Distribuciones y Probabilidad Salvador Carrillo Moreno

Carrera de Bicicletas

Tiramos 2 dados y los sumamos

Giramos la gráfica para obtener un histograma (gráfica de barras)

IMPORTANTE Se puede comprimir una imagen, sin embargo, sigue representando lo mismo

Recordemos que estos son datos de un experimento

¿Qué nos dice esta gráfica? ¿Cuál es la probabilidad de .. que la suma sea 8 o menos? (que sea 5 o menos?) que la suma sea 10 o más? que la suma esté entre 5 y 8? Esto es en base a un experimento

¿Qué importancia tiene esto en el curso de Estadística? ¿Cómo llegamos aquí? Tirando dados pero … ¿Qué importancia tiene esto en el curso de Estadística?

¿Cómo llegamos aquí? Dos conceptos: PROBABILIDAD DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

¿Cómo llegamos aquí? Dos conceptos: PROBABILIDAD

1) Probabilidad Existen muchos eventos relacionados con la probabilidad Juegos azar (Lotería, Melate) También eventos de la vida diaria Esperar … Buscar … Nacer …

Jugar a los dados … Es tan antiguo como en este ejemplo: Aquiles y Ajax juegan a los dados. (Cerámica 540 a.C. Grecia) Museo del Vaticano, Roma

Tirar dos dados y sumarlos Espacio Muestra Cálculo de Probabilidad

Tirar dos dados y sumarlos Inferencia Estadística Tirar dos dados y sumarlos TEORÍA Probabilidad Experimento Toma de Datos, Muestreo… ¿cómo se relacionan? Inferencia Estadística

¿Cómo llegamos aquí? Dos conceptos: PROBABILIDAD DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

2)Distribución de Probabilidad Existen distribuciones: Discretas: Poisson, Binomial, etc. Contínuas: Normal o de Gauss, t, etc. Describen diferentes casos, sin embargo tienen algo en común… Teorema Límite Central Contínua Línea negra Discreta

Regla Empírica Aproximadamente un 68% del área bajo la curva normal está entre más menos una desviación estándar. μ ± 1 Aproximadamente un 95% está entre más menos 2 desviaciones estándar. μ ± 2 Casi todo (99.8%) está entre más menos 3 desviaciones estándar. μ ± 3 68% μ ± 1 95% μ ± 2 Casi todo 99.8% μ ± 3

Ejercicio: ¿cuánto mides? ¿qué me ves chaparro? Vamos a ir apuntando las estaturas de todos: Alguien apunte en el pizarrón… Mujeres Hombres estás bien despeinado

Ejercicio: ¿cuánto mides? Primero hacemos dos histogramas (hombres y mujeres) Luego los juntamos y mostramos todo en un solo histograma. Finalmente calculamos la desviación estándar y la media

Ejercicio: o Simulación Simulación de tirar dos dados: Dos dados 100 tiros …

Ejercicio: o Simulación Simulación de tirar dos dados: Dos dados 100 tiros …

Contínua Línea negra Discreta

Curva Normal Estándar Conforme tomamos más datos sucede que … La curva empieza a parecerse a una Campana de Gauss Curva Normal Estándar

¿Se puede definir una común o estándar? ¿A qué curva se parece? DISTRIBUCION NORMAL O DE GAUSS ¿Se puede definir una común o estándar?

Distribución Normal Estándar: ¿Cuál es la probabilidad de que sea menor o igual a “a”? Campana de Gauss Función de densidad Conviene definir una común o estándar.

Tiene área bajo la curva = 1.00 ¿Qué queremos medir? Tiene área bajo la curva = 1.00 PRIMERO debemos transformar nuestra distribución a la forma estándar. Entonces hagamos esto con nuestras medidas de altura

¿Qué queremos medir? PROBABILIDAD 1) 2) TRES CASOS P(z menor igual a) P (z mayor igual a) P (z entre a y b) 3)

Tablas de valores de Z Importante: La Tabla sólo da valores P(z a)

¿Cómo medimos …? Probabilidad menor que z = 2.30 P(z 2.30) Se escribe: Resultado = 0.9893 0.0107 x 100 = 1.07% que quiere decir 98.93% Si buscáramos 2.32 Buscamos 2.30

Sin embargo queremos la parte de la derecha ¿Cómo medimos …? Probabilidad mayor que z = 2.30 Se escribe: P(z 2.30) Resultado = 0.9893 Sin embargo queremos la parte de la derecha 1.000 - 0.9893 = 0.0107 que quiere decir 1.07% (la diferencia de 100% - 98.93%) Buscamos 2.30

¿Cómo medimos …? Probabilidad menor que b = 2.30 y mayor que a = 0.52 Se escribe: P(0.52 z 2.30) Resultado = 0.6985 que quiere decir 69.85% Buscamos 0.52 Buscamos 2.30 Resultado = 0.9893 que quiere decir 98.93%

P(z<b) quiere decir 98.93% P(z<a) que quiere decir 69.85% Restamos: P(b)-P(a) Resultado = 0.9893 P(z<b) quiere decir 98.93% Resultado = 0.6985 P(z<a) que quiere decir 69.85% P (0.52 z 2.31) 0.9893 - 0.6985 = 0.02908 98.93% - 69.85% = 29.08%

Teorema Límite Central Nos garantiza que bajo condiciones generales, la distribución de suma de variables aleatorias tiende a una Distribución Normal Cuando n es suficientemente grande

Teorema Límite Central De forma simple y sencilla qué dice el Teorema: En la mayoría de los casos es una muy buena aproximación utilizar la Campana de Gauss o Distribución Normal para determinar valores estadísticos. (al menos como una primera aproximación) Comparemos con nuestra medida de alturas

Teorema Límite Central De forma simple y sencilla qué dice el Teorema: En la mayoría de los casos es una muy buena aproximación utilizar la Campana de Gauss o Distribución Normal para determinar valores estadísticos. (al menos como una primera aproximación) Lo sospeché desde un principio Comparemos con nuestra medida de alturas

Conclusiones y trabajo a futuro Hemos visto cómo se relaciona la Probabilidad (discreta o contínua) con la Estádistica Descriptiva, en principio sólo con la Distribución Normal conocida como Campana de Gauss. Se realizó al menos un experimento y se verificaron las relaciones entre Probabilidad y Distribución Normal. A continuación deberán aplicar estos conceptos a diferentes ejercicios y otras distribuciones de probabilidad, poniéndo énfasis en qué distribución aplica para qué caso en particular.

Ejercicios Aplicaciones de la distribución normal estándar Página 231 Los ingresos semanales de los supervisores de turno de la industria del vidrio se rigen por una distribución de probabilidad normal, con una media de $1,000 y una desviación estándar de $100. ¿Cuál es el valor de z para el ingreso de X de un supervisor que percibe $1,100 semanales? ¿ y para un supervisor que gana $900 semanales? El valor de z de 1.00 indica que es una desviación estándar por arriba de la media. El valor de z=-1.00 una por debajo de la media. Para X = $1,100 X – μ $1,100 - $1,000 σ $100 z = = = 1.00 Para X = $900 X – μ $900 - $1,000 σ $100 z = = = -1.00

Ahora en Excel … Usamos DISTR.NORM.N X = 1100 μ = 1000 σ = 100 μ = 1000 σ = 100 0.8413447

Agradecemos su participación Salvador Carrillo 2011

Muchas gracias a ustedes