Mini-video 1 de 3 Sistemas de ecuaciones lineales Materia: Concepto. Teorema de Rouché

Sistemas de ecuaciones lineales Se definen:

Sistemas de ecuaciones lineales Se definen: Ejemplos:

Sistemas de ecuaciones lineales Forma vectorial de un sistema:

Sistemas de ecuaciones lineales Forma vectorial de un sistema: Forma matricial:

Sistemas de ecuaciones lineales Concepto de solución.

Sistemas de ecuaciones lineales Concepto de solución. Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales Concepto de solución. Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados) - Incompatibles

Sistemas de ecuaciones lineales Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados) - Incompatibles Ejemplos:

Sistemas de ecuaciones lineales Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados) - Incompatibles Ejemplos: Soluciones:

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas homogéneos

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas homogéneos Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales Teorema de Rouché-Frobenius

Sistemas de ecuaciones lineales Teorema de Rouché-Frobenius Ejemplo 1:

Sistemas de ecuaciones lineales Teorema de Rouché-Frobenius Ejemplo 1:

Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 2:

Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 2:

Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 2: Ejemplo 3:

Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 2: Ejemplo 3:

Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 4: Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solución del sistema: :

Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 4: Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solución del sistema: Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 4: Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solución del sistema: Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: Si este determinante es distinto de cero, el rango de A y el de la matriz ampliada, A*, serán iguales y el sistema será compatible y determinado.

Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 4: Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solución del sistema: Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: Si este determinante es distinto de cero, el rango de A y el de la matriz ampliada, A*, serán iguales y el sistema será compatible y determinado. Veamos los valores de «a» para los que se anula el determinante:

Sistemas de ecuaciones lineales Luego ya podemos afirmar: Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3  Compatible y determinado

Sistemas de ecuaciones lineales Luego ya podemos afirmar: Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3  Compatible y determinado Veamos que pasa si a=1:

Sistemas de ecuaciones lineales Luego ya podemos afirmar: Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3  Compatible y determinado Veamos que pasa si a=1: Luego si a=1: R(A)=R(A*)=1  Compatible e indeterminado

Sistemas de ecuaciones lineales Veamos que pasa si a=-2:

Sistemas de ecuaciones lineales Veamos que pasa si a=-2: Calculamos:

Sistemas de ecuaciones lineales Veamos que pasa si a=-2: Calculamos: Luego si a=-2: R(A)=2, R(A*)=3  Incompatible

Mini-video 2 de 3 Sistemas de ecuaciones lineales Materia: Resolución de Sistemas Lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas equivalentes

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas equivalentes Ejemplos:

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas equivalentes Ejemplos: Se obtienen: - Intercambiando entre sí dos ecuaciones - Multiplicando una ecuación por un número  0 - Sumándole a una ecuación otra multiplicada por un número real cualquiera.

Sistemas de ecuaciones lineales Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.

Sistemas de ecuaciones lineales Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo. Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo. Ejemplo: Resulta que: Rango(A) =rango(A*)=2

Sistemas de ecuaciones lineales Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo. Ejemplo: Resulta que: Rango(A) =rango(A*)=2 Con lo que resulta que hemos de sustituir el sistema por otro equivalente que tenga solo 2 ecuaciones:

Sistemas de ecuaciones lineales Tenemos que:

Sistemas de ecuaciones lineales Cualquiera de ellas nos valdrá. Por ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales Cualquiera de ellas nos valdrá. Por ejemplo: A este sistema le aplicaremos ya cualquiera de los métodos de resolución que veremos a continuación.

Sistemas de ecuaciones lineales Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0

Sistemas de ecuaciones lineales Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0 Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado

Sistemas de ecuaciones lineales Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0 Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado Resolución de sistemas Cramer: - reducción - sustitución - igualación

Sistemas de ecuaciones lineales Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0 Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado Resolución de sistemas Cramer: - reducción - sustitución - igualación - matriz inversa Ax=b; x=A-1b

Sistemas de ecuaciones lineales Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0 Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado Resolución de sistemas Cramer: - reducción - sustitución - igualación - matriz inversa Ax=b; x=A-1b - Regla de Cramer (Ejemplo) Resolver mediante la Regla de Cramer el sistema:

Sistemas de ecuaciones lineales Tenemos:

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas Indeterminados

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas Indeterminados Incógnitas principales y secundarias

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas Indeterminados Incógnitas principales y secundarias Resolución: paso a sistema Cramer Ejemplo: Resolver

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas Indeterminados Incógnitas principales y secundarias Resolución: paso a sistema Cramer Ejemplo: Resolver Solución:

Sistemas de ecuaciones lineales OjO con los sistemas mal condicionados

Sistemas de ecuaciones lineales OjO con los sistemas mal condicionados

Sistemas de ecuaciones lineales OjO con los sistemas mal condicionados

Sistemas de ecuaciones lineales OjO con los sistemas mal condicionados

Sistemas de ecuaciones lineales Método de Gauss Sea Ax=b y A*=(A|b) El método consiste en obtener otro sistema equivalente con la matriz triangular o diagonal: De tal forma que Ax=b  I x=s  x=s que sería la solución del sistema.

Sistemas de ecuaciones lineales Método de Gauss Sea Ax=b y A*=(A|b) El método consiste en obtener otro sistema equivalente con la matriz triangular o diagonal: De tal forma que Ax=b  I x=s  x=s que sería la solución del sistema. Se puede utilizar en sistemas incompatibles / compatibles / determinados / indeterminados.

Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo:

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Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

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Sistemas de ecuaciones lineales Luego la solución es x1=1, x2=2, x3=3.

Sistemas de ecuaciones lineales Mini-video 3 de 3 Materia: Prácticas con

Sistemas de ecuaciones lineales La función RowReduce[ ] de Mathematica:

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Sistemas de ecuaciones lineales La función Solve[ ] de Mathematica:

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Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales OJO con los sistemas indeterminados:

Sistemas de ecuaciones lineales OJO con los sistemas indeterminados:

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