Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz Tema 3 : ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS 1.. Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) 1.1. Ecuación del movimiento 1.2. Gráficas del MRU 2.. Movimientos con aceleración constante 2.1.Ecuación de la velocidad 2.2.Ecuación de la posición 2.3.Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) 3.. Composición de movimientos 3.1. Composición de dos MRU perpendiculares 3.2. Movimiento parabólico : Tiro horizontal 3.2. Movimiento parabólico 4.. Movimiento Circular 4.1. Movimiento Circular Uniforme (MCU) 4.2.Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (MCUA) 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 1.. Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) Es el de un móvil que recorre una trayectoria recta sin variar el valor de su velocidad. En definitiva, se mantiene constante el vector velocidad: no varía ni la dirección de la velocidad ni su módulo (su valor) tiempo 0 s 5 s 10 s 15 s 20 s velocidad 4 m/s 4 m/s 4 m/s 4 m/s 4 m/s Como no varía la dirección de la velocidad No tiene aceleración normal Como no varía el módulo de la velocidad No tiene aceleración tangencial MRU constante = 0 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 1.1.Ecuación del movimiento Rectilíneo y Uniforme La velocidad es: Como la trayectoria es rectilínea usamos un sistema de referencia unidimensional Despejando la posición final x: Posición final del móvil en el instante t Posición inicial del móvil en el instante t0 velocidad del móvil Frecuentemente el instante inicial t0 = 0 y la ecuación se reduce: 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz Ejercicio 2 de la página 45: Datos: x0 = 20 km; v = 80 km/h (constante); trayectoria rectilínea v = 80 km/h El tren tiene un movimiento rectilíneo y uniforme (MRU). O x 0 = 20 km t0 = 0 s La ecuación de este movimiento en forma escalar nos da la posición x del tren en función de la posición inicial x0, la velocidad v y el intervalo de tiempo transcurrido t – t0: Al sustituir en la ecuación, tomando t0 = 0, nos queda: x = 20 + 80 · t • Al cabo de 2 horas, la posición del tren será: x = 20 + 80 · 2 = 180 km (se encontrará a 180 km de la estación) • Para saber el instante t en que se encuentra a 260 km de la estación (x = 260 km), sustituimos en la ecuación: 260 = 20 + 80 · t y despejamos el tiempo: 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 1.1.Gráficas del Movimiento Rectilíneo y Uniforme Gráfica v– t Representa la velocidad (eje de ordenadas) frente al tiempo (eje de abcisas). Es una recta paralela al eje de abcisas, puesto que la velocidad es constante en todo momento. v v 8 t - 4 4 -8 t La velocidad es positiva: el móvil se mueve en el sentido elegido como positivo. La velocidad es negativa: el móvil se mueve en el sentido elegido como negativa. 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 1.1.Gráficas del Movimiento Rectilíneo y Uniforme Gráfica x– t Representa la posición (eje de ordenadas) frente al tiempo (eje de abcisas). Es una recta no paralela al eje de abcisas. x x x α x0 α x0 x0 O O O t t t El móvil está a una distancia x0 de O en el instante inicial. Se acerca al origen O, en el sentido elegido como negativo, llega a él y se aleja. El móvil está a una distancia x0 de O en el instante inicial. Se aleja del origen O, en el sentido elegido como positivo. El móvil está en el origen O en el instante inicial. Se aleja del origen O, en el sentido elegido como positivo. x0 = 0 La pendiente de la recta nos da la velocidad del móvil 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz Actividad 1 X (m) a) Completa la tabla: x(m) 40 t(s) 2,8 5,2 7,6 10 10 20 30 24 40 6 30 b) Calcula la velocidad en cada tramo: 20 10 2 4 6 8 10 t (s) 