M.I.C. Héctor E. Medellín Anaya Álgebra Superior M.I.C. Héctor E. Medellín Anaya

Operadores lógicos La negación de una proposición es falsa si ésta es verdadera y verdadera si es falsa. P ¬ P V F P Q P  Q F V La conjunción, denotada por P  Q

Operadores lógicos La disyunción, denotada por P  Q F V La disyunción, denotada por P  Q P Q P  Q F V La implicación, denotada por P  Q

Operadores lógicos La bicondicional se define como P  Q, la cual se lee “P si y solo si Q”. La bicondicional es verdadera cuando P y Q son verdaderas o falsas simultáneamente. Dos proposiciones son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad. Teorema 1.1. Sean P y Q proposiciones para las cuales P  Q es siempre verdadera. Entonces P y Q son equivalentes. Y viceversa.

Operadores lógicos Una tautología es una proposición que siempre es verdadera y la contradicción es aquella que siempre es falsa. Las proposiciones que contienen variables se les llama proposiciones abiertas. Una frase abierta o función proposicional es una proposición que contiene una variable. Se denota por P(x). La colección de objetos que pueden ser sustituidos por una variable en una frase abierta se llama conjunto de significados de esa variable.

Operadores lógicos Se definen también los cuantificadores universal y existencial: “para todo x, P(x)” se denota por  x P(x) y “existe x tal que P(x)” como  x P(x). Teorema 1.2. ( x P(x)) es equivalente a  x P(x). Si P(x) es una frase abierta, entonces un contra ejemplo para  x P(x) es un elemento, t, del conjunto de significados de forma que P(t) sea falsa.

Operadores lógicos Demostración Considere un conjunto finito de individuos a1, a2,... an,  x P(x) es verdadero si P(a1), P(a2),... P(an), son verdaderos, o sea  x P(x)  P(a1)  P(a2) ... P(an) Por otro lado  x P(x)  P(a1)  P(a2) ...  P(an) Entonces ¬ x P(x)  ¬ (P(a1)  P(a2) ... P(an))  ¬ P(a1)  ¬ P(a2) ...  ¬ P(an) por la ley de De Morgan   x ¬ P(x)

Actividad Mostrar que la siguiente proposición es una contradicción: ((PQ)¬P)¬Q Probar la equivalencia de las siguientes expresiones usando tablas de verdad. a) (P  Q)  (P  Q)  (Q  P) b) (P  Q) (Q  R)  Q  (P  R) 8. En el dominio de los animales, ¿cómo traduciría las expresiones siguientes? a) Todos los leones son predadores. b) Algunos leones viven en África. c) Sólo rugen los leones. d) Algunos leones comen cebras. e) Algunos leones solo comen cebras.

Solución P Q P  Q P (P  Q) P  Q ((PQ)P)Q F V P Q P  Q P Q (P Q)(Q P) F V

P Q R PQ QR (PQ)  (Q  R) (P  R) Q (P  R) F V

a) Todos los leones son predadores. x: x es león  x es predador b) Algunos leones viven en África.  x: x es león  x vive en África c) Sólo rugen los leones. x: x ruge  x es león d) Algunos leones comen cebras.  x: x es león  ( y: y es cebra  x come a y) e) Algunos leones solo comen cebras.  x: x es león  ( y: x come a y  y es cebra)

Conjuntos Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto. Denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas y sus elementos con minúsculas. Se utilizan llaves para encerrar los elementos de un conjunto, por ejemplo: A = {2, 3, 5, 7} Para indicar la pertenencia a un conjunto usamos el símbolo  y para indicar la no pertenencia el símbolo , ejemplos: 3  A 6  A

Especificación de conjuntos Un conjunto puede especificarse de varias maneras: Enumerando sus elementos Especificando mediante un enunciado los elementos del conjunto Mediante una proposición abierta El conjunto A se puede especificar como: Enumeración. A = {2, 3, 5, 7} Especificación: A = {números primos menores que 10} Proposición: A = { x | x es primo  x<10}

Igualdad de conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos. Denotamos la igualdad de dos conjuntos A y B por A = B. Ejemplos {números pares positivos menores que 100} = {múltiplos de 2 menores que 100} {x | x2 – 4 = 0} = {-2, 2} {1, 2, 2, 3, 4, 4, 5}= {1, 2, 3, 4, 5}

