15 Análisis de Regresión Múltiple

Precio de la casa = β0 + β1(Área de la casa) + ε Se ha visto el tema del análisis de regresión simple: Precio de la casa = β0 + β1(Área de la casa) + ε Pero en general, una variable dependiente depende de más de una variable independiente: Precio de la casa puede depender de: Área Antigüedad Número de baños Área del garaje Etc.

Para tratar este tipo de problemas se requiere expandir el análisis de regresión: Regresión Lineal Simple Regresión Lineal Múltiple

y = β0 + β1x1 + ε y = β0 + β1x1 + β2x2 + ……… + βpxp + ε

Objetivos Explicar la construcción de modelos usando el análisis de regresión múltiple. Aplicar el análisis de regresión múltiple en la toma de decisiones de negocios. Analizar e interpretar los resultados de programas estadísticos para un modelo de regresión múltiple. Evaluar la significancia de las variables indepen-dientes en un modelo de regresión múltiple.

Objetivos (continuación) Reconocer problemas potenciales en el análisis de regresión múltiple y tomar acciones para corregirlos. Incorporar variables cualitativas en el modelo de regresión usando variables dummies.

Modelo de Regresión Múltiple Objetivo: Examinar la relación lineal entre una variable dependiente (y) y dos o más variables independientes (xi) Modelo poblacional: Y-intercepto Pendientes Error aleatorio Modelo de regresión múltiple muestral: Valor de y y-intercepto estimado Pendientes estimadas Error muestral

Modelo de Regresión Múltiple Objetivo: Examinar la relación lineal entre una variable dependiente (y) y dos o más variables independientes (xi) Modelo poblacional: Y-intercepto Pendientes Error aleatorio Modelo de regresión múltiple estimado: Valor estimado o predecido de ŷ y-intercepto estimado Pendientes estimadas

Modelo de Regresión Múltiple Modelo de dos variables: y Pendiente para la variable x1 x2 Pendiente para la variable x2 Llamado hiperplano de regresión x1

Modelo de Regresión Múltiple (continuación) Modelo de dos variables: y Observación muestral yi yi < e = (y – y) < x2i x2 x1i La ecuación de mejor ajuste, y, es hallada minimizando la suma de cuadrados del error, e2 < x1

Modelo de Regresión Múltiple Poblacional Supuestos: Los términos de error (ε) son realizaciones estadísticamente independientes de una variable aleatoria para cada nivel de x. Para un valor dado de x, pueden existir muchos valores de y, por lo tanto muchos valores posibles para e. La distribución de los posibles errores del modelo para cualquier nivel de x es normal. Las distribuciones de los posibles valores de los errores e tienen igual varianza en cada nivel de x. Las medias de la variable dependiente y, para todos los valores especificados de x, pueden ser conectados con una línea la cual es el componente lineal del modelo de regresión poblacional.

Conceptos Básicos para la Construcción de Modelos

Conceptos Básicos para la Construcción de Modelos Los modelos son usados para evaluar cambios sin implementarlos en el sistema real. Los modelos pueden ser usados para predecir “outputs” basados en “inputs” específicos. El proceso de construcción de modelos consiste de 3 etapas: Especificación del modelo Ajuste del modelo Diagnóstico del modelo

Conceptos Básicos para la Construcción de Modelos Las 3 etapas: Especificación del modelo Especificación del modelo de regresión poblacional. Recolección de la data muestral. Formulación o construcción del modelo Cálculo de los coeficientes de correlación entre las distintas variables, dependientes e independientes. Ajuste del modelo a la data. Estimación de la ecuación de regresión múltiple. Diagnóstico del modelo Pruebas estadísticas para determinar la bondad de ajuste del modelo a la data. Verificación de los supuestos de regresión múltiple.

Especificación del Modelo A veces referido como identificación del modelo Es un proceso para establecer la estructura del modelo Decidir qué se quiere hacer y seleccionar la variable dependiente (y). Determinar las potenciales variables independientes (x) para el modelo. Recolectar los datos muestrales (observaciones) para todas las variables. Sugerencia: Tamaño muestral de al menos 4 veces el número de variables independientes.

