Desigualdades lineales en una variable Departamento de Matemáticas UPR - Arecibo

Desigualdades e Inecuaciones Una desigualdad es un enunciado que declara que dos cantidades o expresiones NO son equivalentes. Por ejemplo, 2x + 3 > 11 La desigualdad anterior implica que la expresión del lado izquierdo tiene un valor mayor que 11. Una inecuación o desigualdad, es una oración que incluye un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son: <, >, ≤, ≥. (Estos leen: menor que, mayor que, menor o igual que, mayor o igual que, respectivamente. )

Desigualdades e Inecuaciones 2x + 3 > 11 Una desigualdad en una variable se puede “cumplir o no” dependiendo del valor que se asigna a la variable. Si se obtiene un enunciado cierto al reemplazar un número b por la variable , entonces b es una solución de la desigualdad. La colección de todas la soluciones de una desigualdad se llama el conjunto solución de la desigualdad.

Soluciones de Desigualdades Dado 2x + 3 > 11 x = 5 es una solución de 2x + 3 > 11 2(5) + 3 =13 13 > 11 es cierto x = 3 NO es una solución 2(3) + 3 = 9 9 > 11 es falso. Resolver una desigualdad implica encontrar TODAS sus soluciones, o sea, determinar su conjunto solución.

Ejemplo: ¿Es solución? ¿Pertenece 5 al conjunto solución de 2x – 5 < 3x + 6 ? 2(5) – 5 < 3(5) + 6 10 – 5 < 15 + 6 5 < 21 cierto. Por esto decimos que 5 pertenece al conjunto solución de la desigualdad.

Desigualdades e intervalos Una desigualdad puede tener una infinidad de soluciones. Para describir el conjunto solución de una desigualdad usamos notación de conjunto o notación de intervalo. Por ejemplo, el conjunto x > 5 consiste de todos los números reales mayores que 5. x > 5 se llama un intervalo abierto y otra forma de denotarlo es (5, ∞). Ilustramos la gráfica de esta desigualdad:

Desigualdades e intervalos (continuación) La desigualdad 5 < x < 9, representa el intervalo abierto (5, 9) Es el conjunto de todos los puntos en la recta numérica que son mayores que 5 y menores que 9, sin incluir los extremos. La gráfica se ilustra a continuación:

Intervalos Las soluciones de la desigualdad 5 ≤ x ≤ 9, incluyen los valores mayores e iguales a 5 y menores e iguales a 9. Este es un intervalo cerrado y se denota [5, 9]. Aquí se muestra la gráfica de este intervalo cerrado:

Práctica: notación de intervalo Escribe el intervalo que contiene todos los números menores o iguales -10. Escribe el intervalo que contiene todos los números entre 13 y 20. Indicar si el enunciado es cierto o falso. Justificar su respuesta. 2 3 ∈[0.75,∞) −5∈ −∞,−4 − 5 2 ∈[−3,−1]

Desigualdades lineales Al igual que con las ecuaciones, hay diferentes tipos de desigualdades. Las desigualdades lineales son las que son de grado 1. Desigualdad lineal x > -1 2x + 3 < 11 7(x + 3) ≤ 5x + 5 Desigualdad No lineal x2 > -1 x2 – 3x + 5 ≤ -1 2(x3 – 4x) ≤ 0

Conjunto solución de una desigualdad lineal Las propiedades que usamos para resolver desigualdades lineales son similares a las que usamos para resolver ecuaciones lineales. Podemos sumar o restar valores reales de ambos lados de una inecuación. Podemos multiplicar o dividir ambos lados de una inecuación por valores positivos. Podemos multiplicar o dividir ambos lados de una inecuación por un valor negativo, si invertimos el signo de la desigualdad.

Ejemplo Resuelve la desigualdad: x + 5 > 10 Solución:

Ejemplo Resuelva la desigualdad: 3 – x > 4 Solución: 3 – x > 4

Ejemplo Resuelve la desigualdad: Solución:

Ejemplo Resuelve la desigualdad: Solución: 4 + 7x ≥ 2x – 1

Ejemplo Resuelve la desigualdad: Solución: 2(x + 3) – 6 ≤ x – 2

Ejemplo Resuelve la desigualdad: Solución:

Práctica: Resuelva las siguientes desigualdades lineales. Represente el conjunto solución en notación de intervalo y gráficamente. 2(5 – 4x) < 5x + 3 4x + 6(2 – x) > 4x – 5 7x – 8 > 2 – 3x 6x 5 ≤ 2 – 𝑥 10 x 3 ≥ 4 + 𝑥 4 5x ≥ 2 – 3x

Desigualdades compuestas En ocasiones tenemos desigualdades compuestas como la siguiente: 2 < x + 1 < 5 Con esta notación se representan dos desigualdades: x + 1 > 2 y x + 1 < 5 Algunas veces, podemos despejar la desigualdad de manera que la variable esté sola, en el medio. Para lograr esto, todas las operaciones inversas se hacen tanto en el centro, como en los dos extremos.

Ejemplo: Ejemplo 1: -6 ≤ 2x + 1 ≤ 5 -6 – 1 ≤ 2x + 1 – 1 ≤ 5 – 1 Restando 1 en todos los lados. -7 ≤ 2x ≤ 4 −7 2 ≤ x ≤ 4 2 −7 2 ≤ x ≤ 2 El conjunto solución es: [- 7 2 , 2]. Indique si son soluciones o no: 0 d) 2 -3 e) 𝟓 𝟒 1

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de 2x < 3 < 5 + 2x

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de x – 3 < 5 – 3x ≤ 7 + x

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de 3 – 2x > 1 ó 3 – 2x < -1

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de Solución:

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de Solución: 4𝑥+1≥3−5𝑥>10−7𝑥

Desigualdades con valor absoluto Para resolver desigualdades de la forma Si c es un número real y u representa cualquier expresión algebraica , entonces es equivalente a La regla es válida también para ≤

Desigualdades con valor absoluto EJEMPLO Resolver y graficar el conjunto solución de: SOLUCION Remover el valor absoluto: 𝑢 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 −𝑐<𝑢<𝑐 . (−3,7) El conjunto solución es:

Desigualdades con valor absoluto EJEMPLO Determinar el conjunto solución y la gráfica para: . SOLUCION

Ejemplo Resolver y graficar el conjunto solución de:

Práctica: Resuelva las siguientes desigualdades dobles. Escriba el conjunto solución en notación de intervalo y gráficamente. -3 < 7x + 4 ≤ 18 6 < 4 – x < 10 3 < 2x + 3 < -3 2x < 7x + 5 < 3x - 1 4x < 2x + 1 < 3x + 2

Soluciones - práctica (-1, 2] (-6, -2) (0, 3) (- ∞, - 3 2 ) U ( -1, ∞) ( -1, ½)