Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u Ahora, demostraremos que el estimador ordinario de mínimos cuadrados (OLS) del coeficiente de la pendiente en un modelo de regresión no tiene sesgo. ( unbiased) 1 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u Vimos en una presentación anterior que el coeficiente de la pendiente se puede descomponer en el valor real y una suma ponderada de los valores del término de error. weighted sum of the values of the disturbance term. 2 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u Por lo tanto, el valor esperado de b 2 es igual al valor esperado de  2 y el valor esperado de la suma ponderada de los valores del término de error. 3 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u  2 es fijo, por lo que no es afectado por las expectativas. La primera regla del valor esperado (capítulo de revisión) indica que la expectativa de una suma de varias cantidades es igual a la suma de sus expectativas. 4 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u Ahora para cada i, E(a i u i ) = a i E(u i ). Este es un paso realmente importante y sólo lo podemos llevar a cabo con el Modelo A. 5 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u Bajo el Modelo A, estamos asumiendo que los valores de X en las observaciones no son aleatorios. Por lo que cada a i no es eleatoria dado que sólo es una combinación de los valores de X. 6 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u De este modo puede ser tratado como constante, permitiendo que la saquemos de la expectativa usando la segunda regla del valor esperado (capítulo de la revisión). 7 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u Bajo el supuesto, A.3, E(u i ) = 0 para toda i, yel estimador es insesgado. La prueba de la imparcialidad del estimador del intercepto se dejará como un ejercicio. 8 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u Es importante notar que los estimadores OLS de los parámetros no son los únicos insesgados. Daremos ejemplos de otros. 9 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u Alguien que nunca ha oído hablar de análisis de regresión, viendo un diagrama de dispersión de una muestra de observaciones, podría estimar la pendiente uniendo la primera y la última observaciones, y dividiendo el aumento en la altura por la distancia horizontal entre ellas. 10 Y Y1Y1 X1X1 XnXn YnYn X Y n – Y 1 X n – X 1 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u Por lo tanto, el estimador es (Y n –Y 1 ) dividido entre (X n –X 1 ). Investigaremos si está sesgado o no. 11 Y Y1Y1 X1X1 XnXn YnYn X Y n – Y 1 X n – X 1 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u Para hacer esto, comenzaremos substituyendo los compoenetes Y en la expresión. 12 Y Y1Y1 X1X1 XnXn YnYn X INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u Los términos  1 se anulan y el resto de la expresión se simplifica como se muestra. Así hemos descompuesto este estimador en dos componentes, el valor real y un término de error. Esta descomposición es paralela a la del estimador OLS, pero el término del error es diferente. 13 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u Ahora tomamos expectativas para investigar imparcialidad. 14 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple : Y =  1 +  2 X + u El denominador del término de error puede sacarse porque los valores de X no son aleatorios. 15 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u Dado el supuesto A.3, las expectativas de u n y u 1 son cero. Por lo tanto, a pesar de ser naïve, este estimador no está sesgado.. 16 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u Es intuitivamente fácil saber que no preferiremos el estimador naïve sobre el OLS. A diferencia del OLS, que toma cuenta de cada observación, emplea solamente la primera y la última, por lo que está perdiendo la mayor parte de la información en la muestra. 17 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u El estimador naïve será sensible al valor del término de error u en esas dos observaciones, mientras que el estimador OLS combina todo los valores del término de error y aprovecha la posibilidad de que, hasta cierto punto, se anulen. 18 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

Modelo de regresión simple: Y =  1 +  2 X + u Con mayor rigor, puede ser demostrado que la variación de población del estimador naïve es mayor que la del estimador OLS, y que el estimador naïve es por lo tanto menos eficiente. 19 INSESGAMIENTO DE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN

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