Construcción del Modelo Es el proceso de contruir la ecuación para los datos. Puede incluir todas o algunas de las variables independientes (x). El objetivo es explicar la variación en la variable dependiente (y) a través de la relación lineal con las variables independientes seleccionadas (x).

Diagnóstico del Modelo Analizar la calidad del modelo (efectuar las pruebas de diagnóstico). Evaluar el grado en que los supuestos se satisfacen. Si el modelo es inaceptable, iniciar el proceso de construcción del modelo nuevamente. Usar el modelo más simple que satisfaga las necesidades. El objetivo es ayudar a tomar mejores decisiones.

Ejemplo Un distribuidor de pies (postres) desea evaluar los factores que se cree influyen en la demanda

Diagramas de Dispersión

Ejemplo:Especificación del Modelo Un distribuidor de pies (postres) desea evaluar los factores que se cree influyen en la demanda Variable dependiente: Ventas (unidades / semana) Variables independientes: Precio ($) y Publicidad ($100) Modelo de Regresión múltiple Poblacional: Ventas = β0 + β1(Precio) + β2(Publicidad) + ε

Ejemplo: Construcción o Formulación del Modelo Modelo de Regresión Múltiple (Muestral): Ventasj = b0 + b1(Precioj) + b2(Publicidadj) + errorj Modelo de Regresión Múltiple Lineal Ventas = b0 + b1(Precio) + b2(Publicidad)

Interpretación de los Coeficientes Estimados Pendientes (bi) Estiman el cambio en el valor promedio de “y” como bi unidades por cada unidad de incremento en xi manteniendo las otras variables constantes. Ejemplo: Si b1 = -20, entonces se espera que las ventas promedio (y) se reduzcan en 20 pies por semana por cada $1 en que se incremente el precio (x1), manteniendo constante la variable publicidad (x2). y-intercepto (b0) Estima el valor promedio de y cuando todas las variables xi son iguales a cero (suponiendo que el valor cero está dentro de los rangos de valores que pueden tomar los xi).

Formulación del Modelo Los datos de 15 semanas son recolectados….

Formulación del Modelo Sema-na Venta de pies Precio ($) Publicidad ($100s) 1 350 5.50 3.3 2 460 7.50 3 8.00 3.0 4 430 4.5 5 6.80 6 380 4.0 7 4.50 8 470 6.40 3.7 9 450 7.00 3.5 10 490 5.00 11 340 7.20 12 300 7.90 3.2 13 440 5.90 14 15 2.7 Modelo de Regresión Múltiple: Ventas = b0 + b1 (Precio) + b2 (Publicidad) Matriz de correlación:   Venta de pies Precio Publicidad Venta de Pies 1 -0.44327 0.55632 0.03044

Matriz de Correlación Las correlaciones entre la variable dependiente y las variables independientes seleccionadas pueden obtenerse usando Excel: Datos / Análisis de datos / Coeficiente de correlation Puede evaluar la significancia estadística de la correlación con una prueba t

Matriz de Correlación: Ventas de Pies   Ventas de pies Precio Publicidad 1 -0.44327 0.55632 0.03044 Ventas vs. Precio : r = -0.44327 Hay una asociación lineal negativa entre las ventas y el precio Ventas vs. Publicidad : r = 0.55632 Hay una asociación lineal positiva entre las ventas y la publicidad

Estimación de la Ecuación de Regresión Lineal Múltiple Programas estadísticos (computadora) son generalmente usados para generar estimados de los coeficientes y medidas de bondad de ajuste de la regresión múltiple Excel: Datos / Análisis de datos / Regresión

Estimación de la Ecuación de Regresión Lineal Multiple (continuación) Excel: Datos / Análisis de datos / Regresión

Regresión Múltiple: Excel (Resultado)

