Sesión 10.2 Vectores en el Plano Matemática Básica(Ing.)

Práctica calificada N°3 Hora: sábado 24 de 9:00 a 11:00 Información del curso Tareas: ingresar al Aula Virtual e imprimir. Talleres: Ver horarios en el panel (aula C -12). Práctica calificada N°3 Hora: sábado 24 de 9:00 a 11:00 Matemática Básica(Ing.)

Habilidades Define y representa vectores en dos dimensiones. Calcula la magnitud de un vector. Efectúa operaciones con vectores. Define y representa vectores unitarios. Determina los componentes de un vector utilizando su ángulo de dirección. Matemática Básica(Ing.)

Habilidades Define el producto punto de vectores y deduce sus propiedades. Calcula el ángulo entre dos vectores. Define en interpreta la ortogonalidad entre dos vectores. Determina la proyección de un vector sobre otro. Descompone un vector en componentes perpendiculares. Aplica los vectores a situaciones reales. Matemática Básica(Ing.)

Consideraciones previas http://www.acienciasgalilei.com/videos/vectores.htm Matemática Básica(Ing.)

Introducción ¿ Cómo podemos determinar la fuerza F con la cual se desliza el niño por el plano inclinado, si el peso combinado del niño y del trineo es de 140 kilos fuerza? F W N 300 T ¿Qué fuerza T debe realizar una persona si desea jalar el trineo para que este no se deslice ? Matemática Básica(Ing.)

Conceptos previos: Magnitudes Magnitud Escalar Es cualquier magnitud matemática o física que se pueda representar solamente por un número real. Ejemplos: longitud, área, volumen, temperatura, etc. Magnitud Vectorial Son aquellas entidades en las que además del número que las determina, se requiere conocer la dirección. Ejemplos: desplazamiento, fuerza, aceleración, etc. El ente matemático que representa a estas magnitudes se llama vector. Matemática Básica(Ing.)

Definición de Vectores bidimensionales Un vector bidimensional v es un par ordenado de números reales, expresados en forma de componentes como a; b. Los números a y b son las componentes del vector v. La representación estándar del vector a; b es la flecha del origen al punto (a; b). La magnitud de v es la longitud de la flecha y la dirección de v es la dirección en la que apunta la flecha. El vector 0 = 0; 0, llamado vector cero tiene longitud cero y no tiene dirección. Matemática Básica(Ing.)

Vectores bidimensionales Un vector bidimensional v es un par ordenado de números reales . Gráficamente: (a; b) y x vector v componente a (0; 0) componente b v = se llama vector de posición, cuyo punto inicial es el origen (0; 0). Dirección de v: es el ángulo que forma la flecha con el semieje positivo de las abscisas. Magnitud de v: se denota por o . Matemática Básica(Ing.)

Regla terminal menos el inicial (TMI) Si una flecha tiene punto inicial (x1; y1) y punto terminal (x2; y2), representa al vector x2-x1; y2-y1. y x vector v (0; 0) x1 x2 y1 y2 P Q Punto inicial P(x1; y1) Punto final Q(x2; y2) v = Q – P v = x2-x1; y2-y1 Matemática Básica(Ing.)

Magnitud de un vector Si el vector v se representa mediante la flecha de (x1; y1) a (x2; y2), se tiene: y x |v| (0; 0) P(x1; y1) Q(x2; y2) a b Si v = a; b , entonces: Matemática Básica(Ing.)

Ejercicios Sean P = (-2, 2), Q = (3, 4), R = (-2, 5) y S = (2, -8) Determine las formas en componentes y la magnitud del vector, cuando: a) RS b) PS c) (√2)PR d) PS – 3PQ Matemática Básica(Ing.)

Vectores unitarios v Un vector u con longitud es un vector unitario Vector unitario en la dirección de v: siempre y cuando v no sea el vector cero. Matemática Básica(Ing.)

Vectores unitarios canónicos Los dos vectores unitarios i = 1; 0 y j = 0; 1 son los vectores unitarios estándares o canónicos. Cualquier vector v puede escribirse como una expresión en términos de los vectores unitarios estándar. v = a; b = a; 0 + 0; b = a1; 0 + b0; 1 = ai + bj Matemática Básica(Ing.)

Ángulo de dirección Si v tiene un ángulo de dirección, las componentes de v puede calcularse utilizando la siguiente fórmula: y v El vector unitario en la dirección de v es x Matemática Básica(Ing.)

Ejercicios Determine un vector unitario en la dirección del vector dado: v = 1; -1 w = 5i + 5j Determine la forma de los componentes del vector v: x y 14 55° y c) d) 33 136° x Matemática Básica(Ing.)

Producto punto de vectores El producto punto o producto interno o producto escalar de u = u1; u2 y v = v1; v2 es: u . v = u1v1 + u2v2 Propiedades: Sean u, v y w vectores, y sea c un escalar. 1. u.v = v.u 2. u.u = |u²| 3. 0.u = 0 4. u.(v + w) = u.v + u.w (u + v).w = u.w + v.w 5. (cu).v = u.(cv) = c(u.v) Matemática Básica(Ing.)

Ángulo entre vectores Si  es el ángulo entre los vectores no nulos u y v, entonces: y Matemática Básica(Ing.)

Vectores ortogonales Los vectores u y v son ortogonales sí y sólo si: u.v = 0 Resolver ejercicios 2, 4, 6 y 8 de la página 519 y 14, 16, 18, 22 y 24 de la página 520. Matemática Básica(Ing.)

Proyección de un vector sobre otro Si u y v son vectores no nulos, la proyección de u sobre v es: Q Los vectores u = PQ, v = PS y el vector proyección de u sobre v, PR = proyvu. u S v R P Matemática Básica(Ing.)

Ejercicios Determine la proyección de u sobre v. Luego escriba u como una suma de dos vectores ortogonales, uno de los cuales sea proyvu. 1. u = 3; -7, v = -2; -6 2. u = -2; 8, v = 9; -3 Matemática Básica(Ing.)

Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios de la sección 6.1 y 6.2 Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle. Matemática Básica(Ing.)