Procesamiento Digital de Imágenes

Presentación del tema: "Procesamiento Digital de Imágenes"— Transcripción de la presentación:

1 Procesamiento Digital de Imágenes
Curso de Procesamiento Digital de Imágenes Impartido por: Elena Martínez Departamento de Ciencias de la Computación IIMAS, UNAM, cubículo 408

2 Programa del Curso 1. Introducción.
2. Fundamentos de la imagen digital. 3. Realce de la imagen en el dominio espacial. 4. Realce de la imagen en el dominio de la frecuencia. 5. Restauración de la imagen. 6. Representación del color. 7. Compresión de imágenes.

3 3. Relace de la imagen en el
dominio espacial a) Antecedentes. b) Algunas transformaciones básicas de niveles de gris. c) Procesamiento del histograma. d) Realce de la imagen utilizando operaciones artméticas/lógicas. e) Filtros espaciales básicos. f) Filtros espaciales de suavizamiento (smooth). g) Filtros espaciales de realce (sharp).

4 Procesamiento del Histograma
El histograma de una imagen digital con valores de gris dentro del rango [0, L-1] es una función discreta h(rk)=nk, donde rk es el k-ésimo nivel de gris y nk es el número de pixeles de la imagen que tienen el nivel de gris rk. Es práctica común normalizar el histograma dividiendo cada uno de sus valores por el número total de pixeles en la imagen, denotado como n, como sigue: p(rk)=nk/n . En términos generales, p(rk) es un estimado de la probabilidad de ocurrencias del nivel de gris rk. La suma de todos los componentes de un histograma normalizado es = 1

5 Procesamiento del Histograma
El histograma es la base de numerosas técnicas de procesamiento de la imagen en el dominio espacial. La manipulación del histograma puede utilizarse eficazmente para el realce de la imagen, como se mostrará aquí. Además, veremos más adelante que la información inherente en el histograma también puede ser utilizada en otras aplicaciones útiles como compresión de imágenes y segmentación. Los histogramas son muy fáciles de calcular por lo que es una herramienta candidata a ser calculada en tiempo-real.

6 Procesamiento del Histograma
Imagen de granos de polen 700x Al lado derecho de cada imagen se muestra su histograma. El eje horizontal corresponde a los valores de niveles de gris rk. El eje vertical corresponde a los valores de h(rk)=nk o bien, p(rk)=nk/n si los valores están normalizados.

7 Procesamiento del Histograma
Las imágenes cuyos pixeles tienden a ocupar el rango dinámico entero de posibles valores de niveles de gris, y además, tienden a estar distribuídos de manera uniforme, tendrán una apariencia de mejor contraste y exhibirán una gran variedad de tonos de gris. Es posible desarrollar una función de transformación que pueda automáticamente realizar este efecto, basado sólo en la información disponible en el histograma de la imagen de entrada. Para lo anterior existen 3 tipos de procesos: Ecualización, Especificación y Realce local.

8 Ecualización del Histograma
Supongamos una función continua, y sea la variable r la que representa los niveles de gris en la imagen a ser realzada. r está normalizada en el intervalo [0,1] , con r=0 representando el negro y r=1 representando el blanco. Más tarde consideraremos el caso discreto donde los valores de los pixeles toman valores en el intervalo de [0,L-1]. Para cualquier r que satisface lo anterior, definimos la transformación: s=T(r) , 0  r  1, que produce un nivel s para cada pixel de valor r de la imagen original.

9 Ecualización del Histograma
La transformación s=T(r) , cumple con las siguientes condiciones: (a) T(r) es de valor único y monotónicamente creciente en el intrevalo 0  r  1; y (b) 0  T(r)  1 para 0  r  1. La condición de valor único garantiza que la transformación inversa exista y el que sea monotónicamente creciente preserva el orden de los valores de salida de negro a blanco. La condición (b) garantiza que los niveles de gris de la imagen de salida estarán en el mismo rango que los de la imagen de entrada.