Regresión Múltiple: Excel (Resultado) (continuación) Ecuación estimada de regresión múltiple: Donde: Ventas (número de pies por semana) Precio ($) Publicidad ($100’s) b1 = -24.975: Las ven-tas decrecerán en promedio 24.975 pies por semana por cada $1 incrementado en el precio, manteniendo constante la publici-dad b2 = 74.131: Las ventas crecerán en promedio 74.131 pies por semana por cada $100 incrementado en publicidad, manteniendo cons-tante el precio

Usando el Modelo para hacer Predicciones Predecir las ventas de una semana en la cual el precio es $5.50 y la publicidad es $350. La venta pre-decida es 428.62 pies Nota: La publicidad está en $100’s, entonces x2 = 3.5 significa $350

Coeficiente de Determinación Múltiple (R2) Reporta la proporción de la variación total en y que es explicada por todas las variables (juntas) x consideradas en el modelo

Coeficiente de Determinación Múltiple (R2) (continuación) El 52.1% de la variación en las ventas es explicada por la va-riación en los precios y la publi-cidad

R2 Ajustado R2 nunca decrece cuando una nueva variable x es añadida al modelo Esto puede ser una desventaja cuando se compara modelos ¿Cuál es el efecto neto de agregar una nueva variable? Se pierde un grado de libertad cuando una nueva variable x es añadida ¿La nueva variable x aporta suficiente poder explicativo para compensar la pérdida de un grado de libertad?

R2 Ajustado (continuación) Muestra la proporción explicada de la variación en y por las variables x’s tomando en cuenta la relación entre el tamaño de muestra y el número de variables independientes (Donde n = Tamaño muestral, k = Número de variables independientes) Penaliza el uso excesivo de variables independientes no importantes Es más pequeña que el R2 Útil en la comparación entre modelos

Coeficiente de Determinación Múltiple: Excel (Resultado) El 44.2% de la variación en las ventas es explicada por la variación en los precios y la publicidad, tomando en cuenta la relación entre el tamaño de muestra y el número de variables independientes

Diagnóstico del Modelo: Prueba F (Significancia General) Prueba F para la significancia del modelo (general) Muestra si hay una relación lineal entre todas las variables x (consideradas en forma conjunta) e y Usa el estadístico de prueba F Hipótesis: H0: β1 = β2 = … = βk = 0 (No hay relación lineal) HA: Al menos un βi ≠ 0 (Existe relación lineal entre (y) y al menos un xi)

Diagnóstico del Modelo: Prueba F (Significancia General) (continuación) Estadístico de prueba: Donde: Los grados de libertad de F son: glnumerador = k gldenominador = (n – k – 1)

Diagnóstico del Modelo: Prueba F (Significancia General) (continuación) Con 2 y 12 grados de libertad Valor P para la prueba

Diagnóstico del Modelo: Prueba F (Significancia General) (continuación) H0: β1 = β2 = 0; HA: β1 o β2 es diferente de cero  = 0.05 glnumerador= 2 gldenominador = 12 Valor crítico: F0.05 = 3.885  = 0.05 F No rechazar H0 Rechazar H0 Estadístico de prueba: Decisión: Como F = 6.53 > 3.89 = F0.05 , entonces se rechaza H0 Conclusión: Hay suficiente evidencia para concluir que el modelo de regresión explica parte de la variación en la venta de pies (al menos una de las pendientes de regresión no es cero)

Diagnóstico del Modelo: ¿Las Variables Individuales son Significativas? Usar la prueba t para evaluar la significancia de cada pendiente Muestra si hay una relación lineal entre la variable xi e y Hipótesis: H0: βi = 0 (No hay relación lineal) HA: βi ≠ 0 (Existe relación lineal entre xi e y)

Diagnóstico del Modelo: ¿Las Variables Individuales son Significativas? (continuación) H0: βi = 0 (No hay relación lineal) HA: βi ≠ 0 (Existe relación lineal entre xi e y) Estadístico de prueba: (gl = n – k – 1)

