Prof. Pedro José Tineo Figueroa Unidad IV: Distribución de Velocidad en Flujo Turbulento Prof. Pedro José Tineo Figueroa

OBJETIVO TERMINAL Al finalizar esta unidad el estudiante debe ser capaz de: Interpretar el Significado del Número de Reynolds y el Comportamiento del Flujo Viscoso Turbulento

OBJETIVO ESPECÍFICOS Analizar el experimento de Reynolds. Establecer el significado del Número de Reynolds. Interpretar el concepto de flujo viscoso turbulento. Describir el principio de la capa limite. Demostrar la ecuación del perfil universal de velocidades.

Perfil universal de velocidades. CONTENIDO Experimento de Reynolds, número de Reynolds. Flujo viscoso turbulento. Perfil universal de velocidades. Bibliografía: Bird, Stewart y Lightfoot. FENÓMENOS DE TRANSPORTE. Editorial Reverte, 1987. Streeter V. MECÁNICA DE LOS FLUIDOS. Mc Graw Hill 2002. Welty, Wicks y Wilson. FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE MOMENTO CALOR Y MASA. Segunda edición, Limusa Wiley, 2001

Experimento de Reynolds En la Unidad I se estudió el concepto de la viscosidad, pero ¿Cómo afecta la viscosidad el flujo de fluidos viscosos? Es universalmente aceptada la idea de que existen dos tipos distintos de flujo viscoso: Flujo Laminar: Se caracteriza porque las capas adyacentes de fluido se deslizan suavemente una sobre la otra. Flujo Turbulento: En este caso se transfieren entre las capas pequeños paquetes de partículas de fluido, haciendo el flujo fluctuante Este comportamiento fue descrito por primera vez en forma cuantitativa por Osborne Reynolds (1883) con un clásico experimento.

Experimento de Reynolds Determinó que dos situaciones de flujo diferentes eran dinámicamente similares si el grupo adimensional vl/ tenían el mismo valor. Ese grupo adimensional es conocido hoy día como el Numero de Reynolds (Re) Donde: v [m/s]: Velocidad característica l [m]: Longitud característica [kg/m3]: Densidad [Pa·s]: Viscosidad Para demostrar eso ideó el siguiente montaje:

Experimento de Reynolds Observó que para caudales pequeños la tinta se movía como una línea recta, sin embargo al aumentar el caudal comenzaba a ondular hasta que se rompía y la tinta se difundía por el tubo. Para el flujo en un tubo cilíndrico se determinó: Remin= 2000 Remax= 4000 En general se puede definir el Número de Reynolds para flujo en conductos como: Donde: RH: Radio Hidráulico AF: Área transversal al flujo de fluido PM: Perímetro del conducto en contacto con el fluido.

Experimento de Reynolds Por ejemplo para una tubería cilíndrica de diámetro D: D Físicamente el Re se interpreta como:

Capa Límite El concepto de capa Límite fue desarrollado por Prandtl en 1904 Provee un vínculo importante entre el flujo de fluidos ideales y el flujo de fluidos reales. Es la capa de fluido cuya velocidad ha sido afectada por el esfuerzo cortante de la frontera. “Los esfuerzos de fricción a valores altos de Re solo se presentan en una delgada capa en los límites del cuerpo”

Capa Límite El criterio para saber el tipo de capa límite se basa en el Número de Reynolds Local: Para el flujo sobre una placa plana, los datos experimentales indican que: Rex < 2·105 La capa límite es laminar 2·105 < Rex < 3·106 La capa límite puede ser laminar o turbulenta. 3·106 < Rex La capa límite es turbulenta. El análisis matemático de la capa límite se realiza a partir de la ecuación de Navier-Stokes (bidimensional) y la ecuación de continuidad, después de algunas simplificaciones:

Capa Límite Blasius (1908) propuso la resolución de este sistema utilizando una función de corriente y reduciendo el sistema a una sola ecuación diferencial ordinaria. Los resultados significativos de este trabajo son los siguientes: El espesor de la capa límite, , para flujo laminar sobre una placa plana se obtiene considerando que vx/v≈0,99, en este punto se tiene: El gradiente de rapidez en la superficie esta dado por: Entonces el esfuerzo cortante en la superficie puede calcularse como:

Distribuciones de Velocidad En la zona turbulenta la solución de Blasius está muy limitada, entonces se recurre al análisis integral del momento de Von Kármán, a partir del cual se obtienen los siguientes resultados para la capa límite turbulenta: Distribuciones de Velocidad en Flujo Turbulento:

Distribuciones de Velocidad En la subcapa laminar viscosa el esfuerzo cortante es constante e igual al esfuerzo cortante en la pared (o), la distribución de velocidades esta dada por la Ley de Newton dentro de la región y  ’ (espesor de la subcapa): El término (o/)1/2 de conoce como la velocidad de esfuerzo cortante (u*), por consiguiente: Esta relación lineal se extiende hasta u*y/ ≈ 5, por lo tanto ’=5/u* En la capa de transición el esfuerzo cortante es aproximadamente igual al de la pared, por lo tanto: Suponiendo que l es proporcional a y (l = y), al sustituir y reordenar se obtiene:

Distribuciones de Velocidad Para evaluar la constante se usa la condición de Bakhmeteff (1941), es decir, u=up cuando y=’: N es un valor crítico en la zona donde el flujo cambia de laminar a turbulento, con este valor aplicado en la ecuación para la zona de transición se tiene: De donde se puede despejar la constante y sustituir en la ecuación original para obtener:

Distribuciones de Velocidad Este resultado es válido para tuberías con paredes lisas, para las cuales Nkuradse (1932) determinó experimentalmente los valores de  y A, graficando los u/u* vs. ln(yu/u*): De donde se desprende que  = 0,4 y A = 5,5

Aplicaciones

“ Cuando vayan mal las cosas como a veces suelen ir… y procure tu camino, muchas cuestas por subir…descansar acaso debes, pero nunca desistir ya que al final del camino hay un hermoso tesoro por descubrir.” Anónimo