Generación de Fractales por Computadora Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ciencias de la Electrónica Jaime Oscar Tenorio Pearl Daniel Mocencahua Mora Generación de Fractales por Computadora

FRACTALES Son objetos matemáticos encuadrados dentro de la Teoría de la medida, cuya delimitación exacta está aún por determinar. El término fractal fué acuñado por Mandelbrot para englobar bajo una denominación común a ciertos conjuntos que presentaban discordancias entre sus propiedades topológicas y su estructura geométrica.

La definición intuitiva de fractal en genera, es que los fractales se pueden considerar como el producto final de la iteración infinita de un proceso matemático simple. Las características básicas son Simplicidad en la construcción Aparente complejidad del producto final Estas dos líneas se aproximan a la realidad desde el punto de vista de la Geometría Euclídea o la Geometría Diferencial. Y sin embargo no son suficientes para tratar con fractales

En 1980, con ayuda de un ordenador VAX, pantalla Tektronix y hardcopy Versatac, Benoit Mandelbrot sorprendió a la comunidad científica con el primer dibujo detallado de un gráfico deducido de la evolución del sistema dinámico en el campo complejo Z → Z² + C

ALGORITMO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE FRACTALES Conjunto de Mandelbrot Conjunto de Julia Biomorfos Método de Newton-Raphson Atractores Extraños

Conjunto de Mandelbrot El conjunto de Mandelbrot es generado por medio de la fórmula recursiva:   Se debe verificar la norma de Z, y si esta es mayor que 2, se dice el punto C escapa al infinito después de N iteraciones. Dependiendo del valor de N, es del color que será pintado el punto C.

Evolución del Conjunto de Mandelbrot

Conjunto de Julia El conjunto de Julia es generado por medio de la fórmula recursiva:   La única diferencia entre el conjunto de Mandelbrot y el conjunto de Julia, es que en el primero, debemos de mover la constante a través de todo el plano complejo, y en el conjunto de Julia, dicha constante debe de permanecer fija para todo el plano complejo barrido.

Biomorfos Los Biomorfos son una leve modificación al Algoritmo de Mandelbrot. Dentro del conjunto de Mandelbrot debemos de verificar que la norma de Z sea menor que 2. Si es mayor, entonces se dice que el punto escapará a infinito muy rápido. En el caso de los Biomorfos, se debe de verificar que después de las N iteraciones (a diferencia del conjunto de Mandelbrot, el número de iteraciones en los Biomorfos son relativamente pequeñas, de un orden no mayor a 10), la parte Real ni la parte Imaginaria del punto, sobrepasen el valor de 10.

Newton - Raphson Si se tiene una función f(z) y se trata de encontrar los ceros de dicha función, el Método de Newton Raphson ofrece una buena aproximación. Es importante destacar que en el caso que el cero sea un valor Racional, entonces es posible que lleguemos después de N iteraciones a él. Pero en el caso más general que sea un número Irracional, entonces nunca podremos llegar al cero.

Atractores Extraños Los atractores extraños, a diferencia de todos los demás Fractales expuestos, no se grafican según el número de iteraciones que se hayan realizado en un punto con una determinada función de iteración. Estos Fractales se grafican según la posición que resulte después de iterase un punto en una fórmula de iteración. Algunos Atractores extraños son resultado de sistemas dinámicos caóticos.

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