Subconjuntos A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, lo representamos por A  B o sea que: Si A es diferente de B y A es subconjunto de B, lo denotamos por A  B Ejemplo: A = {1 .. 100} y B = {2, 4, 6, … , 50}, entonces B  A pero A  B

Actividad Defina los siguientes conjuntos enumerando sus elementos: {números primos entre 30 y 60} {x | x2 – 5x +6 = 0} Diga si son verdaderas las siguientes sentencias para los conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}y B = {1, 5, 7}: A  B B  A B  A A  B 8  B Defina el siguiente conjunto utilizando un proposición abierta: {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, …}

Diagramas de Venn El conjunto universo es el conjunto que contiene todos los elementos relevante a un problema. Se denota por U. El conjunto universo se representa como un rectángulo. Los demás conjuntos se representas por curvas cerradas dentro del universo. U = {1, …, 10} A = {3, 4, 6, 8} B = {5, 6, 7, 8, 9} U 1 10 5 3 6 9 8 A B 4 7 2

Diagrama de Venn de AB A  B U A B

Teorema 1.3. Si A  B y B  C , entonces A  C Demostración con diagramas de Venn U A B C

Conjunto Vacío Un conjunto importante es el conjunto vacío o nulo, el cual no contiene ningún elemento, éste es subconjunto de todo conjunto. El conjunto vacío se denota por . El conjunto de todos los subconjuntos de A se le llama el conjunto potencia de A, se denota por 2A = {B | B  A}. Ejemplo: A = {1, 2, 3} 2A = {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, }

Unión de conjuntos Definimos la unión de dos conjuntos A y B como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B y se indica por A È B. A È B = {x | x Î A o x Î B } Ejemplo: A = {1, 3, 4, 5} B = {3, 4, 6, 7, 8} A È B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8} U 9 10 8 1 4 6 A 5 3 B 7 2

Intersección de conjuntos Definimos la intersección de dos conjuntos A y B como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B y se indica por A Ç B. A Ç B = {x | x Î A y x Î B } Dos conjuntos son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío. U 9 10 Ejemplo: A = {1, 3, 4, 5} B = {3, 4, 6, 7, 8} A È B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 8 1 4 6 A 5 3 B 7 2

Propiedades Teorema 1.4. Dados conjuntos A, B y C se tiene que: 1.   A = A 2.   A =  3. Si A  B, A  B = A 4. Si A  B, A  B = B 5. A  B = B  A 6. A  B = B  A 7. A  (C  B) = (A  C)  B 8. A  (C  B) = (A  C)  B 9. A  (C  B) = (A  C)  (A  B) 10. A  (C  B) = (A  C)  (A  B)

Complemento El complemento de un conjunto es el conjunto de elementos que pertenecen a un universo en el que esta definido el conjunto y que no pertenecen al conjunto. Se representa por. A'= {x | x Ï A } Ejemplo: A = {1, 3, 4, 5} A’ = {2, 6, 7, 8, 9, 10} U 9 10 8 1 4 6 A 5 3 7 2 A’

La diferencia Definimos la diferencia de A y B como el conjunto de los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B. La designamos por A - B. A - B = {x | x Î A y x Ï B } U 9 10 Ejemplo: A = {1, 3, 4, 5} B = {3, 4, 6, 7, 8} A - B = {1, 5} 8 1 4 6 A 5 3 B 7 2

Actividad 1. Dados A = {1, 3, 4, 6, 8, 9} y B = {2, 3, 4, 5, 8, 11, 12} sobre el universo U = {1, 2, 3, ...20}, calcular lo siguiente y hacer los diagramas de Venn correspondientes. a) A  B b) A  B c) complemento de A d) A - B e) B - A

A Å B = {x | (x Î A y x Ï B ) o (x Î B y x Ï A )} Diferencia simétrica La diferencia simétrica de A y B es el conjunto formados por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos. Se representa por. A Å B = {x | (x Î A y x Ï B ) o (x Î B y x Ï A )} Es fácil ver que. A Å B = (A - B ) È (B - A )

Ejemplo U = {1, 2, …, 10} A = {1, 3, 5, 6, 7} B = {3, 4, 7, 8, 9}

Conjuntos finitos e infinitos Un conjunto es finito si tiene un número finito de elementos y es infinito si tiene un número ilimitado de elementos. Ejemplo N = {1, 2, 3, …} = conjunto de los números naturales, es un conjunto infinito A = { x  N | x >0 y x< 1000} es un conjunto finito B = { x  N | x es primo} es un conjuto infinito C = {átomos en el universo} es finito

Subconjunto estándar de N Si ponemos en correspondencia los elementos de un conjunto con algún subconjunto propio de N, comenzando con 1 y siguiendo en orden sin saltar ningún elemento, definimos un subconjunto estándar de N. A = {a, b, c, d, e} 1 2 3 4 5      a b c d e El subconjunto {1, 2, 3, 4, 5} es equivalente {a, b, c, d, e}. Decimos que A tiene 5 elementos.

