GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA TEMA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT TEMA 5.2 * 1º BCT ECUACIÓN GENERAL @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ECUACIÓN CONTINUA La ecuación paramétrica de una recta hemos visto que es: x = xo + t.a y = yo + t.b Si en ambas expresiones despejamos el parámetro t , resulta: x – xo = t.a  (x – xo ) / a = t y – yo = t.b  (y – yo ) / b = t Como el valor del parámetro t debe ser el mismo para cada punto de la recta, podemos igualarlo: x - xo y - yo t = t  --------- = --------- , siempre que a<>0 y b<>0 a b Que es la ecuación continua de la recta. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo_1 Una recta r viene dada por su ecuación vectorial: (x, y) = (0, 2) + t.(- 3, 5) Hallar su ecuación continua. Tenemos: (x, y) = (0, 2) + t.(- 3, 5) Desglosando las coordenadas del vector: x = 0 – 3.t ,, y = 2 + 5.t Despejando el parámetro t en ambas expresiones, resulta: x – 0 y – 2 t = -------- , t = -------- - 3 5 Igualando el valor de t, queda: x / (– 3) = (y – 2) / 5 Ejemplo_2 Una recta r viene dada de la forma r(A, u), donde A(3, 4) y u=(6, 8). Su ecuación vectorial será: (x, y) = (3, 4) + t.(6, 8) Desglosando las coordenadas del vector: x=3 + 6.t ,, y=4 + 8.t t= (x – 3) / 6 y t=(y – 4) / 8 Igualando el valor de t, tenemos: (x – 3) / 6 = (y – 4) / 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ECUACIÓN GENERAL ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA DE LA RECTA Partimos de la ecuación continua de la recta: x - xo y - yo -------- = -------- a b Como en toda proporción, podemos multiplicar en cruz, quedando: b.(x – xo) = a.(y - yo) b.x – b.xo = a.y – a.yo b.x – a.y – b.xo + a.yo = 0 Renombrando coeficientes queda: r: A.x + B.y + C = 0 Que es la ecuación general o ecuación implícita de la recta. Donde A=b, B= - a y C= – b.xo + a.yo Como un vector director era v=(a,b), ahora será v=(-B, A) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 Hallar la ecuación general de una recta si su ecuación continua es: x - 3 y + 2 -------- = -------- 2 - 5 Operando en la proporción: - 5.(x – 3) = 2.(y + 2) - 5.x + 15 = 2.y + 4  - 5.x – 2.y + 15 – 4 = 0  5.x + 2.y – 11 = 0 Ejemplo 2 Hallar la ecuación general de una recta si pasa por el punto A(- 2, - 4) y un vector director es v=(3, 2) Tomando la ecuación continua y sustituyendo: x - xo y – yo x – (- 2) y – (- 4) -------- = -------- ; ----------- = ----------- a b 3 2 Operando en la proporción: 2.(x +2) = 3.(y + 4) 2.x + 4 = 3.y + 12  2.x – 3.y + 4 – 12 = 0  2.x – 3.y – 8 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT TEMA 5.3 * 1º BCT ECUACIÓN NORMAL @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ECUACIÓN SEGMENTADA ECUACIÓN SEGMENTADA DE UNA RECTA Sea P(p, 0) el corte de una recta con el eje de abscisas y Q(0, q) el corte de la misma recta con el eje de ordenadas. La ecuación continua de la recta será: x – p y – 0 r  ------- = ---------- 0 – p q – 0 Operando: q.x – p.q = – p.y q.x + p.y = p.q Dividiendo todo entre el producto p.q x y r  --- + --- = 1 p q y Q(0, q) q r P(p, 0) 0 p x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 Sea la recta de ecuación 5.x + 4.y – 20 = 0 Halla la forma segmentada de su ecuación y represéntala. Tengo: 5.x + 4.y – 20 = 0 Opero: 5.x + 4.y = 20 Divido todo entre 20: 5.x 4.y 20 r  ------- + -------- = ------ 20 20 20 Queda: x y r  ----- + ----- = 1 4 5 Donde 4 y 5 son los segmentos que determina al cortar a los ejes de abscisas y ordenadas. y Q(0, 5) 5 r P(4, 0) 0 4 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 2 Sea la recta de ecuación 5.x – 3.y + 15 = 0 Halla la forma segmentada de su ecuación y represéntala. Tengo: 5.x – 3.y + 15 = 0 Opero: 5.x – 3.y = – 15 Divido todo entre – 15: 5.x – 3.y – 15 r  ------- + -------- = ------ – 15 – 15 – 15 Queda: x y r  ----- + ----- = 1 - 3 5 Donde – 3 y 5 son los segmentos que determina al cortar a los ejes. y Q(0, 5) 5 r P(- 3, 0) - 3 0 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 3 Sea la recta de ecuación: 2.x + 3.y + 18 = 0 Halla la forma segmentada de su ecuación y represéntala. Tengo: 2.x + 3.y + 18 = 0 Opero: 2.x + 3.y = – 18 Divido todo entre – 18: 2.x 3.y – 18 r  ------- + -------- = ------ – 18 – 18 – 18 Queda: x y r  ----- + ----- = 1 - 9 - 6 Donde – 9 y – 6 son los segmentos que determina al cortar a los ejes. y P(- 9, 0) - 9 0 x r -6 Q(0, -6) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ECUACIÓN NORMAL VECTOR PERPENDICULAR A UNA RECTA Sea la recta de ecuación Ax + By + C = 0 El vector director de dicha recta es u = (-B, A) Un vector v perpendicular a dicha recta será aquel cuyo producto escalar con u de cero. Operando: u.v = -B.A+A.B = 0 Luego un vector perpendicular a la recta es v(A, B) Ejemplo: Sea r: 4x – 5y + 7 = 0 El vector director es: u(5, 4) Un vector perpendicular será: v(-4, 5) Pues u.v = (5,4).(-4,5) = -20+20 = 0 y r v u P(x,y) 0 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ECUACIÓN NORMAL Sea la recta de ecuación Ax + By + C = 0 Sea un vector perpendicular v(A, B) Sea un punto cualquiera de r, Q(a,b) Sea un punto general de r, P(x,y) Tenemos: v.PQ = 0 Por ser v y PQ vectores perpendiculares. (A, B).(x – a, y – b) =0 A(x – a)+B(y – b) = 0 Que es la ecuación normal de la recta. Si se desarrolla queda: Ax + By – Aa – Bb = 0 Dividido entre el módulo de v queda: A B C r: ------------ x + ------------ y + ------------ = 0 √(A2+B2) √(A2+B2) √(A2+B2) y r P(x,y) v u P(a,b) 0 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 Hallar la ecuación normal y la normal canónica de r: 3x – 4y + 8 = 0 Un punto de la recta es el Q(0, 2) y un vector perpendicular v(3, -4) 3(x – 0)+(-4)(y – 2) = 0  3x – 4(y – 2) = 0 Que es la ecuación normal de la recta. El módulo del vector v es: √(A2+B2) = √(9+16) = 5 3 4 8 r: ----- x – ----- y + ----- = 0 , r: 0’6x – 0’8y + 1’3 = 0 5 5 5 Ejemplo 2 Hallar la ecuación normal y la normal canónica de r: 8x + 6y – 10 = 0 Un punto de la recta es el Q(-1, 3) y un vector perpendicular v(8, 6) 8(x + 1) + 6(y – 3) = 0 El módulo del vector v es: √(A2+B2) = √(64+36) = 10 8 6 10 r: ----- x + ----- y – ----- = 0 , r: 0’8x + 0’6y – 1 = 0 que es la canónica. 10 10 10 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT