97) Seleccionar (picking) Trfm.SistRef A. García-Alonso

Todo en una imagen La siguiente figura muestra el uso de las distintas transformaciones en OpenGL, que es semejante a la utilizada en todo sistema de visualización En este capítulo lo estudiaremos paso por paso Trfm.SistRef A. García-Alonso

Window & Viewport Sistema de referencia del mundo Cualquier sistema de unidades: metro, seg., m/s, litros, etc Cada eje unidad independiente (velocidad & tiempo) Sist. Ref. mundo Trfm.SistRef A. García-Alonso

… Sistema de referencia de la pantalla Unidades : píxeles Su origen varía de unos sistemas a otros Esquina inferior izquierda Esquina superior derecha Pantalla con imagen x y Trfm.SistRef A. García-Alonso

Definición “window & viewport” Rectángulo definido en el Sistema de Referencia del Mundo mediante cuatro valores (cuidado !, hay dos posibilidades): Extremos, dos sobre el eje x, y otros dos sobre el eje y Coordenadas del origen y longitudes horizontal y vertical Viewport Rectángulo definido en el Sistema de Referencia de la Pantalla Nota : como se verá, en los sistemas de ventanas, cada ventana 3D es, conceptualmente, una pantalla independiente Objetivo : seleccionar que área del mundo se desea ver en un sub-área de la pantalla Trfm.SistRef A. García-Alonso

Observar la distorsión en la imagen ... yvmin yvmax xvmin xvmax Rectángulo viewport xwmin xwmax ywmin ywmax Rectángulo window Observar la distorsión en la imagen + = Imagen en pantalla Trfm.SistRef A. García-Alonso

Transformación “window to viewport” Se definen los límites mínimos y máximos, en “x” y en “y” de los rectángulos window & viewport Problema Dadas las coordenadas de un vértice (xw, yw) en el sistema de referencia del mundo Determinar que coordenadas (xv, yv) le corresponden en el sistema de referencia de la pantalla xwmin xwmax ywmin ywmax (xw, yw) yvmin yvmax xvmin xvmax (xv, yv) Trfm.SistRef A. García-Alonso

Cálculo transformación “W/V” Objetivo : transformar coordenadas de los vértices del sistema del mundo al de la pantalla Hay dos modos de determinar la transformación Transformación matricial bidimensional : escalado y translación Fórmula directa (usaremos este) Se deben cumplir las relaciones de semejanza : Trfm.SistRef A. García-Alonso

... De aquí se despeja : Siendo las constantes de transformación : xv = ax + xw · sx yv = ay + yw · sy Siendo las constantes de transformación : ax = xvmin - xwmin · sx ay = yvmin - ywmin · sy sx = ( xvmax - xvmin ) / (xwmax - xwmin ) sy = ( yvmax - yvmin ) / (ywmax - ywmin ) Trfm.SistRef A. García-Alonso

Ventana : término equívoco Ventana en transformaciones “window to viewport” Ventana en los sistemas de ventanas The X window system (Linux) & Microsoft windows En estos casos los viewport Se definen para cada ventana 3D contenida en el escritorio Cada ventana 3D tiene su propio sistema de pantalla El origen en la esquina superior izquierda del área de dibujo de la ventana (el marco no cuenta) Uso actual del modo “full window” Aplicación : simulación, proyección, stereo Conexión de bordes en multi-proyección Problema : interfaz 2D (menús, cajas de diálogo, etc) Trfm.SistRef A. García-Alonso

Distorsión En ocasiones no importa que se produzca distorsión Distintas unidades en los dos ejes Con frecuencia es deseable evitar la distorsión Dibujo planos Modo de evitarla Manteniendo el window, reducir el viewport Deja franjas verticales u horizontales sin dibujar Esta solución no es habitual Manteniendo el viewport, determinar un window apropiado Normalmente es lo más recomendable Trfm.SistRef A. García-Alonso

Ejercicio : evitar la distorsión Dado un window y un viewport, calcular un nuevo window (yw’min , yw’max) ó (xw’min , xw’max) mayor que el original, de modo que no se distorsione la imagen xwmin xwmax ywmin ywmax yw’min yw’max negro y punteado : window dado rojo & sólido : window calculado para evitar distorsión en la imagen xvmax yvmin yvmax xvmin width height Trfm.SistRef A. García-Alonso

... Definimos la proporción de un rectángulo : a = w/h Hay que analizar dos casos vw vh viewport negro y punteado : window dado rojo & sólido : window ampliado para evitar distorsión en la imagen Observar que el window es proporcional al viewport aviewport < awindow  recrecer altura window aviewport > awindow  recrecer anchura window Trfm.SistRef A. García-Alonso