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 1.. Movimientos con aceleración constante En el movimiento Uniforme la velocidad permanece constante, pero en muchas ocasiones la velocidad de un móvil cambia con el tiempo, aunque su aceleración permanece constante : la velocidad cambia, pero cambia lo mismo en cada segundo, en cada unidad de tiempo. Como ejemplo de este tipo de movimiento vamos a estudiar el MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA), que es el movimiento de un móvil que recorre una trayectoria recta con aceleración constante. tiempo 0 s 5 s 10 s 15 s 20 s velocidad 4 m/s 6 m/s 8 m/s 10 m/s 12 m/s Como no varía la dirección de la velocidad No tiene aceleración normal Como varía el módulo de la velocidad Si tiene aceleración tangencial MRUA constante = 0 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 1.1.Ecuaciones del movimiento Rectilíneo y Uniformemente Acelerado Ecuación de la velocidad La aceleración es: Como la trayectoria es rectilínea usamos un sistema de referencia unidimensional Despejando la velocidad final v: Velocidad final del móvil en el instante t Velocidad inicial del móvil en el instante t0 aceleración del móvil Frecuentemente el instante inicial t0 = 0 y la ecuación se reduce: 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 1.1.Ecuaciones del movimiento Rectilíneo y Uniformemente Acelerado (Cont.) Ecuación de la posición •Como la trayectoria es rectilínea usamos un sistema de referencia unidimensional • Despejando la posición final x: • Un MRUA es un MRU cuya: • Sustituyendo en la ecuación anterior: • Frecuentemente el instante inicial t0 = 0 y la ecuación se reduce: 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 1.1.Ecuaciones del movimiento Rectilíneo y Uniformemente Acelerado (Cont.) Ecuación de la velocidad Ecuación de la posición Ecuación de la velocidad en función de la posición Se obtiene eliminando el tiempo entre las dos primeras ecuaciones 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 1.1.Gráficas del Movimiento Rectilíneo y Uniformemente Acelerado Gráfica a – t Representa la aceleración (eje de ordenadas) frente al tiempo (eje de abcisas). Es una recta paralela al eje de abcisas, puesto que la aceleración es constante en todo momento. a a t t La aceleración es positiva La aceleración es negativa Significado del signo de la aceleración: Si la aceleración tiene el mismo signo que la velocidad, AUMENTA el valor de ésta Si la aceleración tiene distinto signo que la velocidad, DISMINUYE el valor de ésta Applet Educaplus 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 1.1.Gráficas del Movimiento Rectilíneo y Uniformemente Acelerado Gráfica v – t Representa la velocidad (eje de ordenadas) frente al tiempo (eje de abcisas). Es una recta no paralela al eje de abcisas, puesto que la velocidad varía en todo momento. v v v α v0 α v0 O O O t t t La pendiente de la recta nos da la aceleración (tangencial) del móvil 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 1.1.Gráficas del Movimiento Rectilíneo y Uniformemente Acelerado Gráfica x – t Representa la posición (eje de ordenadas) frente al tiempo (eje de abcisas). Es una parábola x x x x0 x0 x0 O O O t t t x0 = 0 El móvil está a una distancia x0 de O en el instante inicial. Se aleja del origen O, en el sentido elegido como positivo y va disminuyendo su velocidad El móvil está a una distancia x0 de O en el instante inicial. Se aleja del origen O, en el sentido elegido como positivo y va aumentando su velocidad. El móvil está en el origen O en el instante inicial. Se aleja del origen O, en el sentido elegido como positivo y va aumentado su velocidad 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz Ejercicio 5 página 48 Datos: v0 = 210 km/h = 58,33 m/s; a = – 1,5 m/s2 v 0 = 58,33 m/s v = 0 