Representación de Señales y Ruido por medio de Series Ortogonales Funciones Ortogonales Series Ortogonales

Representación de Señales y Ruido por medio de Series Ortogonales Una representación de señales y ruido por medio de series ortogonales tiene varias aplicaciones significativas en los problemas de comunicación, como las series de Fourier, las series de función de muestreo y la representación de señales digitales. Funciones Ortogonales Definición: Las funciones ϕn(t) y ϕm(t) son ortogonales con respecto a cada una sobre el intervalo a < t < b si satisfacen la condición Más aún, si las funciones en el conjunto {ϕn(t)} son ortogonales, entonces también satisfacen la relación donde En este caso, δnm se conoce como la función delta de Kronecker. Si las constantes Kn son iguales a 1, entonces se dice que ϕn(t) son funciones ortonormales.

Representación de Señales y Ruido por medio de Series Ortogonales La ecuación (2-77) se emplea para verificar pares de funciones y ver si son ortogonales. Cualquiera de éstos es ortogonal sobre el intervalo (a, b) si la integral del producto de la funciones es cero. El resultado de cero implica que estas funciones son “independientes” o “están en desacuerdo”. Si el resultado es diferente de cero, entonces no son ortogonales y, por consecuencia, las dos funciones tienen cierta “dependencia” de, o es “semejante” a, la otra.

Representación de Señales y Ruido por medio de Series Ortogonales Prueba: 𝑎 𝑎+ 𝑇 0 { 1 𝑇 0 𝑒 𝑗𝑛 𝜔 0 𝑡 ∙ 1 𝑇 0 𝑒 −𝑗𝑛 𝜔 0 𝑡 } 𝑑𝑡 = 1 𝑇 0 𝑎 𝑎+ 𝑇 0 1 𝑑𝑡 = 1 𝑇 0 ( 𝑇 0 ) = 1 Nota: Para normalizar un conjunto de funciones se toma cada ϕn(t) anterior y se divide entre 𝐾 𝑛 para formar la ϕn(t) normalizada.

Representación de Señales y Ruido por medio de Series Ortogonales Suponga que w(t) representa una forma de onda práctica (señal, ruido o alguna combinación de ambas) y que se desea representarla sobre el intervalo a < t < b. Entonces puede obtenerse una representación por serie ortogonal equivalente utilizando el siguiente teorema. Teorema: w(t) puede representarse sobre el intervalo (a, b) mediante la serie donde los coeficientes ortogonales están dados por y el rango de n está en los valores enteros que corresponden a los subíndices que fueron usados para denotar las funciones ortogonales en el conjunto ortogonal completo. Para que la ecuación (2-83) sea una representación válida para cualquier señal física (es decir, con energía finita), el conjunto ortogonal debe estar completo. Esto implica que el conjunto {ϕn(t)} puede emplearse para representar cualquier función con un error arbitrariamente pequeño. En la práctica, a menudo es difícil probar que un conjunto dado de funciones está completo. Puede mostrarse que el conjunto exponencial complejo y los conjuntos senoidales harmónicos que se utilizan para las series de Fourier en la sección 2-5 están completos. Muchos otros conjuntos de utilidad también están completos, como las funciones de Bessel, los polinomios de Legendre y los conjuntos de tipo (sen x)/x.

Representación de Señales y Ruido por medio de Series Ortogonales Demostración del teorema: Suponga que el conjunto {ϕn(t)} es suficiente para representar la forma de onda. Entonces para que la ecuación (2-83) sea correcta sólo se requiere mostrar que se puede evaluar los valores de an. De acuerdo con esto, se opera sobre con el operador de integral siguiente usando w(t) y su equivalente dado (2-83). Por tanto, de aquí se deriva la ecuación (2.84). La serie ortogonal es bastante útil en la representación de una señal, ruido o una combinación de ambas. Las funciones ortogonales ϕj(t) son deterministas. Más aún, si la forma de onda w(t) es determinística, entonces las constantes {aj} también lo son y pueden evaluarse a través de la ecuación (2.84). Posteriormente se observará que si w(t) es estocástica (por ejemplo, en un problema con ruido), el término {aj} representa un conjunto de variables aleatorias que generan el proceso aleatorio deseado w(t).

Representación de Señales y Ruido por medio de Series Ortogonales También es posible utilizar la ecuación (2-83). para generar w(t) a partir de las funciones ϕj(t) y los coeficientes aj. En este caso, w(t) se aproxima mediante un número razonable de funciones ϕj(t). Como muestra la figura 2-10, para el caso de valores reales de aj y funciones reales para ϕj(t), w(t) puede sintetizare al sumar versiones ponderadas de ϕj(t), donde los factores de ponderación están dados por {aj}. La operación de ponderación de suma y ganancia se realiza adecuadamente con un amplificador operacional de múltiples entradas.