Cardinalidad Cuando un conjunto S se equipara con un subconjunto estándar de N, el último elemento usado se le llama la cardinalidad del conjunto S y se denota por | S |, n(S), card(S) o #S. La cardinalidad del conjunto vacío es 0. Si es posible encontrar un subconjunto estándar de N que se pueda hacer corresponder con un conjunto S, decimos que S es finito, sino S es infinito.

Producto cartesiano Un par ordenado es una tupla de dos elementos, tal que uno puede ser distinguido como el primero y el otro como el segundo. Un par ordenado con primer elemento a y con segundo elemento b es escrito usualmente como (a, b). Dos pares ordenados cumplen: (a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b = d El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) tales que a es elemento del conjunto a y b es elemento del conjunto B. A  B = {(a, b) | a A y b  B}

A = {2, 4, 5} B = {1, 3, 5, 6} A  B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (5, 6)} Note |A  B| = |A||B|, en este caso |A  B| = 3  4 = 12 B  A = {(1, 2), (1, 4), (1, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 5), } Note que A  B  B  A A  A = A2 = {(2, 2), (2, 4), (2, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 5), }

Actividad ¿Cuál es la cardinalidad de los siguientes conjuntos? {seres humanos} {x  N | x > 34 y x < 16} {x  N | x es múltiplo de 1,000,000} {mesa-bancos en el salón} Sea A = {4, 6, 9} y B = {s, t} encuentre A2, B2, A  B, B  A.

Relaciones Se define una relación del conjunto A con el conjunto B como un subconjunto de A  B. Si R  A  B y (a, b) Î R se dice que a está relacionado con b bajo la relación R y se denota por aRb. Para expresar una relación de A en B, escribimos: R: A  B Si A y B son el mismo conjunto, entonces se dice que la relación es sobre A.

Gráfico de una relación S = {s1, s2} P = {p1, p2, p3} R = {(s1, p1), (s1, p3), (s2, p2), (s2, p3)} p1 s1 s2 p2 p3

Dominio e imagen Se definen los subconjuntos Dominio e Imagen de la relación R como sigue: Dom(R)={a | a Î A y (a, x) Î R para algún x Î B} Im(R)={b | b Î B y (y, b) Î R para algún y Î A} a1 b1 a2 b3 a3 b2 bj ak bm an

A = {1, 3, 5, 7} B = {4, 5, 6} R = {(a, b)  A  B | a > b} = {(5, 4), (7, 4), (7, 5), (7, 6)} S = {(a, b)  A  B | a = b} = {(5, 5)} T = {(a, b)  A  B | a  b} = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 4), (5, 6), (7,4), (7, 5), (7, 6)} W = {(a, b)  A  B | b = a + 3} = {(1, 4), (3, 6)} Dom(R) = {5, 7} Img(R) = {4, 5, 6} Dom(S) = {5,} Img(S) = {5} Dom(T) = {1, 3, 5, 7} Img(T) = {4, 5, 6} Dom(W) = {1, 3} Img(w) = {4, 6}

Inversa de una relación Si R  A  B es una relación de A en B, entonces la relación R–1 = {(b, a)| (a, b) Î R } es la inversa de la relación R. Por tanto si aRb  bR–1a. S = {s1, s2} P = {p1, p2, p3} R = {(s1, p1), (s1, p3), (s2, p2), (s2, p3)} R–1 = {(p1, s1), (p3, s1), (p2, s2), (p3, s2)} p1 s1 s1 p1 R R–1 s2 s2 p2 p2 p3 p3

Operaciones con relaciones Dado que las relaciones son conjuntos, todas las operaciones de conjuntos se pueden aplicar a las relaciones. Si R y S son relaciones, R  S es una relación tal que x(R  S)y = xRy  xSy Similarmente x(R  S)y = xRy  xSy Y x(R – S)y = xRy  xSy Donde S indica que x no está relacionado con y a través de S

X = {a, b, c} V = {a, b} Y = {A, B, C} W = {B, C} R: X  Y S: V  W R = {(a, A), (a, B), (b, C)} S = {(a, B), (b, C)} S = R  S = R  S = R – S =

Actividad L representa la relación “menor o igual que” y D representa la relación “divide”, donde xDy significa “x divide a y”. Tanto L como D están definidas en el conjunto {1, 2, 3, 6}. Escribir L y D como conjuntos, y calcular L D, L  D, L – D.

