Vectores Aleatorios 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio 2 Distribuciones marginales y condicionadas 3 Independencia entre variables aleatorias 4 Características de un vector aleatorio Esperanza Varianza, Covarianza, Correlación 5 Transformaciones de vectores aleatorios 6 Distribución Normal multivariante

Estadística. Profesora: María Durbán 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio En el tema anterior estudiamos distribuciones de probabilidad para una variable aleatoria. Sin embargo, a menudo nos interesa estudiar más de una variable en un experimento aleatorio. Por ejemplo, en la clasificación de señales emitidas y recibidas, cada señal se clasifica como de baja, media o alta calidad. Podemos definir X=número de señales de baja calidad recibida, e Y=número de señales de alta calidad En general, si X e Y son dos variables aleatorias la distribución de probabilidad que define simultáneamente su comportamiento se llama distribución de probabilidad conjunta Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio Variables discretas Dadas dos v.a. discretas, definimos su función distribución de probabilidad mediante la función de probabilidad conjunta: Como en el caso unidimensional está función debe verificar: La función de distribución conjunta: Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio Ejemplo En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida. Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio Ejemplo En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida. Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: Y 4 4.1x10-5 3 4.1x10-5 1.84x10-3 2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2 1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561 X 0 1 2 3 4 Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio Ejemplo En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida. Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: Y 4 4.1x10-5 3 4.1x10-5 1.84x10-3 2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2 1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561 X 0 1 2 3 4 Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio Variables continuas Dadas dos v.a. continuas, definimos su función distribución de probabilidad mediante la función de densidad conjunta: Como en el caso unidimensional está función debe verificar: La función de distribución conjunta: Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio Variables continuas La probabilidad ahora se calcula como un volumen: Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio Ejemplo Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidor se conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario. La función de densidad conjunta viene dada por: Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio Ejemplo Y 3000 Recinto donde la función de densidad no es 0 2000 1000 1000 2000 3000 X Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio Ejemplo Y 3000 2000 Recinto de integración para el cálculo de esa probabilidad 1000 1000 2000 3000 X Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio Ejemplo Y 3000 2000 x=y 1000 1000 2000 3000 X Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio Ejemplo Y 3000 2000 x=y 1000 1000 2000 3000 X Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones marginales Si se definen más de una v.a. en un experimento, es importante distinguir entre la distribución de probabilidad conjunta y la distribución de probabilidad de cada variable individualmente. A la distribución de cada variable se le denomina distribución marginal. Variables Discretas Dadas dos v.a. discretas, con función de probabilidad conjunta las funciones de probabilidad marginales de ambas variables son: Son funciones de probabilidad Se puede calcular su esperanza, varianza, etc. Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones marginales Ejemplo En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida. Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: Y X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos La función de probabilidad marginales se obtendrían sumando en ambas direcciones 4 4.1x10-5 3 4.1x10-5 1.84x10-3 2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2 1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561 X 0 1 2 3 4 Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones marginales Ejemplo En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida. Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: Y X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos La función de probabilidad marginales se obtendrían sumando en ambas direcciones 0.0001 0.0036 0.0486 0.2916 0.6561 X 0 1 2 3 4 Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones marginales Ejemplo En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida. Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: Y X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos La función de probabilidad marginales se obtendrían sumando en ambas direcciones 4 4.1x10-5 3 4.1x10-5 1.84x10-3 2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2 1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561 X 0 1 2 3 4 Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones marginales Ejemplo En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida. Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: Y X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos La función de probabilidad marginales se obtendrían sumando en ambas direcciones 4 0.00004 3 0.00188 2 0.03250 1 0.24925 0.71637 X Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones marginales Variables Continuas Dadas dos v.a. continuas, con función de densidad conjunta las funciones de densidad marginales de ambas variables son: Son funciones de densidad Se puede calcular su esperanza, varianza, etc. Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones marginales Ejemplo Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidor se conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario. La función de densidad conjunta viene dada por Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones marginales Ejemplo Podemos resolverlo de dos formas: Integrar la función de densidad conjunta en el recinto adecuado Calcular la función de densidad marginal de Y y calcular esa probabilidad Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones marginales Ejemplo Y Y Podemos resolverlo de dos formas: Integrar la función de densidad conjunta en el recinto adecuado 3000 2000 1000 1000 2000 3000 X Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones marginales Ejemplo Y Y Podemos resolverlo de dos formas: Calcular la función de densidad marginal de Y y calcular esa probabilidad 3000 2000 1000 1000 2000 3000 X Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones marginales Ejemplo Y Y Podemos resolverlo de dos formas: Calcular la función de densidad marginal de Y y calcular esa probabilidad 3000 2000 1000 Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones condicionadas Cuando se definen más de una v.a. en un experimento, el conocimiento de una de las variables puede afectar las probabilidades que se asocian con los valores de la otra variable Recordamos del Tema 3 (Probabilidad): Mide el tamaño de uno con respecto al otro Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones condicionadas Cuando se definen más de una v.a. en un experimento, el conocimiento de una de las variables puede afectar las probabilidades que se asocian con los valores de la otra variable Variables Discretas Dadas dos v.a. discretas, con función de probabilidad conjunta la funcion de probabilidad de Y condicionada a X=x0: Para un valor genérico de x Podemos calcular su esperanza, varianza, etc. Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones condicionadas Ejemplo En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida. Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos Como sólo se transmiten 4 bits, si X=4, necesariamente Y=0 si X=3, Y=0 ó 1 Saber lo que vale X cambia la probabilidad asociada con los valores de Y Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones condicionadas Ejemplo En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida. Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos Como sólo se transmiten 4 bits, si X=3, Y=0 ó 1 Número esperado de bits sospechosos cuando en número de aceptables es 3 Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones condicionadas Variables Continuas Dadas dos v.a. continuas, con función de densidad conjunta la función de densidad de Y condicionada a X Es función de densidad Se puede calcular su esperanza, varianza, etc. Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones condicionadas Ejemplo Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidor se conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario. La función de densidad conjunta viene dada por ¿Cuál será la probabilidad de que el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario sea más de 2000 milisegundos si el tiempo que ha tardado el servidor en conectarse ha sido 1500 milisegundos? Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones condicionadas Ejemplo Y Y 3000 2000 1000 1000 2000 3000 X Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 2 Distribuciones condicionadas Ejemplo Y Y 3000 2000 1000 1000 2000 3000 X Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 3 Independencia entre variables aleatorias En algunos experimentos, el conocimiento de una de las variables puede no afectar ninguna de las probabilidades que se asocian con los valores de la otra variable Independientes Recordamos del Tema 3 (Probabilidad): Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 3 Independencia entre variables aleatorias Variables Discretas Diremos que dos variables son independientes si: Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 3 Independencia entre variables aleatorias Variables Continua Diremos que dos variables son independientes si: Estadística. Profesora: María Durbán