m/s x · (– 1,5) · 38,92 = – O + a = – 1,5 m/s2 ·a · t2 = 0 + 58,33 · 38,9 + x0 = 0 m a) Elegimos como origen O del sistema de referencia el punto de la trayectoria donde se encuentra la moto en el instante que inicia la fase de frenado En ese instante (t0= 0 s), x0 = 0 m , la moto tiene una velocidad de 58,33 m/s y una aceleración de – 1,5 m/s2 (Tiene sentido contrario al de la velocidad, ya que disminuye el valor de esta, hasta pararse). Como la aceleración es constante (suponemos la trayectoria rectilínea), escribimos la ecuación de la velocidad para este movimiento: v = v0 + a · (t – t0) ; v = v0 + a · t ; ya que t0 = 0 s y calculamos el tiempo que tarda en parar, despejándolo de la ecuación anterior: b) Para calcular la distancia que recorre la moto hasta pararse, hallamos la posición final x de la moto la aplicando la ecuación de la posición en función del tiempo (pág. 47), con t0 = 0 s : Hacer los ejercicios 6, 7 y 8 de la página 48 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz Movimiento vertical de los cuerpos: ▪ Lanzamiento vertical hacia abajo Se trata de movimientos Rectilíneos Uniformemente Acelerados, en los que el valor de la aceleración es 9,8 m/s2. ▪ Caída libre ▪ Lanzamiento vertical hacia arriba Applet caida libre Educaplus Ejercicio 14 página 51 . Datos: h = 15 m; a = g = – 9,8 m/s2 X (m) v = 0 m/s x = 15 m Elegiremos como punto origen O del movimiento el punto de partida del balón, la acera, y sentido positivo hacia arriba. h = 15 m En este caso la aceleración del balón , a = g = – 9,8 m/s2 es negativa ya que la velocidad con la que sube es positiva y va disminuyendo su valor debido a la aceleración negativa. Tiene un MRUA. a = g = – 9,8 m/s2 + v0 = ? La posición inicial es x0 = 0 m y la final x = 15 m O x0 = 0 m – 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz a) El balón se pone en movimiento en el instante t0 = 0 con una velocidad inicial v0 y cuando llega a la posición final su velocidad es nula, v = 0 m/s + – O a = g = – 9,8 m/s2 x0 = 0 m X (m) v0 = ? h = 15 m x = 15 m Calculamos la velocidad v0 con la que el niño debe lanzar el balón desde la acera aplicando la ecuación de la velocidad en función de la posición: Eliminamos los 0: Despejamos la velocidad inicial: Y la calculamos : b) Para calcular el tiempo que tarda el balón en llegar a la ventana, aplicamos la ecuación de la velocidad en función del tiempo: v = v0 + a · t Despejamos el tiempo y sustituimos: Hacer los ejercicios 10, 12 y 13 de la página 51 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 3.. Composición de movimientos Hasta ahora hemos considerado movimientos simples en una dimensión. Sin embargo en la Naturaleza existen movimientos en dos dimensiones . Estos movimientos , a los que llamamos MOVIMIENTOS COMPUESTOS son la combinación de dos o más movimientos simples. Para estudiar estos movimientos debemos: ►Identificar la naturaleza de cada uno de los movimientos simples componentes. ►Aplicar a cada movimiento componente sus propias ecuaciones. ►La posición, la velocidad y la aceleración del movimiento resultante será LA SUMA VECTORIAL de los vectores de posición, de las velocidades y de las aceleraciones de los movimientos componentes. Veremos dos casos: 3.1. Composición de dos MRU perpendiculares 3.2. Movimiento parabólico : Tiro horizontal 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 3.1. Composición de dos MRU perpendiculares Applet Educaplus Como ejemplo veremos el movimiento de una barca que cruza un río. y (m) La barca está sometida a dos movimientos, uno el de los remos o el motor y otro el de la corriente. Orilla del río Ambos movimientos son SIMULTÁNEOS e INDEPENDIENTES anchura del río y d y Cada uno de estos movimientos es un MRU Eje X : Movimiento de la corriente (MRU) v vy x = vx · t vx x x (m) Eje Y : Movimiento de los remos (MRU) O Corriente del río Orilla del río y = vy · t La velocidad real de la barca es v (suma vectorial de vx y vy): La distancia real recorrida por la barca es d (suma vectorial de x e y): (Como los movimientos son simultáneos, el tiempo t es el mismo para ambos movimientos) 19 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 19