Composición de relaciones Sean R: X  Y y S: Y  Z dos relaciones. La composición de R y S, que se representa por R  S, contiene los pares (x, z) si y solo si existe un objeto intermedio y tal que (x, y) está en R y (y, z) está en S. Por consiguiente x(R  S)z = y (xRy  ySz) Ejemplo: La relación “tía de” se compone de dos relaciones, la relación “hermana de” y la relación “padre de”.

R: X  Y S: Y  Z R  S: X  Z y1 z1 x1 z1 x1 x2 y2 z2 x2 z2 x3 y3 z3 x3 z3 y4 z4 x4 z4 x4 z5 z5

R = {(1, a), (2, b), (1,c)} S = {(a, A), (a,B), (c,D)} Calcular R  S y hacer el grafo dirigido.

Actividad 1. Representar con un grafo dirigido A = {1, 2, 4, 6}, B = {a, b, c} R = {(1, a), (2, b), (2, c), (4, b), (6, a), (6, c)} 2. Dado el siguiente grafo encuentre los pares ordenados de la relación S A a b B c C

Actividad W = {(1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (4, 1), (4, 5)} S = {(1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (4, 5), (5, 1)} Encuentre W  S y S  W y haga sus grafos dirigidos

Propiedad de las relaciones R  (S  T) =(R  S)  T Demostración: x(R  (S  T))w = y (xRy  y (S  T)w) = y (xRy  z(ySz  zTw) = y z (xRy  (ySz  zTw) Intercambiando cuantificadores y agrupando = z y ((xRy  ySz)  zTw) = z (y (xRy  ySz)  zTw) = x((R  S)  T)w

Propiedades de las relaciones Una relación R sobre un conjunto X es reflexiva si a: (a, a) Î R O equivalentemente  a: (a, a)  R R = {(a, a), (b, a), (b, b), (b, c), (c, c)} reflexiva S = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a)} no reflexiva Una relación R sobre un conjunto X es irreflexiva también llamada antirreflexiva o antirrefleja, si a: (a, a)  R O equivalentemente  a: (a, a) Î R W = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, a)} irreflexiva S = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a)} no irreflexiva

Propiedades de las relaciones Una relación R es simétrica si a,b: (a, b) Î R  (b, a) Î R. También  a,b: (a, b) Î R  (b, a)  R R = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, b)} simétrica S = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a)} no simétrica Una relación R es antisimétrica si a,b: ((a, b)ÎR(b, a)ÎR)  a = b. También  a,b: (a, b) Î R  (b, a) Î R  a  b R = {(a, b), (b, b), (b, c), (c, a), (c, c) } antisimétrica S = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a)} no antisimétrica

Propiedades de las relaciones La simetría no es lo opuesto de la antisimetría. Ejemplos: Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad) Otras que no son simétricas ni antisimétricas (como la divisibilidad) Otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n) Otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").

Propiedades de las relaciones Una relación R es transitiva si a,b: (a, b) Î R y (b, c) Î R  (a, c) Î R R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c)} transitiva S = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a)} no transitiva Una relación es total si a,b: (a, b) Î R  (b, a) Î R. W = {(a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (c, b)} total S = {(a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, b)} no total

R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2)} S = {(4, 2), (2, 5), (3, 1), (1, 3)} Calcular RS, S  R, R  (S  R), (R  S)  R, R R, S S, R R R

Relacón Refle. Irrefle. Sim. Antisim. Trans. Total {(1,2). (2, 2), (3,4), (4,1)} {(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)} {(a, b)N 2 | a divide a b} {(a, a), (b, b), (a, c), (b, c), (c, a), (d, d)} {(a, a), (a, d), (c, b), (d, a), (c, e), (e, e)} {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (b, c), (b, a)} {(a, a),(a, b),(b, a), (b, b), (b, c), (b, e), (c, e), (b, d), (d, a), (e, e)} {(a, c), (a, e), (e, c), (b, c)} {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, e), (b, c), (c, b), (e, a)} {(a, b), (b, d), (c, a), (d, e), (e, c), (b, c), (b, a)}

Relaciones de equivalencia Una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva se denomina relación de equivalencia. Una relación de equivalencia define clases de equivalencia. Cada clase de equivalencia es un subconjunto del conjunto A. Los subconjuntos definidos en las clases de equivalencia son disjuntos y la unión de ellos es igual al conjunto A, se dice que forman una partición del conjunto A. Para cada elemento x de A se define un conjunto [x]={y Î A | (x, y) Î R} como la clase de equivalencia de x.