Recorte (clipping) Casi siempre es necesario recortar los elementos gráficos que se transforman fuera del viewport, pues sólo se deben dibujar los elementos interiores (en la figura se han dibujado a trazos los elementos a descartar) Esto da lugar al problema de recorte de (H 6.5-6.11) Segmentos Polígonos (vacíos o rellenos) Círculos Curvas Texto Etc Trfm.SistRef A. García-Alonso

Fundamentos de Álgebra Geometría : área del Álgebra que trata de las medidas, propiedades y relaciones entre puntos, líneas, ángulos, superficies y cuerpos Topología : estudia las propiedades que no cambian al producirse “deformaciones continuas” Contenido del repaso Puntos y vectores Espacio vectorial euclídeo El espacio afín Sistemas de referencia Geometry : a branch of mathematics that deals with the measurement, properties, and relationships of points, lines, angles, surfaces, and solids (Alkona dictionary) Topology is the study of properties which are left unchanged by "continuous deformation". The development of topology has had a great influence on many areas of mathematics. Various branches of topology are: general topology (sometimes called point-set topology), algebraic topology and differential topology. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/ Topology The spatial relationships between connecting or adjacent coverage features (e.g., arcs, nodes, polygons, and points). For example, the topology of an arc includes its from- and to-nodes, and its left and right polygons. Topological relationships are built from simple elements into complex elements: points (simplest elements), arcs (sets of connected points), areas (sets of connected arcs), and routes (sets of sections, which are arcs or portions of arcs). Redundant data (coordinates) are eliminated because an arc may represent a linear feature, part of the boundary of an area feature, or both. Topology is useful in GIS because many spatial modeling operations don't require coordinates, only topological information. For example, to find an optimal path between two points requires a list of the arcs that connect to each other and the cost to traverse each arc in each direction. Coordinates are only needed for drawing the path after it is calculated. http://www.muni.org/gis/gisinternet/htmls/metadata/glossary.htm Trfm.SistRef A. García-Alonso

Puntos y vectores Conjunto E3 Espacio vectorial 3 A sus elementos se les llama puntos Punto vs. Vértice (geometría vs. topología) Espacio vectorial 3 Sus elementos son vectores Coordenadas vs. Componentes Transformaciones Unidades Adimensional o especificado Metros (VRML) Trfm.SistRef A. García-Alonso

Espacio vectorial euclídeo Espacio vectorial euclídeo : todo espacio vectorial real dotado de un producto escalar (Burgos 8.1) Producto escalar Sea V un espacio vectorial real La aplicación : V x V   Será un producto escalar o producto interno, si para cualesquiera x, x’, y  V y λ, λ’  , se verifica que x · y = y · x ( λx + λ’x’) · y = λx · y + λ’x’ · y x · x > 0 ,  x ≠ 0 Trfm.SistRef A. García-Alonso

El espacio afín El espacio afín (E3) ( Se define y fundamenta en Álgebra ) Está constituido por los siguientes elementos : Conjunto E3 Espacio vectorial 3 Aplicación :  (P, Q) / P, Q  E3  v  3 Esta relación se denota : v = PQ ó Q = P + v [1] Se deben verificar las condiciones :  P  E3 y  v  3 , | Q  E3 que satisface [1] Dados tres puntos cualesquiera P, Q, R  E3 se verifica PQ + QR = PR (relación de Chasles) Trfm.SistRef A. García-Alonso

Sistemas de referencia Bases ortonormales (Burgos 8.3) Coordenadas cartesianas (Burgos 11.1 (201) ) Dados un punto O (origen) de E3 y si (e1, e2, e3) es una base de 3, se dice entonces que (O; e1, e2, e3) es una referencia cartesiana de E3. Cuando la base sea ortonormal, a la referencia se la llamará rectangular Se llaman coordenadas cartesianas de un punto X  E3 respecto de dicha referencia a las coordenadas (x1, x2, x3) del vector OX en la base (e1, e2, e3) Trfm.SistRef A. García-Alonso

Dextrógiro o levógiro Reglas Mano derecha o izquierda Sacacorchos o rosca normal Los sistemas dextrógiros son los más habituales En algunos casos el sistema de la cámara es levógiro y x z Dextrógiro (right handed) y x z Levógiro (left handed) Trfm.SistRef A. García-Alonso

Center for Academic Computing ... Penn State University Center for Academic Computing Visualization Group http://www.cac.psu.edu/dept/cac/publications/web/ publications/cacguide/viz/sem_notes/3d_fundamentals Trfm.SistRef A. García-Alonso

Sistemas de referencia en GxC Mundo (World, Global) en el cuál se construye la escena (cptos de gravedad, eje vertical) Modelado (Local) en el cual se describe un objeto Cámara (Camera) Rígidamente unido cámara Origen en punto vista Dirección de visión Normalizado Pantalla (device) Monitor Ventana xw yw zw zm ym xm zc yc xc Trfm.SistRef A. García-Alonso