10 Ecualización del Histograma
La siguiente figura muestra un ejemplo de transformación que cumple con las dos condiciones mencionadas anteriormente:

11 Ecualización del Histograma
Los niveles de gris de una imagen pueden ser vistos como una variable aleatoria en el intervalo de [0,1]. Uno de los descriptores fundamentales de las variables aleatorias es la función de densidad de probabilidades (PDF). Una función de transformación de varibles aleatorias de particular importancia en el procesamiento de imágenes es la función de distribución acumulada (CDF). Como las PDF son siempre positivas, y recordando que la integral de la función es el area bajo la curva, esta función de transformación es de valor único y monotónicamente creciente, además que mantienen el rango de [0,1]. Satisface las condiciones (a) y (b).

12 Ecualización del Histograma
Para valores discretos trabajamos con probabilidades y sumatorias en lugar de funciones de densidad de probabilidad e integrales. La probabilidad de la ocurrencia de un nivel de gris rk en una imagen se aproxima como: donde n es el número total de pixeles de la imagen, nk es el número de pixeles que tienen el nivel de gris rk, y L es el número total de posibles niveles de gris en la imagen.

13 Ecualización del Histograma
La versión discreta de la función de transformación (es decir, de la función de distribución acumulada) es: La imagen procesada (salida) se obtiene mapeando cada pixel con valor rk de la imagen de entrada a su correspondiente nivel sk en la imagen de salida. A esta transformación se le llama ecualización del histograma o linearización del histograma. La cual satisface las condicionas (a) y (b).

14 Ecualización del Histograma
El resultado de la ecualización del histograma es similar a la expansión del contraste pero ofrece la ventaja de ser totalmente automático sin necesidad de dar ningún parámetro adicional, ya que la ecualización del histograma automáticamente determina una función de transformación para producir una nueva imagen con un histograma siempre uniforme (en la práctica cercano a ser uniforme), ps(s) (imagen de salida), independientemente de la forma de pr(r) (imagen de entrada).

15 Ecualización del Histograma
La mejora se ve claramente en las 3 primeras imágenes. La cuarta no sufre casi cambios debido a que su histograma original ya estaba extendido a lo largo del rango dinámico. Estos ejemplos muestran el poder de la ecualización de histograma como una herramienta de realce adaptativa.

16 Especificación del Histograma
La ecualización del histograma determina automáticamente la función de transformación y busca producir una imagen de salida que tenga un histograma uniforme. El método es simple de implementar. Sin embargo, existen aplicaciones en las que intentar producir histogramas uniformes no siempre es la mejor opción. En particular, es útil algunas veces tratar de especificar la forma del histograma de la imagen de salida, a esta técnica se le conoce como especificación del histograma (histogram matching).

17 Especificación del Histograma
Suponga los niveles de gris continuos r y z (variables aleatorias continuas), y sea pr(r)y pz(z) sus correspondientes funciones de densidad de probabilidad. r y z denotan los niveles de gris de la imagen de entrada y de salida respectivamente. Se puede estimar pr(r) de la imagen de entrada, y pz(z) es la función de densidad de probabilidad especificada que deseamos que tenga la imagen de salida.

18 Especificación del Histograma
PROCEDIMIENTO: (1) Sea s una variable aleatoria discreta que define una transformación: donde n es el número total de pixeles de la imagen, nj es el número de pixeles que tienen el nivel de gris rj, y L es el número total de posibles niveles de gris en la imagen. Reconocemos esta ecuación como la ecualización del histograma.

19 Especificación del Histograma
PROCEDIMIENTO: (2) Del histograma especificado pz(zi), i=0, 1, 2, …, L-1 se obtiene la función de transformación G(z): Estamos buscando valores de z que satisfagan esta ecuación. De las dos últimas expresiones sigue que G(z)=T(r). La variable vk se añadió por claridad con la discusión que sigue.

20 Especificación del Histograma
PROCEDIMIENTO: (3) Obtener la función de transformación inversa G-1: Estas dos últimas ecuaciones son el fundamento de la especificación del histograma.

21 Especificación del Histograma
La ecuación del paso (1) es el mapeo de los niveles de gris de la imagen original a los correspondientes niveles sk basados en el histograma de la imagen original. La ecuación del paso (2) calcula la función de transformación G del histograma especificado pz(z) dado. Y finalmente, las ecuaciones del paso (3) nos dan una aproximación de los niveles deseados de la imagen con ese histograma. Los dos primeros pasos pueden ser calculados fácilmente debido a que son datos conocidos, el tercero requiere explicación adicional.