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz Ejercicio 17 página 55: Datos: v x = 10 m/s; v y = 12 m/s; anchura del río 150 m; y (m) Mientras la barca avanza en la dirección del eje Y impulsada por los remos o por su motor, avanza también en la dirección del eje X impulsada por la fuerza de la corriente. Ambos movimientos son simultáneos. Corriente del río y a) El movimiento de la barca en la dirección del eje Y tiene la ecuación: anchura del río y = 150 m y = vy · t (y = y0 + v y · t) v Podemos calcular el tiempo que tarda la barca en llegar a la otra orilla, despejando t de la ecuación anterior teniendo en cuenta que en el instante inicial t0 = 0 , y0 = 0: v y = 12 m/s x x (m) O v x = 10 m/s Orilla del río b) El movimiento de la barca en la dirección del eje X tiene la ecuación: x = vx · t (x = x0 + v x · t) Sustituyendo el tiempo obtenido en el apartado anterior, podemos calcular lo que se desplaza en la dirección del eje X, teniendo en cuenta que en el instante inicial t0 = 0 , x0 = 0: x = 10 ·12,5 = 125 m La distancia que recorre la barca es d: Otro modo de calcular la distancia que recorre la barca: La barca sigue la trayectoria que se indica en la figura a una velocidad v uniforme de: Como tarda 12,5 s, recorrerá una distancia 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 3.2. Movimiento parabólico : Tiro horizontal Applet parabolico Educaplus Cuando un cuerpo es lanzado horizontalmente con una velocidad v0x se encuentra sometido a dos movimientos simultáneos e independientes Uno, el horizontal, es un movimiento Rectilíneo y Uniforme (MRU) con velocidad constante v 0 x y otro, vertical, Rectilíneo y Uniformemente Acelerado (MRUA), cuya velocidad inicial es v0 y = 0 . MRU MRUA + – X Y y0 v0x vy = v v O Elegimos el sistema de referencia y el criterio de signos que se indica en la figura. Eje X: MRU ; la posición inicial x0 = 0 ; la velocidad vx = v0 x Applet horizontal Educaplus Eje Y: MRUA; la posición inicial y0 ; la velocidad inicial v0 y = 0; a = g = – 9,8 m/s2 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 3.2. Movimiento parabólico : Tiro horizontal (Cont.) MRU Y v0x = v MRUA v0x vy v v0x y0 + – vy v v0x X vy v Eje X: MRU ; la posición inicial x0 = 0 ; la velocidad vx = v0 x VER La ecuación del movimiento en este eje es: x = v0 x · t Eje Y: MRUA; la posición inicial y0 ; la velocidad inicial v0 y = 0; a = g = – 9,8 m/s2 Las ecuaciones del movimiento en este eje son: El valor de la velocidad v que tiene el móvil en cualquier instante es : 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz Eejercicios 54 de la página 65 Datos: altura 20 m; velocidad horizontal v0x = vx = 80 km/h = 22,22 m/s v0x =22,22 m/s X Y O + – MRU MRUA y0 = 20 m alcance = x v vy Elegimos el sistema de referencia (origen O) y el criterio de signos que se indica en la figura. a) La causa que hace caer al esquiador es la atracción terrestre. Por esto es el movimiento MRUA del eje vertical el que nos permite calcular el tiempo que está en el aire. Eje Y: MRUA; la posición inicial y0 = 20 m; la posición final y = 0 m; la velocidad inicial v0 y = 0; la aceleración a = g = – 9,8 m/s2 La ecuación de la posición en función del tiempo es: Si eliminamos los términos que son ceros: 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz v0x =22,22 m/s X Y O + – MRU MRUA y0 = 20 m alcance = x v vy b) El alcance que consigue el esquiador es la distancia