LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN Estudiar la convergencia de una sucesión es ver que sucede con los términos según la sucesión avanza, es decir, según n se hace más y más grande. Pueden suceder varias cosas, por ejemplo, consideremos las sucesiones:

Estudiemos lo que pasa con la sucesión an 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 an 2 0,2 0,02 0,002 0,0002 0,00002 0,000002 Observe que conforme n se hace cada vez mas grande, an se va acercando cada vez mas a 0. si n siguiera tomando valores mas grandes (acercándose a infinito), los términos de la sucesión estarían cada vez mas cerca de cero. Lo cual nos dice que la sucesión converge a 0 (cero), es decir que su limite es cero. Matemáticamente, esto seria; Se lee “limite cuando n tiende a infinito de an es igual a cero”

Estudiemos lo que pasa con la sucesión an 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 an No existe 11,11… 101,01… 1001,001… 10001,001… 100001 1000001 Observe que conforme n se hace cada vez mas grande, bn se va haciendo cada vez mas grande también. si n siguiera tomando valores mas grandes (acercándose a infinito), los términos de la sucesión también se estarían acercando cada vez mas a infinito. Lo cual nos dice que la sucesión converge a ∞ (infinito), es decir que su limite es infinito. Matemáticamente, esto seria; Se lee “limite cuando n tiende a infinito de an es igual a infinito”

Estudiemos lo que pasa con la sucesión an 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 an No existe 11,11… 101,01… 1001,001… 10001,001… 100001 1000001 Observe que conforme n se hace cada vez mas grande, bn se va haciendo cada vez mas grande también. si n siguiera tomando valores mas grandes (acercándose a infinito), los términos de la sucesión también se estarían acercando cada vez mas a infinito. Lo cual nos dice que la sucesión diverge a ∞ (infinito), es decir que su limite es infinito. Matemáticamente, esto seria; Se lee “limite cuando n tiende a infinito de bn es igual a infinito”

Estudiemos lo que pasa con la sucesión an 10 11 100 101 1000 1001 10000 an 1 -1 Observe que de acuerdo al valor que toma n (par o impar), bn se va alternando entre -1 si n es impar y 1 si n es par. Lo cual nos dice que la sucesión no converge a algún valor determinado ni tampoco diverge a ∞ o - ∞, es decir que su limite no existe. Matemáticamente, esto seria; Se lee “limite cuando n tiende a infinito de cn no existe”

Ya sabemos que significa ser convergente pero: ¿Cómo podemos saber si una sucesión tiene o no límite? ¿Cómo se calculan los límites? CUIDADO!!! Para ver si una sucesión tiene límite, una tabla como las anteriores puede ayudar, pero no es definitiva. Observa que hubiera sucedido si completases la 1ª tabla con la sucesión cn ¿qué hubieras pensado?

DEFINICIÓN DE LIMITE DE UNA SUCESIÓN Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an−L| < ε.

EJEMPLO La sucesión an = 1/n tiene por límite 0. 1 𝐾 −0 <𝜀 ; 1 𝐾 <𝜀;𝐾> 1 𝜀 Se puede determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea. 𝑠𝑒𝑎 𝜀=0.1; 𝐾> 1 0.1 ; 𝐾>10 Como k>10 a partir del a11 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1. 1 11 −0 <0.1 ; 0.09090<0.1

Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001. 𝜀=0.001; 𝑘> 1 0.001 ; 𝐾>1000 A partir del a1001 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001. 1 1001 −0 <0.001; 0.000999<0.001

También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos: Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los términos que siguen pertenecen a dicho entorno.

EJERCICIOS RESUELTOS Demuestra que la sucesión 𝑎 𝑛 = 2𝑛+4 𝑛 tiene límite 2. Averigua los términos cuya distancia a 2 es menor que 0.1.

A partir de a41 la distancia a 2 será menor que una decima. Aplicamos la definición de limite de sucesiones Resta de fracciones cancelamos términos , aplicamos la definición de valor absoluto y resolvemos la inecuación A partir de a41 la distancia a 2 será menor que una decima.

Demuestra que la sucesión 𝑎 𝑛 = 𝑛 2 𝑛 2 +3 tiene por limite 1 y averigua cuántos términos de la sucesión están fuera del E (1 , 0.001).

Los primeros 54 términos quedan fuera del entorno. Aplicamos la definición de limite de sucesiones Resta de fracciones Definición de valor absoluto Resolvemos la inecuación Los primeros 54 términos quedan fuera del entorno.

EJERCICIOS PROPUESTOS Probar que lim 𝑛→∞ 3𝑛−8 4𝑛+1 = 3 4 . Averigua los términos cuya distancia al límite es menor que 0.01. Probar que .Averigua los términos cuya distancia al límite es menor que 0.001. Probar que .Averigua los términos cuya distancia al límite es menor que 0.01.