Clases de equivalencia Teorema 1.5. Las clases de equivalencia de una relación de equivalencia R sobre un conjunto X forman una partición de X. Demostración: Sea z Î [x][y], entonces (x, z) Î R y (z, y) Î R. Como R es transitiva, entonces (x, y) Î R. Por lo tanto x Î [y] y y Î [x], y en consecuencia (y, x) Î R. Si t Î [x], entonces (t, x) Î R y por transitividad (t, y) Î R. Por tanto t Î [y]. O sea [x] Í [y]. Si t Î [y], entonces (t, y) Î R y por transitividad (t, x) Î R. Por tanto t Î [x]. O sea [y] Í [x]. Dado que [x] Í [y] y [y] Í [x], se tiene [x] = [y].

Clases de equivalencia Por otro lado, todo x debe pertenecer R, ya que (x, x)Î R. Esto implica que todos los elementos pertenecen a alguna partición. Teorema 1.6. Cualquier partición A de un conjunto no vacío X define una relación de equivalencia sobre X.

Ejemplos La relación de igualdad de enteros define una relación de equivalencia, dado que a = a (reflexiva) si a = b  b = a (simétrica) si a = b  b = c  a= c (transitiva) Por lo tanto es una relación de equivalencia.

Ejemplos Dos números son congruentes en módulo n si al dividir dos números se obtiene el mismo residuo. La congruencia de a y b se denota por a  b (mod n). Por ejemplo: 2  12 (mod 5), 3  24 (mod 7), 8  17 (mod 3). Si a  a (mod n) (reflexiva) Si a  b (mod n)  b  a (mod n) (simétrica) Si a  b (mod n)  b  c (mod n)  a  c (mod n) (transitiva) 0  3 (mod 3) 1  4 (mod 3) 2  5 (mod 3) 0  6 (mod 3) 1  7 (mod 3) 2  8 (mod 3) 0  9 (mod 3) 1  10 (mod 3) 2  11 (mod 3) [0] = {0, 3, 6, 9, …} [1] = {1, 4, 7, 10, …} [2] = {2, 5, 8, 11, …}

Actividad Encuentre la partición que crea la relación R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)} sobre el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} Encuentre la relación de equivalencia que crea la siguiente partición del conjunto B = {a, b, c, d, e, f} P = {{a, c, d}, {b, e}, {f}}

Funciones Una relación de A en B es una función si Dom(f) = A y para todos los pares (x, y) y (x , z) pertenecientes a f implica que y = z, y se escribe f: A ® B. Una función es un subconjunto del producto cartesiano de A y B tal que no existe dos pares ordenados con la misma primer componente. f :AB  (f  A  B)  x  A, y1, y2  B, ((x, y1) f  (x, y2)  f  y1= y2)

Ejemplos A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 4} F = {(1, 3), (2, 1), (3, 2)} G = {(1, 3), (2, 1), (2, 4), (3, 4)} H = {(1, 4), (3, 1)} función parcial

Gráfico de una función F = {(1, a), (2, o), (3, e)} a 1 e i 2 o u 3

Definiciones de funciones Una función se puede definir mediante una fórmula. La función f = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), …} se puede definir como f = {(x, y)  NN | y = x2} La función f = {(1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11), …} se puede definir como f = {(x, y)  NN | y = 2x + 3}

Sea D = {1, 2, 3, 4} f = {(x, y) | y = 3x2 + 4} Encontrar la imagen de f. Hacer el gráfico de los conjuntos.

Sea g = {(-2, 4), (-1, 3), (0, 2), (1, 1), (2, 0), (3,-1) } Encontrar dominio, imagen y la regla de correspondencia

Sea D = {-3, -1, 0, 1, 3} y f(x) = x2/2 – 1 Escribir f como pares ordenados y encontrar la imagen.

