Departament d’Estadística Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques Generación de números aleatorios Programa de doctorado en Biometría y Estadística Simulación numérica de modelos estocásticos

Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 2 Contenido:  ¿Qué entendemos por secuencia de números aleatorios?  Cómo se generan n. aleatorios  Generadores congruenciales lineales  Propiedades de los GCL  Otros tipos de generadores –De Tausworthe (“feedback shift register”) –“Barajados” (??) (“shuffled”)

Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 3 ¿Qué entendemos por secuencia de números aleatorios?  En teoría, realización de secuencia de v.a. R 1, R 2,..., R n,... iid, R i  U(0,1)  En la práctica criterios menos estrictos: –n-distributividad: todas las n-tuplas {(R i, R i+1..., R i+n-1 )} uniformes sobre (0,1) n –(k,n)-distributividad: cada k-ésima subsecuencia de longitud n uniforme (0,1) n p.e. (5,2) seria {(R 5i,R 5i+1 )}, {(R 5i+1,R 5i+2 )}, {(R 5i+2,R 5i+3 )}, {(R 5i+3,R 5i+4 )}, {(R 5i+4,R 5i+5 )} uniformes sobre (0,1)x(0,1)

Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 4 Cómo se generan n. aleatorios  Dispositivos físicos “aleatorios” (ruletas, contadores de rayos cósmicos,...)  ± auténticamente aleatorios  no repetible, difícil conexión con programas  Algoritmo recursivo (determinista)  repetible (total control sobre la secuencia generada), informáticamente “natural”  “pseudoaleatorio”, limitaciones intrínsecas a aleatoriedad: ciclos, autocorrelación,...

Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 5 Generadores congruenciales lineales (GCL)  Producen secuencia de enteros no negativos {X i }, 0 £ X i < m-1, a partir de semilla inicial X 0, mediante Y secuencia de “números aleatorios” mediante R i = X i /m, R i Î [0,1) módulo multiplicador incremento

Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 6 Propiedades de los GCL  A pesar de sus limitaciones son los más usados (y mejor conocidos): –Período: menor entero k tal que X k =X 0 (¡y la secuencia se repite!). Siempre k £ m. –Período completo sii k = m. Condición necesaria y suficiente (Hull y Dobell): c primo respecto de m (a-1) múltiplo de q, para todo factor primo q de m (a-1) múltiplo de 4, si m lo es

Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 7 GCL mixtos (c > 0)  Ordenadores binarios: si m = 2 b, mod es simple desplazamiento de bits. Si 32 bits: m = 2 31 o m = 2 32 (período alcanzable  4,29 · 10 9 ), (16 bits período alcanzable 2 15 =32767 o 2 16 =65534)  En este caso período completo si c impar y (a-1) múltiplo de 4. Pega: período de los últimos d bits también del orden de 2 d

Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 8 GCL multiplicativos (c = 0)  1ª condición de Hull y Dobell imposible de cumplir  nunca período completo.  Recomendable m primo. Si a es un elemento primitivo módulo (EPM) m  período igual a m-1 (Knuth)  Escoger m primo lo más grande posible (cerca de 2 b, b núm. bits) y a EPM m  m primo y m = 2 h -1 (primo de Mersene)  mod eficiente (ideal h=b)

Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 9 Los tres tipos de GCL en el software actual  Información escasa, en general: Tipo A: mixtos de período completo, m = 2 b, a-1 múltiplo de 4, c impar (NAG?) Tipo B: multiplicativos de período máximo dado m (es decir, período m-1), m primo, a elemento primitivo modulo m (Simpscript II) Tipo C: multiplicativos, m=2 b, a-5 múltiplo de 8, período = m/4.

Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 10 Propiedades estadísticas calculables teóricamente Autocorrelación: solamente algunas cotas, complicadas y no muy útiles. Estructuras de mayor orden (n-distributividad) propiedades en general muy malas en este tipo de generadores, especialmente para pocos bits.

Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 11 Otros tipos de generadores  Generador lineal congruencial general No hay repetición hasta que Potencialmente, período máximo m p - 1. p=2, a 1 =a 2 =1: de Fibonacci (muy malos)

Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 12 Generadores de Tausworthe. I  Caso de generador lineal congruencial general con m primo. Período máximo si x p - a 1 x p a p es un polinomio primitivo módulo m  Tausworthe: si m=2: secuencia de bits, a i = 0 ó 1. Suelen emplearse trinomiales de forma x p + x q + 1, p > q  recurrencia:

Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 13 Generadores de Tausworthe. II  Posteriormente estos bits agrupados en enteros de longitud L (L  p), según bits por entero deseados. Q bits de espacio para siguiente entero (Q  L).  Más independientes de la máquina  Propiedades estadísticas de primer y segundo orden y n-distributividad mucho mejores que en congruenciales.

Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 14 Otros métodos  “Shuffled”: propuestos diversos algoritmos para “barajar” de alguna manera la salida de otro generador.  Otra posibilidad es combinar generadores, p.e. mediante xor –Se puede demostrar que si X i e Y i son aleatorias, Z i = X i xor Y i también lo es  Poco conocidos teóricamente, principal ventaja parece mejor n-distributividad