Transformaciones Geométricas Graficación IA7200-T Transformaciones Geométricas

Transformaciones Geométricas Producto Matricial Transformaciones Lineales Rotaciones Escalamiento Acizallamiento Translaciones Coordenadas Homogéneas Transformaciones Inversas Rotaciones Arbitrarias Cambio de Coordenadas Rotaciones 3D Graficación

Producto Matricial Graficación

Transformaciones Lineales Una transformación T es un mapeo Una transformación es lineal si para todos v y w (vectores) y λ (real) Si T es lineal: Graficación

Transformaciones Lineales En el espacio x-y, asociemos un punto P al vector V, tal que: T es un mapeo de puntos a puntos: Para todo punto P en x-y, donde: Graficación

Transformaciones Lineales Las TLs pueden ser escritas como un producto de matrices. Por ejemplo Se puede escribir como el producto Graficación

Transformaciones Lineales Ejemplo: Los renglones de T son las imágenes de (1,0) y (0,1) Graficación

Rotación Graficación

Escalamiento Sx=Sy=-1 Reflexión con respecto a O Sx=1, Sy=-1 Reflexión con respecto a X Sx=-1, Sy=1 Reflexión con respecto a Y Graficación

Acizallamiento Graficación

Translaciones ¿Cuál es la matriz T para translaciones? T no es lineal (i.e. T(0) = (a,b)≠0) (a,b) se llama vector de desplazamiento (shift vector) Graficación

Coordenadas Homogéneas Para combinar todas las transfomaciones vistas hasta aquí, añadimos una dimensión mas, W. La dimensión extra hace que P=(x,y) tenga toda una familia de representaciones coordenadas (wx, wy, w) w≠0. Por ejemplo, (3,6,1), (0.3,0.6,0.1), (6,12,2), (12,24,4), etc. Cuando un punto se mapea al plano W=1, se dice que está homogeneizado. Conversión: (x,y)  (x,y,1) (wx,wy,w)  (wx/w, wy/w) Graficación

Coordenadas Homogéneas Graficación

Coordenadas Homogéneas T en coordenadas homogéneas Translación Rotación Graficación

Ejercicios Dibuje un rectángulo unitario en un espacio R2 Genere una matriz T1 para una rotación de 15° Genere una matriz T2 para un escalamiento de 1.5 en x y 2 en y Genere una matriz T3 para un acizallamiento de 0.5 en la horizontal Combínelas, para formar una sola matriz T de transformación que además desplace el rectángulo por (1, 0.5) Aplique la matriz resultante al rectángulo Graficación

Ejercicios Ver Programa de Mathematica Graficación

Transformaciones Inversas Si R mapea de P a P’, la inversa mapea de P’ a P. Ej. Rotación Inversa Se debe cumplir que Graficación

Transformaciones Inversas Sin embargo, no todas las transformaciones son reversibles Ej. Una transformación que mapea de cualquier punto al eje x no lo es. La matriz no tiene inversa Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser diferente de cero Graficación

Transformaciones Inversas La matriz de transformación del mapeo Graficación

Rotación en Torno a Cualquier Punto No es lineal Puede ser descrita como un producto matricial (coordenadas homogéneas) La rotación en el punto C(Xc, Yc) en un ángulo φ se puede hacer en tres pasos: Translación al origen Rotación en el origen Translación de regreso Graficación

Rotación en Torno a Cualquier Punto Graficación

Rotación en Torno a Cualquier Punto Graficación

Rotación 3D en Torno a los Ejes Graficación

Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario Rotación en z -θ Rotación en y -φ Rotación en z α Rotación en y φ Rotación en z θ Graficación

Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario Graficación

Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario Si el punto de inicio no es el origen, sino un punto arbitrario A(a1,a2,a3) Translación de A a O La rotación R, descrita anteriormente Translación inversa de O a A Graficación

Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario Graficación