x de la figura. El esquiador avanzará horizontalmente a una velocidad vx = v0 x = 22,22 m/s mientras esté en el aire. Eje X: MRU ; la posición inicial x0 = 0 ; la velocidad vx = v0 x = 22,22 m/s La ecuación del movimiento en este eje es: x = x0 + v0 x · t Sustituyendo nos queda: x = 0 + 22,22 · 2 = 44,44 m 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 4.. Movimiento Circular Es aquel cuya trayectoria es una circunferencia. Para su estudio introduciremos las magnitudes angulares propias de este tipo de movimiento. Las “distancias” angulares las mediremos en RADIANES Podemos hablar de la velocidad lineal v y de la velocidad angular ω del móvil: S.I. R El arco recorrido Δs en metros y el ángulo descrito Δφ en radianes se relacionan mediante el radio R de la circunferencia: Applet Walter_Fendt Dividiendo por el tiempo Δt: La velocidad lineal es igual a la velocidad angular multiplicada por el radio 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 4.1. Movimiento Circular Uniforme Es el de un móvil que recorre una trayectoria circular sin variar el valor de su velocidad. En todo momento, el móvil está sometido a una aceleración normal, que le obliga a describir la trayectoria circular R Como varía la dirección de la velocidad Si tiene aceleración normal Como no varía el módulo de la velocidad No tiene aceleración tangencial = 0 MCU constante 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz 4.1.(Cont) (Ecuación del movimiento Circular y Uniforme La velocidad angular es: Despejando la posición angular final : Posición angular final del móvil en el instante t Posición angular inicial del móvil en el instante t0 velocidad angular del móvil Frecuentemente el instante inicial t0 = 0 y la ecuación se reduce: También podemos utilizar la ecuación en función de las magnitudes lineales que obtuvimos para el movimiento rectilíneo y uniforme (MRU): Las graficas de este movimiento son las mismas que las del MRU 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz Ejercicio 23 página 59 Datos: R = 40 cm = 0,40 m; ω = 42 vueltas por minutos = 42 rpm; t = 4 minutos = 240 s; a) Como una vuelta completa son 2π rad, el ángulo descrito en 1 minuto será de 42 · 2π rad y la velocidad angular expresada en rad/s será, teniendo en cuenta que para t0 = 0 , φ0 = 0: También: b) La aceleración normal de un punto de la periferia es: (la velocidad lineal v es igual a la velocidad angular ω multiplicada por el radio de giro) c) La ecuación del movimiento circular uniforme nos permite calcular el ángulo descrito en 4 min(240 s): Como una vuelta completa son 2π rad: 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz F I N 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz Eje X: MRU ; la posición inicial x0 = 0 ; la velocidad vx = v0 x x = x0 + v0 x · t = 0 + v0 x · t x = v0 x · t Eje Y: MRUA; la posición inicial y0 ; la velocidad inicial v0 y = 0; a = g = – 9,8 m/s2 • • VOLVER 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz Sistemas de referencia En una dimensión P x O X O P1 P2 x1 X x2 VOLVER Diapositiva3 VOLVER Diapositiva10 VOLVER Diapositiva11 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz v0 = 6 m/s 8m/s 10 m/s 12 m/s v = 14 m/s MRUA t = 0 s t = 1s t = 2s t = 3 s t = 4 s 10 m/s 10 m/s 10 m/s 10 m/s 10 m/s MRU t = 0 s t = 1s t = 2s t = 3 s t = 4 s t = 5 s VOLVER 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz

Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz RADIÁN El radián es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco igual al radio de la circunferencia: R Como la longitud total de la circunferencia es: El ángulo completo de la circunferencia equivale a: La equivalencia entre grados sexagesimales y radián es: VOLVER 11/04/2017 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz