Análisis de series de tiempo Cuarta semana Abril Julio 2009

Modelos ARMA Son combinaciones de lo anterior; para un proceso estacionario con media cero distinta de cero

Identificación de modelos

Trabajo con series en R Serie “recruit” (ejemplo 3.16) Serie en

ARIMA y SARIMA Series integradas: –Se llaman asi por qué son las derivadas las que se comportan como serie estacionaria –No trabajar con la serie original sino con la serie de los incrementos de algún orden: –Ejemplo con la serie de glacial (varve.dat) (ir a R)

ARIMA y SARIMA SARIMA –Season = (estación) Primero se aplican los operadores diferenciales, y luego se busca un modelo para la parte “estacionaria”

Predicción (Conceptos Básicos) Se busca pronosticar los valores de la serie { x t } (ojo, puede ser multivariada) para los tiempos T+1,..., T+H conociendo la historia del proceso hasta el tiempo T. H es el horizonte de predicción es el pronóstico. Teorema: La esperanza condicional de x T+h dado el pasado es un estimador insesgado de x T+h, y no hay otro predictor que condicional en el pasado tenga variancia mas pequeña. Esta variancia es el MSFE (mean-square forecast error) Obsérvese que el MSFE es UN criterio para escoger un pronóstico, no es el único!.

Predicción (Conceptos Básicos) No predecible: Si la distribución condicional de x T+h dado el pasado es igual a la distribución no condicional. No informativo: “concepto difuso, pues depende del contexto” Limite de Pronosticabilidad: esto es, cuando la variancia del pronostico es mayor a un porcentaje de la variancia incondicional

Predicción Estamos usando filtros lineales, asi que parace natural buscar la predicción basada en combinaciones lineales Caso AR es facil: ARMA no tanto!

Error de predicción En R se puede usar la función genérica “predict” para hacer las predicciones y los errores de predicción Predicción a largo plazo: va a la media ! con error constante Ver ejemplo del GNP en R

Estimación Suposición: –El proceso es ARMA(p,q) gaussiano Métodos fáciles, modelos fáciles: –Método de los momentos para AR (Ecuaciones de Yule – Walker)

Estimación Máxima verosimilitud Para modelos ARMA general

Estimación Optimización numérica –Newton Raphson

Análisis de series de tiempo Sexta semana Abril Julio 2009

Análisis espectral Las series presentan ‘regularidades’ que pueden interpretarse como solapamiento de ‘ondas’ periodicas. La idea del análisis espectral es transformar la serie al dominio de la frecuencia Ciclo: Un período completo de una onda sinusoidal Ciclos por observación es la convención que usa el libro

Análisis espectral Suponiendo las variables independientes U i ~ N(0,  ) A 2 ~  2  medida en ciclos por unidad de tiempo o en ciclos por punto temporal en el caso discreto. o Para series medidas en tiempos discretos se requiere de al menos dos puntos para obtener un ciclo, por lo que la frecuencia más alta será 0.5 ciclos por punto.

Superposición de sinusoidales con diferente frecuencias.... agréguese ruido...

Periodograma Regresión de x sobre todas las sinusoidales con ciclos por punto, menores que 0.5 El periodograma puede ser visto como una medida de la correlación de los datos con sinusoidales oscilando a frecuencias j/n.

Señal vs Señal y ruido

Densidad espectral Para cualquier proceso estacionario se tiene una representación de la función de autocovariancia F Función de distribución espectral

Densidad espectral f se le llama densidad espectral ; Ojo: Ver variancia del proceso como la integral de la densidad espectral sobre todas las frecuencias

Ejemplos Ruido blanco –Potencia uniforme sobre todas las frecuencias Promedio móvil de ruido ARMA

Funcion generadora de la autocovariancia Para un ARMA 

Estimación del periodograma Periodograma y la transformada de Fourier discreta En R esta implementada la función spec.pgram El periodograma crudo no es un estimador consistente Usualmente se suaviza (se promedia sobre valores adyacentes) y en ese caso la distribucion asintótica es chi-cuadrado con más grados de libertad...(menos incertidumbre)

Suavización del periodograma La idea es que el estimador de la densidad espectral definido con el periodograma I (  j ),  j  j/n no es consistente, pero podemos considerar el promedio de los valores en frecuencias adjacentes. Se define una banda de frecuencias de tamaño L=2m+1 escogida de manera que los valores del espectro f(  j +k/n), k=-m,-m+1,..., 0,...,m-1,m sean aproximadamente iguales a f(  ). Para n grande

Suavización del periodograma Ancho de banda es igual a L/n Intervalo de confianza para el valor de la densidad espectral Si se toma un ancho de banda muy grande se corre el riesgo de achatar picos importantes, pero con un ancho de banda muy pequeño los intervalos de confianza son tan grandes que los picos no parecen estadísticamente significativos