Digital Image Processing Chapter 3 Dr. Mario Chacón DSP & Vision Lab

Space Domain Image Processin Methods   · T [ ] Figura 3.1 Proceso de punto.

Image Processin Methods   Figura 3.2. Proceso de área o ventana.

Image Processin Methods   Figura 3. 3.Proceso de cuadros.

Image Processin Methods   Figura 3. 4. Proceso geométrico.

Image Enhancement   a) b) c) Figura 3. 5. Proceso para mejorar una imagen, a) Original, b) Mejorada, c) Adecuada para la aplicación.

Image Enhancement Two main methods Spatial processing Frequency processing  

Spatial Image Enhancement 91   76 80 91 65 104 88 112 115 Figura 3. 6 Procesamiento en el espacio.

Frequency Image Enhancement   Figura 3.7 Procesamiento de imágenes en la frecuencia.

Generic Spatial Processing   th Figura 3.8 a) Incremento de contraste b) Binarización.

Contrast and Brightness   a) b) c) Figura 3. 9a) Bajo contraste, b) Buen contraste, c) Alto contraste.

Contrast and Brightness   a) b) c) Figura 3. 10 a) Bajo brillo, b) Normal, c) Alto.

Contrast and Brightness   Si a = 1 y b = 0 el operador es el operador identidad, Figura 3.11a Si a < 1ó a>1 tenemos una reducción o incremento de contraste Figura 3.11b Si a = 1 y b  0 tenemos un incremento o decremento de brillo Figura 3.11c Si a = -1, b= L-1 obtendremos el negativo de la imagen. Figura 3.11d.

Contrast and Brightness 255 a) b) Figura 3. 11 a) Identidad, b) Contraste, c) Brillo, d) Negativo. Figura 3. 12 a) Original, b) Negativo.

Contrast and Brightness   modifica brillo antes de contraste modifica brillo después de contraste Los valores de k y b se definen de acuerdo al efecto deseado del brillo y contraste.

Contrast and Brightness Un operador que solo actúa sobre el contraste es   El operado anterior es un operador lineal pero existen otros operadores no lineales de la forma iN

Figura 3. 14 a) Sin corrección c) con corrección. Dynamic Range   a) b) Figura 3. 14 a) Sin corrección c) con corrección.

Dynamic Range   Una forma efectiva de comprimir el rango dinámico de los valores de pixeles es:   (3.15) donde C es una constante de escalamiento, la suma de 1 es para evitar problema con los valores de gris iguales a cero.

Dynamic Range Por ejemplo si el espectro de Fourier tiene un rango de [0,R] = [0, 1.05 X 106 ]. El rango de es [0, 6.022]. Si el sistema de visualización usara el rango [0 , L -1] = [0 , 255], entonces   , 42.35 log (1+|1.05 X 106 |) = 42.35(6.022) = 255 si el sistema usara el rango [0 , L -1] = [0 , 1], entonces , 0.166 log (1+|1.05 X 106 |) = 0.166(6.022) = 1. Otras formas de resolver este problema es consultar el funcionamiento de la función de visualización que se utiliza y ver si acepta un parámetro que indique que realice un autoajuste.  

Gray Level Range enhancement   En ocasiones lo que se desea es realzar únicamente ciertos pixeles dentro de un rango de niveles de gris presentes en la imagen.   a)  Resaltar los píxeles de interés y desaparecer los píxeles de no interés, esto es, cambiar a valores altos los valores de pixeles con nivel de gris de interés y a valores bajos todos los demás valores de gris. (3.16) b) Resaltar los píxeles de interés y no modificar los demás píxeles. En este caso se aumenta el brillo del rango deseado y se conservan lo demás valores. (3.17)

Gray Level Range enhancement   i iN Figura 3. 15 a) Pixeles de interés a valor alto los demás a cero, b) Pixeles de interés a alto los demás igual.

Histogram Processing El histograma de niveles de gris de una imagen digital es una función discreta, debido a la naturaleza propia de la imagen digital, que indica, para cada nivel de gris, el número de pixeles presentes en la imagen.   (3.18) donde es el k’esimo nivel de gris y | | indica cardinalidad del conjunto.   Si consideramos como el número total de pixeles en la imagen y calculamos (3.19) donde representa el número de pixeles con tono de gris entonces es una estimación de la probabilidad de ocurrencia del nivel de gris . Este enfoque es referente a considerar a una imagen como una señal aleatoria dado el comportamiento aleatorio del valor de los píxeles.

Figura 3. 16 Mapeo de histogramas a imágenes. Histogram Processing   I1 I2 I3 Figura 3. 16 Mapeo de histogramas a imágenes.

Histogram Processing d)   d) Figura 3. 17 Histograma de Imagen, a) Obscura, b) Brillante, c) Poco contraste, d) Alto contraste.

Histogram Equalization Un histograma con buen contraste tenderá a tener una distribución semejante a la de una distribución uniforme, es decir (3.20) por lo que el método de ecualización de histograma consiste en encontrar la transformación tal que la imagen generada tenga un histograma que tienda a la distribución uniforme.  

Histogram Equalization Si y son conocidos y satisface la condición   es función valuada–simple, monotónica incremental, en el rango (3.21) entonces: (3.23)

Histogram Equalization Considere que utilizamos como transformación, , la función de distribución acumulada, CDF, del inglés Cumulative Distribution Function, de la imagen original con pixeles con tonos de gris ,   (3.24)   También de teoría de probabilidad se sabe que la derivada de la CDF con respecto a la variable aleatoria es la función de densidad. Así tenemos que   (3.25)

Histogram Equalization por lo que   (3.26) sustituyendo (3.26) en (3.23) tenemos (3.27) (3.28)   Siendo una densidad uniforme, independientemente de la forma de .

Histogram Equalization   a) b) Figura 3. 18 Ecualización de histograma, a) Original b) Ecualizada.

Histogram Equalization Asumiendo que una imagen tiene la siguiente función de densidad   la función de transformación será  

Histogram Equalization La prueba de que el histograma es uniforme es    como y las raíces son y y entonces seleccionamos ahora aplicando (3.27) obtenemos para  

Histogram Equalization Funciones discretas  

Histogram Equalization CDF redondeado 0/64 1 2 3 4 4/64 0.0625 0.1875 5 5/64 0.140625 0.5625 20 20/64 0.453125 2.265625 6 15 15/64 0.6875 4.125 7 3/64 0.734375 5.140625 8 5.875 9 7/64 0.84375 7.59375 10 0.921875 9.21875 11 0.96875 10.65625 12 2/64 13 14 N 64    

Histogram Equalization redondeado 4 1 5 2 20 3 15 6 7 8 9 10 11 12 13 14 N 64    

Histogram Specification Si partimos de la suposición de que la nueva imagen deseada, , fuera conocida, entonces podríamos realizar el proceso de ecualización de histograma a dicha imagen. Si la imagen deseada, , estuviera disponible, sus niveles de gris podrían ecualizarse por medio de la transformación     (3.33) donde es la función de densidad de , histograma normalizado, y es la función de transformación para generar una nueva imagen con valores de pixeles .

Histogram Specification   Iz Q[z] izE(l) iz(l) Figura 3. 19 Ilustración de ecualización de la imagen .

Histogram Specification Sin embargo el proceso anterior no es posible ya que es una imagen deseada y por lo tanto no existente. Si fuera posible podríamos usar el proceso inverso para generar los niveles z de la imagen deseada. De esto surge la posibilidad de generar , ya que si somos capaces de obtener los valores de u entonces podríamos generar la imagen deseada.   El histograma de la imagen original, , ecualizada , y el histograma de la imagen que provendría de la ecualización de , , son densidades de probabilidad uniformes ya que son resultado de un proceso de ecualización. Como se mencionó antes, la ecualización produce un histograma uniforme independiente de la distribución del histograma original. Así que si en lugar de usar los valores de en el proceso inverso se utilizan los niveles uniformes de obtenidos de la imagen original después del proceso de ecualización, los niveles resultantes tendrán la función de densidad de probabilidad deseada.

Histogram Specification Asumiendo que es valuada simple el proceso se resume en:   Ecualice los niveles de la imagen original (3.34) Especifique la función de densidad deseada y obtenga la función de transformación usando: (3.35) Aplique la función de transformación inversa .  

Histogram Specification Imagen Original I i(l) lN T[l] l IE i(lN)   IZ iZ(l) Q(z) u lNK Figura 3. 20 Proceso de especificación de histograma.

Histogram Specification En la practica la transformación inversa de a z a menudo no es valuada simple. La situación surge cuando existen niveles de gris en cero en el histograma especificado, lo cual hace que la CDF sea constante sobre un intervalo o en el proceso de redondeo de al tono de gris más cercano   Figura 3. 21 Ejemplo de generación de una función no valuada simple.

Histogram Specification     a) b) c) Figura 3. 22 Imagen mejorada con especificación de histograma. a)Original y su histograma, b) Histograma deseado, c) Histograma obtenido y su imagen.

Arithmetic Operations  

Image Addition   La suma de dos imágenes e se define como: (3.36)

Image Addition and Noise addition   + =

Image Subtraction   La diferencia entre dos imágenes e es:   (3.37)  

Background removal    

Motion detection by subtraction    

Edge detection    

Edge detection   200 210 50   10 160 215 45 48 5 170 3 211 44 46 1 166 2 209 165 a) b)  

Noise reduction by averaging   Asumiendo un conjunto de M realizaciones de una imagen de interés: (3.41)   donde S(x,y) : es la imagen de interés. Ni(x,y) : realización de imagen de ruido asumimos que cada realización de imagen de ruido proviene de un ruido aleatorio no correlacionado con medio cero.

Noise reduction by averaging Esto significa que el valor esperado (3.42) es (3.43)  El valor esperado de dos realizaciones de imágenes de ruido será: (3.44)  

Noise reduction by averaging   y la correlación (3.45) entre las realizaciones de ruido es (3.46) es el promedio del ruido en el pixel con coordenadas x,y de todas las imágenes con ruido en las i’esimas realizaciónes.

Noise reduction by averaging   (3.47) Si promediamos M imágenes para formar: (3.48) entonces la razón de potencia señal-ruido está dada por (3.49)

Noise reduction by averaging ó (3.50) ya que el ruido es no correlacionado, tenemos (3.51) y (3.52)  

Noise reduction by averaging   Usando la ecuación (3.43), el segundo término en el denominador es cero, ya que el problema asume que el ruido aleatorio tiene media cero. Además las M muestras de ruido provienen del mismo conjunto, todos los términos en la primera sumatoria son idénticos por lo que (3.53)   Así que el promedio de M imágenes incrementa el factor señal-ruido por un factor de M. La amplitud del factor señal-ruido es: (3.54)

Noise reduction by averaging    

Figura 3. 30 Aplicación de un filtro espacial. Spatial filtering   Imagen Filter   Figura 3. 30 Aplicación de un filtro espacial.

Spatial filtering i(x-1,y-1) i(x-1,y) i(x-1,y+1) i(x,y-1) i(x,y)   i(x-1,y-1) i(x-1,y) i(x-1,y+1) i(x,y-1) i(x,y) i(x,y+1) i(x+1,y-1) i(x+1,y) i(x+1,y+1) wi(x-1,y-1) w(x-1,y) w(x-1,y+1) w(x,y-1) w(x,y) w(x,y+1) w(x+1,y-1) w(x+1,y) w(x+1,y+1)

Spatial filtering La forma genérica de la aplicación de un filtro espacial de tamaño esta dada por   (3.56) donde y para y enteros no negativos.  

Figura 3. 32 Mascaras de filtros de suavizado. Smoothing filters 1 2 4     Figura 3. 32 Mascaras de filtros de suavizado.

Gaussian filter 0.0005 0.0050 0.0109 0.0522 0.1141 0.2491  

Smoothing filters   Figura 3. 33 a) Original, b) con ruido, c) promediado 3x3,d) promediado 5x5, e) Gausiano.

Average filter vs. median filter    

Laplacian filters   1 -8 1 -4   1 -8 -1 8

Sharpening  

Gradient magnitude   -1 -2 1 2 -1 1 -2 2 -1 1 -1 1

Gradient magnitude  

Discrete Time Signals

Discrete Time Signals Time shifting Amplitude scaling

Impulse

Impulse

Step

Step

Ramp

Exponential

Folding

Time Scaling