Parte 2: Aplicaciones (anchura y diámetro) Envolvente convexa Parte 2: Aplicaciones (anchura y diámetro)
Aplicaciones de la envolvente convexa Anchura: La distancia más corta entre paralelas que contienen el conjunto. Diámetro: La mayor distancia entre dos puntos del conjunto. Figura de anchura constante: Triángulo de Reuleaux
Recta centro (que minimiza la distancia a los puntos de la nube) Anchura de un conjunto La distancia más corta entre paralelas que contienen a toda la nube en su interior se llama anchura. Recta centro (que minimiza la distancia a los puntos de la nube) Lema: La anchura equivale al cálculo de la recta centro.
Anchura de un conjunto La distancia más corta entre paralelas que contienen a toda la nube en su interior se llama anchura. Lema: La anchura de una nube de puntos la determina un par antipodal arista-punto de su envolvente convexa. Usaremos el método de rotación de un calibre (rotating calliper).
Anchura de un conjunto Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente. Trazamos dos rectas horizontales (calibre). En cada paso: Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente. Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño. Almaceno los nuevos pares antipodales.
Anchura de un conjunto Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente. Trazamos dos rectas horizontales (calibre). En cada paso: Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente. Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño. Almaceno los nuevos pares antipodales.
Anchura de un conjunto Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente. Trazamos dos rectas horizontales (calibre). En cada paso: Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente. Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño. Almaceno los nuevos pares antipodales.
Anchura de un conjunto Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente. Trazamos dos rectas horizontales (calibre). En cada paso: Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente. Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño. Almaceno los nuevos pares antipodales.
Anchura de un conjunto Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente. Trazamos dos rectas horizontales (calibre). En cada paso: Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente. Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño. Almaceno los nuevos pares antipodales.
Anchura de un conjunto Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente. Trazamos dos rectas horizontales (calibre). En cada paso: Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente. Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño. Almaceno los nuevos pares antipodales.
Anchura de un conjunto Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente. Trazamos dos rectas horizontales (calibre). En cada paso: Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente. Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño. Almaceno los nuevos pares antipodales.
Anchura de un conjunto Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente. Trazamos dos rectas horizontales (calibre). En cada paso: Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente. Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño. Almaceno los nuevos pares antipodales.
Anchura de un conjunto Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente. Trazamos dos rectas horizontales (calibre). Algunos vértices no son antipodales de ninguna arista. En cada paso: Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente. Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño. Almaceno los nuevos pares antipodales.
Anchura de un conjunto Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente. Trazamos dos rectas horizontales (calibre). En cada paso: Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente. Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño. Almaceno los nuevos pares antipodales.
Anchura de un conjunto Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente. Trazamos dos rectas horizontales (calibre). En cada paso: Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente. Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño. Almaceno los nuevos pares antipodales.
Anchura de un conjunto Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente. Trazamos dos rectas horizontales (calibre). En cada paso: Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente. Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño. Almaceno los nuevos pares antipodales.
Anchura de un conjunto Empezamos en los vértices norte y sur de la envolvente. Trazamos dos rectas horizontales (calibre). En cada paso: Mido los ángulos entre cada recta y la siguiente arista de la envolvente. Roto ambas rectas hasta llegar al siguiente más pequeño. Almaceno los nuevos pares antipodales.
Anchura de un conjunto Lema: La anchura de una nube de puntos la determina un par antipodal arista-punto de su envolvente convexa. Lema: Es posible determinar todos los pares antipodales arista-punto de un polígono convexo en tiempo lineal. Teorema: Es posible determinar la anchura de un conjunto en tiempo lineal a partir de su envolvente convexa.
Anchura de un conjunto
Anchura de un conjunto
Anchura de un conjunto
Anchura de un conjunto
Anchura de un conjunto
Anchura de un conjunto
Anchura de un conjunto
Anchura de un conjunto
Anchura de un conjunto ¿Conoces alguna figura de anchura constante? …que no sea un círculo… La más conocida es el Triángulo de Reuleaux Ventana de la Catedral de Notre Dame de Brujas http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02/
Anchura de un conjunto ¿Conoces alguna figura de anchura constante? …que no sea un círculo… La más conocida es el Triángulo de Reuleaux que se utiliza, por ejemplo, en el motor Wankel (vídeo). http://mecanicavirtual.iespana.es/inyeccion-wankel.htm
Anchura de un conjunto Aunque podemos construir muchas más: http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/02/
Diámetro de un conjunto El par más alejado Entre muchos puntos en el plano encontrar los dos más alejados Lema: El diámetro de una nube de puntos coincide con el diámetro de sus puntos extremos.
Diámetro de un conjunto
Diámetro de un conjunto Puntos antipodales Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior
Diámetro de un conjunto Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior
Diámetro de un conjunto Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior
Diámetro de un conjunto Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior
Diámetro de un conjunto Lema: El diámetro de una nube de puntos coincide con la distancia entre su par antipodal punto-punto más lejano.
Diámetro de un conjunto Los vértices antipodales a un vértice v dado son todos aquellos comprendidos entre los vértices antipodales a las dos aristas incidentes en v
Diámetro de un conjunto Los vértices antipodales a un vértice v dado son todos aquellos comprendidos entre los vértices antipodales a las dos aristas incidentes en v Teorema: El diámetro de un conjunto pueden ser calculados en tiempo lineal una vez conocida la envolvente convexa. Corolario 5.1: Todos los pares antipodales vértice-vértice pueden ser calculados en tiempo lineal una vez conocida la envolvente convexa.
Problemas 1.- Probar que dado un conjunto de puntos en el plano, se puede encontrar en tiempo O(n log n) un polígono que tenga a dicho conjunto como sus vértices. 2.- Sea P un polígono monótono (existe una recta tal que toda perpendicular a dicha recta a lo más corta en dos puntos al polígono). Diseñar un algoritmo que calcule su envolvente convexa en tiempo lineal. 3.- Dado un conjunto con n puntos rojos y n puntos azules en el plano, dar un algoritmo que una cada punto rojo con un azul mediante segmentos que no se corten entre sí (emparejamiento geométrico perfecto).