3 Independencia entre variables aleatorias Ejemplo Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidor se conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario. La función de densidad conjunta viene dada por ¿son X e Y independientes? Para todos los valores de x Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 4 Características de un vector aleatorio Dadas n v.a. definimos el vector n-dimensional La función de probabilidad/densidad del vector es la función de probabilidad/densidad conjunta de los componentes del vector. Esperanza Se define el vector de medias como el vector cuyas componentes son las medias o esperanzas de cada componente. Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 4 Características de un vector aleatorio Covarianza Primero comenzamos por definir la covarianza entre dos variables: Es una medida de la relación lineal entre dos variables Propiedades Si son independientes ya que Si sean independientes Si hacemos un cambio de origen y escala: Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 4 Características de un vector aleatorio Covarianza ¿Cómo lo calculamos? Necesitamos calcular la esperanza de una función de dos variables aleatorias: Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 4 Características de un vector aleatorio ´Covarianza positiva Covarianza cero Hay relación pero no lineal Los puntos tienen igual probabilidad y esos son los único que tienen probabilidad no nula Covarianza negativa Covarianza cero Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 4 Características de un vector aleatorio Ejemplo En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida. Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.: X = Número de bits aceptables Y = Número de bits sospechosos ¿Es la covarianza entre X e Y positiva o negativa? Sabemos que cuando Y se acerca a 4, X se acerca a 0 Por lo tanto la covarianza el negativa Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 4 Características de un vector aleatorio Correlación La correlación entre dos variables también es una medida de la relación linear entre dos variables Si son independientes ya que Si Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 4 Características de un vector aleatorio Matriz de Varianzas y Covarianzas Dadas n v.a. llamamos matriz de varianzas y covarianzas del vector a la matriz cuadrada de orden n: Propiedades Simétrica Semidefinida positiva Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 5 Transformaciones de vectores aleatorios Al igual que en el caso univariante, hay ocasiones en que es necesario calcular la distribución de probabilidad de una función de dos o más v.a. Dado un vector aleatorio con función de densidad conjunta y lo transformamos en otro vector aleatorio de la misma dimensión mediante una función Existen las transformaciones inversas Los puntos tienen igual probabilidad y esos son los único que tienen probabilidad no nula Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 5 Transformaciones de vectores aleatorios Si tiene menor dimensión que , completamos con elementos de hasta completar la misma dimensión. Ejemplo Calcular la función de densidad de Definimos Buscamos la distribución conjunta de Calculamos la marginal de Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 5 Transformaciones de vectores aleatorios Ejemplo Buscamos la distribución conjunta de ¿En qué recinto está definida? Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 5 Transformaciones de vectores aleatorios Ejemplo 1 2 Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 5 Transformaciones de vectores aleatorios Ejemplo 1 2 Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 5 Transformaciones de vectores aleatorios Ejemplo Calculamos la marginal de Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 5 Transformaciones de vectores aleatorios Convolución de X1 y X2 Si X1 y X2 son variables aleatorias independientes con funciones de densidad y , la función de densidad de es Se utiliza en casos como la transformada de Fourier Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 5 Transformaciones de vectores aleatorios Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas y varianzas de transformaciones lineales: Ejemplo Los puntos tienen igual probabilidad y esos son los único que tienen probabilidad no nula Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 5 Transformaciones de vectores aleatorios Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas y varianzas de transformaciones lineales: Ejemplo Los puntos tienen igual probabilidad y esos son los único que tienen probabilidad no nula Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 5 Transformaciones de vectores aleatorios Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas y varianzas de transformaciones lineales: Caso particular: Distribución Normal Los puntos tienen igual probabilidad y esos son los único que tienen probabilidad no nula Normal Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 5 Transformaciones de vectores aleatorios Ejemplo Una pieza en forma de U está formada por tres partes, A, B y C. La longitud de A sigue una distribución Normal con media 10mm y desviación típica 0.1mm. El grosor de las partes B y C se distribuye normalmente con media 2mm y desviación típica 0.05mm. Suponiendo que las dimensiones de las partes son independientes: Determinar la media y desviación típica de la distribución del hueco D. En esa pieza ha de encajar otra de 7.9 mm, ¿cuál es la probabilidad de que una pieza de esta forma sea inservible? D B C A Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 5 Transformaciones de vectores aleatorios Ejemplo Determinar la media y desviación típica de la distribución del hueco D. D B C A Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 5 Transformaciones de vectores aleatorios Ejemplo En esa pieza ha de encajar otra de 7.9 mm, ¿cuál es la probabilidad de que una pieza de esa forma sea inservible? D B C El 20% de las piezas fabricadas es inservible A Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 6 Distribución Normal multivariante Si vector aleatorio sigue una distribución Normal bivariante con vector de medias y matriz de varianzas-covarianzas tiene función de densidad: Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 6 Distribución Normal multivariante Los puntos tienen igual probabilidad y esos son los único que tienen probabilidad no nula Estadística. Profesora: María Durbán

Diagrama de dispersión Función de densidad Diagrama de dispersión

Estadística. Profesora: María Durbán 6 Distribución Normal multivariante Propiedades Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 6 Distribución Normal multivariante Ejemplo En el proceso de fabricación de lámparas electroluminiscentes (luz negra), se depositan capas de tinta en una base de plástico. El grosor de esas capas es determinarte a la hora de satisfacer las especificaciones relativas al color e intensidad de la luz. Sean X e Y el grosor de dos capas de tinta, se sabe que ambas siguen una distribución Normal, con medias 0.1mm y 0.23mm y desviaciones típicas 0.00031mm y 0.00017mm respectivamente. La correlación entre ambas es 0. Las especificaciones de grosor son las siguientes: ¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara elegida al azar satisfaga las especificaciones? Estadística. Profesora: María Durbán

Estadística. Profesora: María Durbán 6 Distribución Normal multivariante Ejemplo ¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara elegida al azar satisfaga las especificaciones? Estadística. Profesora: María Durbán