Diagnóstico del Modelo: ¿Las Variables Individuales son Significativas? (continuación) El estadístico de prueba t para el Precio es -2.306 (valor p = 0.0398) El estadístico de prueba t para la Publicidad es 2.855 (valor p = 0.0145)

Diagnóstico del Modelo: ¿Las Variables Individuales son Significativas? (continuación) H0: βi = 0; HA: βi  0 a/2=0.025 a/2=0.025 g.l. = 15-2-1 = 12 = 0.05 t/2 = 2.1788 Rechazar H0 No rechazar H0 Rechazar H0 -tα/2 tα/2 -2.1788 2.1788 Excel (Resultado):   Coeficientes Error típico Estadístico t Valor p Precio -24.97509 10.83213 -2.30565 0.03979 Publicidad 74.13096 25.96732 2.85478 0.01449 Decisión: Para cada variable se rechaza H0 Conclusión: Hay evidencia suficiente para concluir que cada variable in- dividual (Precio y Publicidad) afecta a la venta de pies, dada la presencia de la otra para  =0.05

Intervalos de Confianza para las Pendientes El intervalo de confianza para la pendiente poblacional β1 (efecto sobre las ventas de pie respecto a cambios en el precio): Donde t tiene (n – k – 1) g.l. Ejemplo: Las ventas semanales de pies se reducirán entre 1.37 a 48.58 pies por cada incremento de $1 en el precio

Desviación Estándar del Modelo de Regresión La estimación de la desviación estándar del modelo de regresión está dada por: ¿Este valor es grande o pequeño? Para evaluarlo se debe comparar con el promedio de y

Desviación Estándar del Modelo de Regresión (continuación) La desviación estándar del modelo de regresión es 47.46

Desviación Estándar del Modelo de Regresión (continuación) La desviación estándar del modelo de regresión es 47.46 Un rango de predicción para las ventas de pies en una semana se puede aproximar por Considerando que el promedio muestral de pies por semana es 399.3, un error de ±94.2 pies es problablemente grande para ser aceptado. El dis-tribuidor podría querer buscar variables adiciona-les que puedan explicar más de la variación en las ventas.

Diagnóstico del Modelo: Multicolinealidad Multicolinealidad: Es la presencia de correlación entre dos variables independientes y, por lo tanto, se traslapan. Es decir, las dos variables contribuyen con información redundante al modelo de regresión múltiple.

Diagnóstico del Modelo: Multicolinealidad (continuación) Incluir dos variables independientes altamente correlacionadas puede afectar adversamente los resultados de regresión: No proporciona nueva información. Puede llevar a coeficientes inestables (error estándar grande y valores t bajos). Los signos de los coeficientes podrían no ser coherentes con nuestras expectativas iniciales y con la matriz de correlación.

Problemas e Indicios de Multicolinealidad Severa Signos incorrectos en los coeficientes. Cambio grande en el valor de un coeficiente como resultado de agregar una nueva variable al modelo. Una variable anteriormente significativa se vuelve no significativa cuando una nueva variable independiente es agregada. El estimado de la desviación estándar del modelo se incrementa cuando una variable es agregada al modelo.

Detección de Multicolinealidad (Factor de Inflación de Varianza) VIFj es usado para medir la colinealidad: R2j es el coeficiente de determinación de la regresión de la jma variable independiente contra las restantes k – 1 variables independientes Si VIFj ≥ 5, entonces xj está altamente correlacionado con las otras variables explicativas

Variables Dummy El modelo de regresión requiere el uso de variables cuantitativas de ratio ¿Cómo manejar posibles variables categóricas que frecuentemente se presentan en la explicación de una variable dependiente? Ejemplo: Género, estado civil, grado de instrucción, tipo de vecindario, etc. Variables Dummy

Variables Dummies Son usadas para incorporar variables explicati-vas categóricas al modelo de regresión: Si o no, masculino o femenino, etc.(variable dummy: 0, 1) Casado o divorciado o viudo o soltero (variables dummies: 0, 0, 1; 0, 1, 0; 1, 0, 0)

Variables Dummies El número de variables dummies requerido es (categorías – 1) por cada variable cualitativa. A veces llamadas variables indicadoras. Los interceptos de regresión son diferentes si la variable es significativa. Asume igual pendiente para las otras variables.

