Estadística 2221 Prf. Jorge L. Cotto La Distribución Normal Capítulo 6 Estadística 2221 Prf. Jorge L. Cotto

La Distribución Normal Describe la probabilidad de un evento que se encuentra en intérvalos 2. Aplica a variables continuas de poblaciones 3. Los Parámetros que definen la probabilidad de que la variable se halle en un intérvalo son: El Promedio  y la Desviación Estándar 

Distribución Normal Función de Probabilidad f(X) = frecuencia de la variable X  = 3.14159; e = 2.71828  = desviación standard de la población X = valor de la variable aleatoria (- < X < )  = media de la población

La Distribución Normal Características Básicas Es simétrica alrededor de su promedio. El promedio = la mediana = moda El modelo estándar tiene a  = o y  = 1 Para hallar la de que probilidad de un evento se encuentre entre dos o más valores; por ejemplo entre  y X1 ó X1 y X2

La Distribución Normal P(X) X Media Mediana Moda

La Distribución Normal

La Distribución Normal

Distribución Normal Probabilidad ¡Probabilidad es el area bajo la curva! ? P ( c  X  d )  f(X) X c d

Variable Aleatoria Continua 1. Un Evento Expresado por Valor Numérico expresado en una escala continua. Ej. pesos Observación: 115.2, 156.8, 190.1, 225.9 2. Variable Aleatoria Continua Número Entero o Fraccional Se obtiene por Medición u Observación Número Infinito de Valores en Intervalos

Variable Aleatoria Continua Ejemplos Evento Variable Posibles Aleatoria Valores Peso 100 Personas Weight 45.1, 78, ... Vida Útil de una Parte Horas 900, 875.9, ... Record de Gastos Dinero 54.12, 42.0, ... Tiempo Entre Llegadas 0, 1.3, 2.78, ... Tiempo

Distribución Normal Probabilidad De acuerdo a la fórmula que produce las probabilidades, se requerirían muchas tablas de la distribución al variar los parámetros de promedio y desviación estándar. No obstante esta dificultad se elimina al estandarizar la tabla utilizando en la fórmula  = o y  = 1 .

Numero Infinito de Tablas de DistribuciónNormal Distribuciones Normales difieren en promedio & desviación estandar. Cada distribución requiere su propia tabla. f(X) X ¡Es un número infinito!

Efectos al Variar los Parametros ( & ) f(X) B A C X

Estandarizar la Distribución Normal Estandarizada    = 1 z  X  = 0 Z Z ¡Una tabla!

Ejemplo de Estandarización Distribución Normal Distribución Normal Estandarizada  = 10  = 1 Z  = 5 6.2 X  = 0 .12 Z Z

Obteniendo la Probabilidad Tabla de Probabilidad Normal Estandarizada (Porción) .02 Z .00 .01  = 1 Z 0.0 .0000 .0040 .0080 0.0478 0.1 .0398 .0438 .0478 0.2 .0793 .0832 .0871  = 0 0.12 Z Z 0.3 .1179 .1217 .1255 Area sombreada Probabilidades

Ejemplo P(3.8  X  5)  = 10  = 1 3.8  = 5 X -0.12  = 0 Z 0.0478 Distribución Normal Distribución Normal Estandarizada  = 10  = 1 Z 0.0478 3.8  = 5 X -0.12  = 0 Z Z Area Sombreada

Ejemplo P(2.9  X  7.1)  = 10  = 1 2.9 5 7.1 X -.21 .21 Z .1664 X   2 . 9  5 Z     . 21  10 X   7 . 1  5 Distribución Normal Z    . 21 Distribución Normal Estandarizada  10  = 10  = 1 Z .1664 .0832 .0832 2.9 5 7.1 X -.21 .21 Z Area Sombreada

Ejemplo P(X  8)  = 10  = 1  = 5 8 X  = 0 .30 Z .3821 X   8  5    . 30  10 Distribución Normal Distribución Normal Estandarizada  = 10  = 1 Z .5000 .3821 .1179  = 5 8 X  = 0 .30 Z Z Area Sombreada

Ejemplo P(7.1  X  8)  = 10  = 1  = 5 X  = 0 Z .0347 X   7 . 1    . 21  10 X   8  5 Distribución Normal Z    . 30 Distribución Normal Estandarizada  10  = 10  = 1 Z .1179 .0347 .0832  = 5 X  = 0 Z 7.1 8 .21 .30 z Area Sombreada

Distribución Normal Ejercicio Usted trabaja en “Quality Control” para GE. La vida de un bulbo tiene una distribución normal con = 2000 horas & = 200 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que un bulbo dure A. ¿entre 2000 & 2400 horas? B. ¿menos de 1470 horas? Allow students about 10-15 minutes to solve this.

Solución P(2000  X  2400) X Z .4772 X   2400  2000 Z    2 .   200 Distribución Normal Distribución Normal Estandarizada  = 200  = 1 Z .4772  = 2000 2400 X  = 0 2.0 Z Z

Solución P(X  1470) X Z .0040 X   1470  2000 Z     2 . 65  Distribución Normal Distribución Normal Estandarizada  = 200  = 1 Z .5000 .0040 .4960 X 1470  = 2000 -2.65  = 0 Z Z

Hallando Valores de Z para Probabilidades Conocidas ¿Cuál Es Z Dado P(Z) = 0.1217? Tabla de Probabilidad Normal Estandarizada (Porción)  = 1 .01 Z .00 0.2 .1217 Z 0.0 .0000 .0040 .0080 0.1 .0398 .0438 .0478  = 0 .31 Z 0.2 .0793 .0832 .0871 Z 0.3 .1179 .1217 .1255 Area Sombreada

Hallando Valores de X para Probabilidades Conocidas Distribución Normal Estandarizada Distribución Normal  = 10  = 1 Z .1217 .1217 X ?  = 5  = 0 .31 Z Z