Actividad Sea D = {1, 2, 3, 4, 5} f = {(x, y) | y = 7x2 – 6} Encontrar la imagen de cada elemento del dominio. Hacer el gráfico de los conjuntos. Sea g = {(1, 0), (2, 2), (3, 4), (4, 6), (5,8) } Encontrar dominio, imagen y la regla de correspondencia

Imagen y preimagen Dada una función f: A  B, la imagen bajo f de un elemento a del dominio es el único elemento b del contradominio con el que a está relacionado. Se denota por b = f(a) Simbólicamente f(a) = b  (a, b)  f Dada una función f: A  B, la imagen bajo f de un subconjunto X del dominio es el subconjunto Y del contradominio formado por las imágenes de los elementos de X. Se denota por Y = f(X). Así mismo, X se llama preimagen de Y y se denota por X = f –1(Y). f(X) = Y X = f –1(Y)  (X  dom(f )Y  img(f ) xX, f(x)Y  y Y,  xX, (x, y) f )

Funciones Teorema 1.7. Sean las funciones f: A ® B y g: A ® B, entonces f = g si y solo si f(x) = g(x) para toda x Î A. Demostración: Si f = g. Sea x Î A. Si y = f(x), se tiene que (x, y) Î f y por tanto (x, y) Î g. En consecuencia y = g(x). Si f(x) = g(x). Entonces, si (x, y) Î f . Entonces y = f(x) = g(x) con lo que (x, y) Î g, y por tanto f Í g. Por otro lado, si (x, y) Î g . Entonces y = g(x) = f(x) con lo que (x, y) Î f, y por tanto g Í f.

f(X) = {y Î B | y = f(x) para algún x Î X} Función parcial Definimos una función parcial como una función en la que Dom(f) Í A. Sea una función f: A ® B . Si X Í A, diremos que la imagen de X bajo f es f(X) = {y Î B | y = f(x) para algún x Î X} Si Y Í B, la imagen inversa de Y bajo f es el conjunto f -1(Y) = {x Î A | f(x) = y para algún y Î Y}

Funciones Teorema 1.8. Sea una función f: A ® B . Entonces 2.   f({x}) = {f(x)} para todo x Î A. 3.   Si X Í Y Í A, entonces f(X) Í f(Y). 4.   Si X Í Y Í B, entonces f -1(X) Í f -1(Y). 5.   Si X y Y son subconjuntos de B, entonces f -1(X - Y) = f -1(X) - f -1(Y).

Funciones inyectivas Una función es inyectiva si, para cualquier (x, y) Î f y (z, y) Î f , entonces x = z.  inyectiva NO inyectiva

Ejemplos F = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 2)} G = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 1)} H = {(1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 5)} R = {(x, y)  N2 | y = x2} S = {(x, y)  NR | y = +√x} W = {(x, y) | x2 + y2 = 25}

Funciones sobreyectivas Una función es sobreyectiva si, para cualquier y Î B existe una x Î A, para la que f(x) = y. sobreyectiva NO sobreyectiva

Ejemplos F = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 2)} A=B = {1, 2, 3, 4, 5} G = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 1), (5, 3)} A = B = {1, 2, 3, 4, 5} H = {(1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 5), (5, 2)} R = {(x, y)  N2 | y = x2} S = {(x, y)  NR | y = +√x} W = {(x, y) | x2 + y2 = 25}

Biyección Una que es inyectiva y sobreyectiva es una biyección o correspondencia uno a uno. biyectiva NO biyectiva

Ejemplos F = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 2)} A=B = {1, 2, 3, 4, 5} G = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 1), (5, 3)} A = B = {1, 2, 3, 4, 5} H = {(1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 5), (5, 2)} R = {(x, y)  N2 | y = x2} S = {(x, y)  NR | y = +√x} W = {(x, y) | x2 + y2 = 25}

Composición de funciones Definimos la composición de dos funciones f y g como: g ° f = {(a, c) |  y, f(a) = y  b = g(y)} El contradominio de f debe estar incluido en el dominio de g Dadas las funciones f: A  B y g: B  C g ° f : A C  Dom(g ° f ) = Dom(f )  Img(f)Dom(g)  xDom(g ° f ), (g ° f )(x) = g(f(x))

A = {1, 2, 3} B = {a, b, c, d} C = {a, b} f: A  B dada por: f(1) = a, f(2) = b g: B  C dada por: g(a) = a, g(b) = b, g(c) = b Encontrar la composición y hacer el grafo.