Valor tiempo del dinero Supongamos que estamos en un mundo donde no existe inflación y se nos plantea la posibilidad de elegir $ 100 hoy o $ 100 mañana ¿Qué preferimos? La respuesta $ 100 hoy, ya que existe un interés que puede ser ganado sobre esos $ 100, es decir depositar eso en el un banco y al cabo de un año recibir los 100 más un interés. Supongamos la tasa es del 10%. Dos alternativas: Guardar los 100 en una caja fuerte al cabo de 1 año tengo los mismos 100. Depositar los 100 al cabo de un año tengo 110.

Costo de Oportunidad Representa en máximo beneficio que se puede obtener con el recurso colocado en la mejor alternativa. Todo recurso económico tiene un costo de oportunidad (tiempo, propiedades, dinero, etc.) Mejor uso alternativo depende de las personas. Para ilustrar el concepto, supongamos un inversionista que tiene 2 MM$ y le ofrecen las siguientes proyectos de inversión de un año de duración: Proyecto Inversión (MM$) Rentabilidad en un año (%) 1 1,0 25 2 1,5 20 3 0,5 15 4 2,0 12 5 3,0 9 6 1,2 6 7 0,8 3

¿Le conviene pedir prestado para realizar proyecto 6? Inversionista elegirá realizar proyectos 1,2 y 3 Su existe mercado capitales en que se puede pedir y pedir prestado a una tasa 8%, entonces: Pide prestado mm$5 pagando 8% interés y realiza proyectos 4 y 5. Esto permite pagar intereses y generar ganancia neta de mm$0.11 ¿Le conviene pedir prestado para realizar proyecto 6? Costo de oportunidad depende de la existencia de imperfecciones, por ejemplo: Tasa captación y colocación. El costo de oportunidad del dinero nos lleva a otro concepto llamado Valor Futuro. Este nos indica que si se posee una cantidad de dinero VP en el presente, existirá una cantidad en el futuro VF tal que un inversionista estará indiferente entre recibir VP hoy o VF mañana.

Valor tiempo del dinero Valor Futuro: Es el valor alcanzado por un capital o principal al final del período analizado. Interés: Es el rendimiento o costo de un capital colocado o prestado a un tiempo determinado. Habitualmente el costo de oportunidad del dinero se expresa como una tasa de interés. Si definimos: r = tasa de interés P = Monto invertido Invierto Po hoy Al cabo de un año obtengo: P1 = Po + r * Po = Po (1+r) Qué pasa si esto lo queremos invertir a más de un período?

Interés simple Interés simple: Es el interés que se paga (o gana) sólo sobre la cantidad original que se invierte. De otra forma es aquel que no considera reinversión de los intereses ganados en períodos intermedios. Supongamos que Po = $100 y r = 10% P1 = Po + r * Po = 110 P2 = P1 + r * Po Observemos que sólo calculamos intereses sobre el principal. P2 = Po + r * Po + r * Po = Po + 2 * r * Po = 120 Para n períodos: Pn = Po + n * r * Po ==> Pn = Po * (1 + n * r)

Capitalización: Supongamos un individuo concede un préstamo de $1. Al final del primer año, al individuo le deberán: Si r=9% $1 x (1+r) =$1 x 1.09 = $1.09. No obstante, al final del año, el individuo tiene dos alternativas: retirar $1.09 o bien reinvertirlos durante un segundo año. La capitalización es el proceso de reinversión de dinero durante otro año en el mercado de capitales. $1 x (1+r) x (1+r) =$1 x (1+r)2 = 1+ 2r + r2 En nuestro caso: $1x(1.09)x(1.09)=$1 x (1.09)2 = $1 +$0.18 +$0.0081 = $1.1881

Después de tres años el efectivo será de $1 x (1.09)3 = $1.2950 Lo importante es que la cantidad total a recibir NO es lo prestado más el interés de dos años, en este caso: 2 x r = 2 x $0.09 = $0.018 Sino que también se recibe la cantidad r2, que es la tasa del segundo año sobre el interés del primer año. El término 2r representa el interés simple de los dos años, y el término r2 se conoce como el interés sobre intereses. Cada pago de intereses se reinvierte cuando se invierte en efectivo con interés compuesto.

Interés Compuesto Interés Compuesto: Significa que el interés ganado sobre el capital invertido se añade al principal. Se gana interés sobre el interés. De otra forma se asume reinversión de los intereses obtenidos en periodos intermedios. Supongamos que Po = $100 y r = 10% P1 = Po + r * Po = 110 P2 = P1 + r * P1 Observemos ahora calculamos intereses sobre todo el capital. P2 = Po + r * Po + r * Po + r ^2 * Po = 121 Para n períodos: Pn = Pn-1 + r * Pn-1 ==> Pn = Po * (1 + r)^n

Interés Simple vs Interés compuesto Veamos que se obtiene para un período más largo y diferentes tasas de interés. Po = 100, r = 10% y n = 40 años: Interés Simple ==> Pn = $ 500 Interés Compuesto ==> Pn = $ 4.525,93 (9,05 veces) Po = 100, r = 5% y n = 40 años: Interés Simple ==> Pn = $ 300 Interés Compuesto ==> Pn = $ 704 (2,35 veces) Po = 100, r = 15% y n = 40 años: Interés Simple ==> Pn = $ 700 Interés Compuesto ==> Pn = $ 26.786,35 (28,27 veces)

¿Qué pasa si el período de capitalización ocurre más de una vez al año? Por ejemplo, consideremos que un banco paga una tasa de interés del 10% “capitalizable semestralmente”. Esto significa que un depósito de $1,000 en el banco valdría: Después de seis meses: $1,000 x 1.05 = $1,050, Y luego de seis meses más: $1,050 x 1.05 = $1,102.5 Después de un año la riqueza podría expresarse como: $1,000 x (1 + 0.1/2)2 = $1,000 x (1.05)2 = $1,102.5 Notemos que el valor futuro al cabo de un año es mayor con capitalización semestral que anual.

Más generalmente, capitalizar una inversión m veces al año proporciona al final del período una riqueza de : Co (1 + r/m)m donde Co es la inversión inicial y r es la tasa de interés nominal anual. Ejemplo: ¿Cuál es la riqueza al final del año t si un individuo recibe una tasa de interés del 24% capitalizable mensualmente sobre un dólar? Usando la fórmula anterior: $1 x (1+ 0.24/12)12 = $1 x (1.02)12 = $1.2682

Valor Actual: ¿Cuánto dinero debo invertir hoy en el banco para tener $110 al año siguiente, si la tasa de interés es del 10%? Podemos expresar esto algebraicamente: VA x 1.10 = $110 VA = $110 / 1.10 O más generalmente: VA = C1 / (1+r) Tasa r es la recompensa que el inversionista exige por la aceptación de un pago aplazado (Tasa de descuento o Costo de Oportunidad) ¿Qué pasa si hay más de un período? VA = C1 / (1+r) + C2 / (1+r)2 + C3 / (1+r)3...+ Cn / (1+r)n

T=8 Renta Perpetua : sucesión infinita de flujos de caja. Anualidad: Sucesión nivelada de pagos que dura un número fijo de años. VA = C/(1+r) + C/(1+r)2 + C/(1+r)3+ ……. C/(1+r)T Renta Perpetua : sucesión infinita de flujos de caja. VA = C/(1+r) + C/(1+r)2 + C/(1+r)3+ …. T=8