22 Especificación del Histograma
NOTAS PARA IMPLEMENTACION: Cada conjunto de niveles de gris {rj}, {sj} y {zj}, j=1, 2, …, L-1, es un arreglo unidimensional de L x 1. Todos los mapeos de r a s y de s a z son simples tablas lookup entre un valor de pixel dado y estos arreglos. Para cada uno de los elementos del arreglo, por ejemplo sk, el subíndice k denota la localización del elemento dentro del arreglo, y s denota el valor en esa localidad. Trabajaremos sólo con valores enteros. Esto implica que los valores de los niveles de gris están en el intervalo [0, L-1] en lugar de los valores normalizados de [0,1].

23 Especificación del Histograma
A. s=T(r) de una imagen. B. Función de transformación hipotética G(z) C. vk=sk, para cada z: G(zk)=sk, o (G(zk)-sk)=0

24 Especificación del Histograma
Como no tenemos las z (encontrarlas es justamente el objetivo de la especificación del histograma) , debemos realizar un esquema iterativo para encontrar z de s. Para encontrar un valor de zk correspondiente a sk, debemos iterar para valores de z que cumplan con la ecuación G(zk)-sk=0, para k=1, 2, …, L-1. No tenemos que encontrar la inversa de G porque vamos a iterar en z. Como estamos trabajando con enteros, empezamos con el valor más pequeño del intervalo zk= para cada k de manera que:

25 Especificación del Histograma
RESUMEN PARA IMPLEMENTACION: Obtener el histograma de la imagen dada. Ecualizar el histograma para encontrar el mapeo del nivel rk al nivel sk. Obtener la función de transformación G del histograma dado pz(z). Precalcular zk para cada valor de sk utilizando el esquema iterativo descrito. Para cada pixel de la imagen original, si el valor de un pixel es rk, mapear ese valor a su correspondiente nivel sk; y luego mapear el nivel sk al nivel final zk. Utilizar los pasos (2) y (4) para estos mapeos.

26 Especificación del Histograma
Imagen de la luna de Marte: Fobos tomada por la NASA.

27 Especificación del Histograma
A. s=T(r) de la imagen (EH). B. Imagen ecualizada (deslavada). C. Histograma de la imagen en B.

28 Especificación del Histograma
El problema de la función de transformación (EH) de la imagen anterior es causado por la gran concentración de pixeles en niveles de gris cercanos a 0. Una manera de resolverlo sería modificando el histograma de la imagen de manera que no tenga esta propiedad. Se necesita una función especificada manualmente que preserve la forma general del histograma pero que tenga una transición más suave de niveles en regiones oscuras de niveles de gris.

29 Especificación del Histograma
Curva 1: función G(z) obtenida del histograma especificado. Curva 2: función inversa G-1(s) obtenida por el método iterativo.

30 Especificación del Histograma
La especificación del histograma es una tarea que se realiza a ensayo y error. Se pueden utilizar guías aprendidas del problema en cuestión como el que se presentó anteriormente. Podrían haber casos en que sea posible formular un especie de histograma “promedio” de cómo debería ser el histograma de una imagen, y utilizar éste como la especificación. En ese caso la especificación del histograma resulta en un proceso sencillo. Sin embargo, en general no existen reglas para especificar histogramas y uno debe basarse en el análisis de caso por caso.

31 Realce Local Los métodos de procesamiento del histograma discutidos anteriormente son globales, en el sentido de que los pixeles se modifican por funciones de transformación basadas en el contenido de niveles de gris de la imagen entera. Aunque el realce global es adecuado para una mejora general, existen casos en los que es necesario realzar detalles sobre areas pequeñas de una imagen. Las técnicas vistas anteriormente son fácilmente adaptables para hacer realce local.

32 Realce Local El procedimiento consiste en definir una vecindad cuadrada o rectangular y mover el centro de esta área pixel por pixel. En cada posición, se calcula el histograma del área en cuestión y se realiza la ecualización o la especificación del histograma del vecindario. Esta función de mapeo finalmente se aplica sólo al pixel central del vecindario. El pixel central se mueve a la siguiente posición y el esquema se repite.

33 Realce Local Imagen original que ha sido ligeramente suavizada para reducir el ruido (veremos el suavizamiento después). Ecualización global del histograma. Ecualización local de vecindarios de tamaño 7 x 7.

34 Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas
(IIMAS)