Materiales en la Medicina Dr. Willy H. Gerber Objetivos: Comprender los conceptos de compresión, tensión, torsión, plasticidad y ruptura de materiales. Aplicar dichos conceptos a estructuras como los huesos del del cuerpo humano. www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Fuerza y Elasticidad Consideremos un dinamómetro: www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Relación Fuerza - Elongación Comparando fuerza con elongación: F F = k x 3 N k = 1.5 N/cm 1.5 N l x 1 cm 2 cm x k es la constante de Hook www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

k1 1 k 1 k1 1 k2 1 k3 ki N 1 l k2 = + + k ≈ k = k3 k ≈ A Reglas para conectar resortes k1 1 k 1 k1 1 k2 1 k3 ki N 1 l k2 = + + k ≈ k = k3 k ≈ A k = k1 + k2 + k3 k = Nki k1 k2 k3 www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

E A k = l Volviendo al musculo El musculo es como una serie de paquetes de resortes en paralelo en la sección A y conectados en serie a lo largo del hueso de largo l E A l Tendon k = E seria la elasticidad de una fibra muscular Area Hueso Fibra muscular www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Δx l Δx l ε = A Considerando el hueso: elongacion Deformación ε en función del largo l y elongación Δx. l Δx l ε = [-] A www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Δx l E A F = Δx = EA ε l A Considerando el hueso – soporte de Fuerza Fuerza F necesaria para deformar el hueso de largo l y sección A: l E A l F = Δx = EA ε [N] A E constante de elasticidad [N/m2] www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Δx l F σ = = E ε A A Considerando el hueso – tensión Tension en la seccion A: F A σ = = E ε [N/m2] A www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Medición de Tensión 150 Ruptura catastrofica Deformación “plástica” (daño) 100 Tensión (MPa) E ≈ 1.25x1010 Pa 50 Velocidad: deformación 0.01 / seg 0.005 0.010 0.015 0.020 Deformación www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

r = 1 cm A = πr2 A = 3.142 cm2 σcritico = 1.2 x 108 N/m2 Ejemplo 1 Que peso podemos acarear con nuestros brazos? r = 1 cm A = πr2 A = 3.142 cm2 σcritico = 1.2 x 108 N/m2 F = σcritico A = 3.77 x 104 N m = = 3847 kg!!! F g www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Ejemplo 2 Que elongación sufre el hueso si se levantan 20kg? A = 3.142 cm2 = 3.142 x 10-4 m2 E = 1.25 x 1010 N/m2 l = 1 m k = EA/l = 3.93 x 106 N/m x = F/k = 5.09 x 10-6 m www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

F A A’ < A F A’ F A Mecanismo de ruptura > www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Mecanismo de daño en el caso de osteoporosis Hueso trabecular, mujer de 36 años Hueso trabecular, mujer de 74 años www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Otros ejemplos de reducción de masa por osteoporosis Modelo que explica el comportamiento: www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-01-Mecanica-en-la-Medicina – Versión 03.08

Variación de la densidad con la edad y raza Si la porosidad aumenta, debe variar la densidad: Negro, mujer Blanco, mujer Negro, hombre Blanco, hombre Densidad [g/cm3] Edad [años] www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Comparación con otros Materiales El hueso es mas “blando” pero logra mayor deformación antes del daño. Acero 300 Vidrio Tensión (MPa) 200 Huesos 100 0.005 0.010 0.015 0.020 Deformación www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Estructura del hueso Propiedades están dadas por el esqueleto mineralizado y el colágeno. Sin mineral Sin colágeno www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Forma de uso del hueso Distintos tipos de fuerzas a las que están expuestos los huesos Comprimir Tensionar Torsión Doblar www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Evolución de las Tensiones criticas con la edad Con la edad la tensiones criticas disminuyen: www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Evolución de las Deformaciones máximas con la edad Con la edad la deformación máxima no presenta grandes variaciones: La edad afecta ante todo la densidad y a través de esta la constante de elasticidad y la tensión critica del hueso. www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Densidad y tipo de hueso Existen distintos tipos de huesos de menor y mayor densidad con las correspondientes propiedades mecánicas: 5 10 15 200 150 100 50 Deformación (%) Tensión (MPa) Hueso cortical Hueso trabecular 0.30 g/cm3 0.90 g/cm3 1.85 g/cm3 www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

A = 3.142 cm2 σcritico = 0.6 x 107 N/m2 F = σcritico A = 1.89 x 103 N Ejemplo 3 Que pasa en el ejemplo anterior si la tensión critica fuera 1/20? A = 3.142 cm2 σcritico = 0.6 x 107 N/m2 F = σcritico A = 1.89 x 103 N m = = 192 kg!!! F g www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