Variable Dummy (Dos Niveles) en un Modelo de Regresión: Ejemplo Sea: ŷ = Ventas de pies x1 = Precio x2 = Feriado (X2 = 1 si hay feriado en una semana) (X2 = 0 si no hay feriado en una semana)

Variable Dummy (Dos Niveles) en un Modelo de Regresión: Ejemplo (continuación) Feriado No Feriado Interceptos diferentes Misma pendiente y (Ventas) Si H0: β2 = 0 es rechazada, entonces Feriado tiene un efecto significativo sobre las ventas b0 + b2 Feriado b0 No Feriado x1 (Precio)

Regresión, Variable Dummy (Dos Niveles): Interpretación de Coeficientes Ejemplo: Ventas: Número de pies vendidos por semana Precio: Precio del pie en dólares Feriado: 1 Si hay feriado en una semana 0 Si no hay feriado en una semana b2 = 15: En promedio, las ventas en una semana con feriado son de 15 pies más que en una sin feriado, manteniendo el mismo precio

Regresión, Variables Dummies (Más de Dos Niveles) El número de variables dummies es una unidad menos que el número de categorías Ejemplo: y = Precio de casa ; x1 = Área (pies cuadrados) El estilo de la casa se cree que debe ser conside-rado: Estilo = Rancho, condominio, dos niveles Tres categorías, entonces se requiere dos variables dummies

Regresión, Variables Dummies (Más de Dos Niveles) (continuación) Asumamos que la categoría por defecto sea “condominio” b2 muestra el impacto sobre el precio si el estilo de la casa es rancho, comparado a un condominio b3 muestra el impacto sobre el precio si el estilo de la casa es dos niveles, comparado a un condominio

Regresión, Variables Dummies (Más de Dos Niveles): Interpretación de Coeficientes Supongamos que la ecuación estimada es: Para un condominio: x2 = x3 = 0 Con la misma área, se estima que un rancho tendrá un precio promedio de $23.53 (miles) más que un condominio. Para un rancho: x3 = 0 Con la misma área, se estima que un dos niveles tendrá un precio promedio de $18.84 (miles) más que un condominio. Para un dos niveles: x2 = 0

APLICACIÓN Ver en Groebner, Cap.15, el desarrollo del caso First City, a lo largo de todo el capítulo. Regresión múltiple básica Detección de multicolinealidad Alto R2, pero alto error estándar en la regresión Buscar disminuir el error estándar introduciendo variables adicionales: Variables dummy. Presencia de dummy disminuye error estándar, pero genera una variable sin significancia estadística. Eliminación de la variable sin significancia estadística sube ligeramente el error estándar, el cual se mantiene alto. Análisis de posibilidad de incluir nuevas variables explicativas.

APLICACIÓN: Algunas Sugerencias Básicas La regresión múltiple es un herramienta importante en la modelación de la realidad, pero es un arte y una ciencia. Modelación: definir variable dependiente y potenciales variables independientes. Generar matriz de correlaciones de las variables. Efectuar la estimación básica del modelo de regresión múltiple. Verificar R2, a través de prueba F comprobar si por lo menos una variable ayuda a explicar la variabilidad de y. Verificar significancia individual de las variables. Eliminar variables sin significancia estadística y volver a verificar R2. Si todas las variables muestran significancia estadística, ver problemas de multicolinealidad con VIF, eliminar variables con VIF de 5 o superior. Si todas las variables muestran significancia estadística y VIF < 5, seguir analizando multicolinealidad (ejemplo signo contrario al de la matriz de correlaciones). Tomar decisión. Analizar el tamaño del error estándar de la regresión y considerar la necesidad de añadir un mayor número de variables explicativas, cuidado con el R2 ajustado. Verificar supuestos del modelo de regresión múltiple.