W = Fs E A l F = kx k = F F2 2k lF2 2EA lAσ2 2E W = ½ kx x = ½ k x2 = Trabajo en comprimir el hueso De la definición de trabajo vista la vez pasada: W = Fs Podemos calcular la energia para comprimir un resorte/hueso E A l F = kx k = F F2 2k lF2 2EA lAσ2 2E W = ½ kx x = ½ k x2 = W = = x F A σ = www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Wgravitación = mg h Trabajo contra la gravitación Un ejemplo de camino recorrido es cuando subimos una escalera. La fuerza es mg El camino es igual a la altura que alcanzamos h El trabajo para subir la escalera es Wgravitación = mg h h m www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

lAσ2 2E = mg h m A = 12 cm2 lAσ2 h = 2Emg l = 1 m E = 1.25 x 1010 N/m2 Caida La energia de la caida desde una altura h debe ser absorbida por el esqueleto: lAσ2 2E = mg h m Nivel de daño según altura: A = 12 cm2 lAσ2 2Emg h = l = 1 m E = 1.25 x 1010 N/m2 σfractura = 1.6 x 108 N/m2 m = 80 kg www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Diseño para soportar Torsión El grosor de la pared es tal que logra absorber el torque aplicado sin sobrepasar la tensión critica. www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Anisotropía en el comportamiento Tanto la constante elástica como la tensiones criticas dependen de la dirección en que se somete el hueso. Tensión (MPa) Deformación www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Elasticidad según la velocidad de deformación A diferencia de otros materiales el hueso reacciona en forma rígida si se le carga con una fuerza aplicada con velocidad: 300 1500/sec 300/sec Tensión (MPa) 200 1/sec 0.01/sec 100 0.001/sec 0.005 0.010 0.015 0.020 Deformación www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Limites según velocidad de deformación Deformacion que soporta el hueso antes de danarse según velocidad de la fuerza aplicada 0.010 0.008 Compresión 0.006 Tensión Deformacion 0.004 Ejercicio 0.002 Correr Caminar 0.000 100 102 104 106 Ciclos por segundo www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Daños por tensión y comprensión Daño por tensión Daño por comprensión www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Ruptura por doblar Al doblar se genera una zona en que existe compresión y otra en que hay tensión: Compresión Tensión Doblar www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

El realizar deporte en forma incorrecta puede llevar a daños. Corrección por efecto de un musculo Al doblar se genera una zona en que existe compresión y otra en que hay tensión: Compresión Tensión El realizar deporte en forma incorrecta puede llevar a daños. Doblar www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Optimización en el “diseño” de huesos Anexo Optimización en el “diseño” de huesos www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Consideremos como el musculo nos permite levantar el cuerpo   + y r y+y r l: largo del hueso [cm] r: radio del hueso [cm] A: sección del musculo [cm2] P: Fuerza (ej. peso) [N] : ángulo [rad] y: desviación [cm] www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

l  y  y   l l  +   y y Estimación de ángulo   l  +   y y Obteniendo el cambio del ángulo en el punto de rotación www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

r r y y+y 2 2 y l Estimación de elongación El largo del musculo aumenta en x = 2r = 2r www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

E A l E A l y l F = kx = 2r = 2r A  r2 2Er3 l2 F = y r y Ecuación de “elasticidad del musculo” E A l E A l y l F = kx = 2r = 2r A  r2 2Er3 l2 F = y r y 2 Er4 l2 T = rF = y F www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

P cos(+) = Psin( +) = P P y + y l l  + Ecuación de “elasticidad del musculo” P P cos(+) = Psin( +) = P P y + y l l  + Torque = Fuerza x brazo y + y l T = P l = P(y + y) + y y T = P(y + y) Torque adicional: T = Py www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

2 Er4 T = Py T = rF = y l2 2 Er4 P = g   r2 l P = l2 2 Er4 Ecuación de “elasticidad del musculo” 2 Er4 l2 T = Py T = rF = y 2 Er4 l2 P = P = g   r2 l 2 Er4 l2 g   r2 l = r2 l3 = cte r l3/2 = cte www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

r l = cte 3/2 Ecuación de “elasticidad del musculo” No solo aplica a el cuerpo humano, también a todo animal e incluso vegetal r r l = cte 3/2 l www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Ecuación de “elasticidad del musculo” Diámetro [m] Pendiente 3/2 Incluso los sistemas se han optimizado (selección natural) de modo de que el limite de quiebre tiene la misma relación. Limite de quiebre Altura [m] www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Un Hoax Algunos nos quieren engañar pero no estudian la mecánica del cuerpo … Foto es r l = cte y no r l = cte 3/2 por lo que los huesos serian demasiado pesados. www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Capacidad de reformar hueso El hueso no solo puede reparar danos, además se rediseña en forma automática para comenzar la carga que se tenga según el uso que se le de. www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08

Contacto Dr. Willy H. Gerber wgerber@gphysics.net Instituto de Fisica Universidad Austral de Chile Campus Isla Teja Casilla 567, Valdivia, Chile www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-02-Materiales-en-la-Medicina – Versión 03.08