UNIDAD I Conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales Definición y terminología Teorema de existencia y unicidad Problemas de valor inicial y de frontera Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos M.C. Jesús Antonio Jashimoto Badilla

Definición y terminología Ecuación diferencial Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o más variables.

Clasificación de las EC. DIF. Las ecuaciones diferenciales las podemos clasificar de la siguiente maneras. Por su Tipo se clasifican en: Ordinarias o Parciales Por su Orden se clasifican en: Primer, Segundo, Tercer,.. Orden n Por su Grado se clasifican en: Primer grado, Segundo grado, Tercer grado,…,Grado n Por su Linealidad: Lineales y No lineales

Ecuaciones diferenciales ordinarias Las ecuaciones diferenciales ordinarias contiene derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Una variable independiente puede tomar cualquier valor, la mas común al modelar un sistema es el tiempo. Una variable dependiente, toma sus valores en relación del valor de la variable dependiente, de acuerdo a la ecuación que describa su comportamiento. Ejemplo: velocidad, aceleración, temperatura. V= 10 t + 2. Si t = 0, V = 2, Si t = 1, V = 12, el valor de V depende del valor que tome la variable, t.

Ecuaciones diferenciales parciales Las ecuaciones diferenciales parciales contienen derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes.

Orden de una ecuación diferencial El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación. Ejemplo 1: es de primer orden por que la derivada mas alta en la ecuación es: dy/dx o y’ Ejemplo2: es de segundo orden por que la derivada mas alta en la ecuación es: d2y/dx2 o y’’

Grado de una ecuación diferencial El grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que está elevada la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma polinomial. y’ = 2y –x -> 1er grado por que el exponente de y’ es 1 y’ 2 = y + x -> 2do grado por que el exponente de y’ es 2 y’ 3 = xy + 5 -> 3er grado por que el exponente de y’ es 3

Ecuación diferencial lineal ordinaria Una ecuación diferencial ordinaria lineal es una ecuación que puede ser escrita en la forma: a0(x)yn + a1(x)y(n- l) + . . + an-1(x)y’ + an(x) = F(s) Donde: La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer orden Cada coeficiente de y y sus derivadas depende solamente de la variable independiente x (puede ser constante) Si no cumple con lo anterior se considera EDO no lineal

Solución de ecuaciones diferenciales Solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad. Podemos clasificar los tipos de soluciones en: Solución General Solución Particular Solución Singular

Solución General Solución general de una ecuación diferencial es la función que contiene una o más constantes arbitrarias, obtenidas de las sucesivas integraciones. Ejemplo 1. La función y=3x2 + c1x+ c2 es solución general de la ED y’’=6, por que: La derivada de la función y=3x2 + c1x+ c2 es: y’ =6x+ c1 Y la segunda derivada es: y’’ = 6

Solución General Ejemplo 2. La función y = c1e-x + c2ex + c3e-2x + c4e2x es solución general de la ecuación diferencial: yiv – 5y’’ + 4y = 0 Por que derivando 4 veces la función y sustituyendo en la ecuación tenemos.

Solución General y = c1e-x + c2ex + c3e-2x + c4e2x (Solución) yiv = c1e-x + c2ex + 16c3e-2x + 16c4e2x Sustituyendo en la ecuación: yiv – 5y’’ + 4y = 0 yiv = c1e-x + c2ex + 16c3e-2x + 16c4e2x -5 y’’ = -5c1e-x - 5c2ex - 20c3e-2x - 20c4e2x 4y = 4c1e-x +4 c2ex +4 c3e-2x + 4c4e2x 0 = 0 0 0 0

Solución Particular y Solución Singular Solución particular de una ecuación diferencial es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico. Solución singular de una ecuación diferencial es una función cuya tangente a su gráfica en cualquier punto (x0, y0) coincide con la tangente de otra solución, pero ya no coincide con esta última tangente en ninguna vecindad del punto (x0, y0) , por pequeña que sea esta.

Solución Singular Ejemplo: Hallar la soluciones singulares, si las hay, de la ecuación diferencial: y’ 2 = 16x2 Derivando con respecto a y’, tenemos: 2y’ = 0 De donde y’ = 0; sustituyendo en la ecuación, obtenemos x=0, que es la solución singular. Las soluciones generales de dicha ecuación son: y=2x2 + c, y=-2x2 + c Donde ambas soluciones tienen una solución singular en el punto x = 0, y = 0.

Teorema de existencia y unicidad En álgebra lineal nos encontramos con tres tipos de sistemas de ecuaciones en el plano: 1) 2) 3) 1) El sistema tiene un número infinito de soluciones 2) El sistema no tiene soluciones 3) El sistema tiene una sola solución

Teorema de existencia y unicidad Las soluciones de las ecuaciones diferenciales que nos interesan son aquellas que tienen una sola forma y un único valor para ciertas condiciones iniciales. ¿Bajo qué condiciones se puede garantizar que una ecuación diferencial de primer orden tenga una y sólo una solución?

Teorema de existencia y unicidad Dada una ecuación diferencial y’ = f(x, y) Donde f(x, y) está definida en una región rectangular R que contiene al punto (X0, Y0). Si f(x, y) satisface las siguientes condiciones: A) f(x, y) es continua en R B) es continua en R, Si existe un intervalo I con centro en X0 y existe una y sólo una función y = g(x) definida en el intervalo I que satisface la condición inicial y(X0) = Y0

Problemas de valor inicial Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.

Problemas de valor inicial Ejemplo 1. Resolver la ecuación diferencial: y’ -4xy = 0 Para la condición inicial: y = 1/5, cuando x = 0, o bien brevemente: y(0) = 1/5 La ecuación puede escribirse como: dy = 4xy dx o dy/y = 4x dx

Problemas de valor inicial Integrando ambos lados de la igualdad tenemos: ln y = 2x2 + c, aplicamos exp en ambos lados de la igualdad para eliminar el ln. y = c*exp(2x2) o y = c * e2x2 Sustituyendo los valores del punto (0, 1/5), tenemos que: 1/5 = ce0 si c = 1/5 Entonces la solución particular es: y = 1/5 e2x2

Problemas de valor inicial Ejemplo 2. Resolver la siguiente ecuación diferencial: y’’ = x , para las condiciones iniciales y(-2) = 4, y’(0) = 1 Observación, se necesita igual número de condiciones iniciales que el orden de la ecuación diferencial. Integrando ambos lados de la ecuación tenemos: y’ = x2/2 + c1 Volviendo a integrar y = x3/6 + c1x + c2, es la solución general.

Problemas de valor inicial Aplicando las condiciones iniciales dadas: Para y’ y’ = x2/2 + c1 sustituyendo y’ = 1, x = 0 tenemos 1 = 0 + c1 si c1 = 1 Para y y = (x3/6) +c1x + c2 sustituyendo y = 4, x = -2, c1 = 1 tenemos 4 = -8 / 6 – 2 (1) + c2 c2 = 4/3 + 6 por lo tanto c2 = 22/3 Sustituyendo los valores de c1 y c2 en la solución general, tenemos que la solución particular es: y = (x3/6) + x + (22/3)

Problemas de frontera Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Una ecuación diferencial que describe algún proceso físico a menudo se denomina modelo matemático del proceso. Cabe señalar que incluso las ecuaciones diferenciales más simples constituyen modelos útiles de procesos físicos importantes.

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Supóngase que un objeto cae en la atmósfera cerca del nivel del mar. Se comienza por introducir letras que representan las diferentes cantidades que pueden ser de interés en el problema. El movimiento ocurre durante determinado intervalo de tiempo t Así mismo se utilizará v para representar la velocidad del objeto. Es de suponer que la velocidad cambiará con respecto al tiempo , por lo tanto v dependerá de t.

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos La ley física que rige el movimiento de los objetos es la segunda ley de Newton, a la cual establece que la masa del objeto multiplicada por su aceleración es igual a la fuerza que actúa sobre el objeto. F=ma, donde m = masa, a = aceleración, y F es la fuerza neta que se ejerce sobre el objeto. También podemos reescribir la formula como: F= m*dv/dt donde el cambio de velocidad respecto al tiempo es la aceleración. a = dv/dt

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Ahora podemos considerar las fuerzas que actúan sobre el objeto. Fuerza de gravedad Fuerza de arrastre, debida a la resistencia del viento y la velocidad del objeto mg γv

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos F = mg – γv de acuerdo a la segunda ley de Newton F = m * a nos queda ma = mg – γv y como la aceleración es igual a dv/dt La ecuación nos queda como: m dv/dt = mg – γv Si dividimos todo entre m tenemos dv/dt = g – γv/m

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Si a nuestro modelo del objeto que cae: dv/dt = g – γv/m Le ponemos valores por ejemplo, un objeto con masa m = 10 kg, y una resistencia al viento de 2kg/s, y considerando la aceleración debido a la acción de la gravedad g=9.8m/s2. Tenemos que el modelo para ese objeto es: dv/dt = 9.8 – 2v/15, o dv/dt = 9.8 – v/5

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Comportamiento de las soluciones de la ecuación. Supóngase que v tiene determinado valor. Por ejemplo: si v = 40 dv/dt = 1.8 Esto significa que la pendiente de la solución v = v(t) tiene un valor de 1.8 en cualquier punto donde v=40. Esta información se puede graficar en el plano tv trazando segmentos de rectas cortos con pendiente 1.8 en varios puntos de la recta v = 40. De igual modo para otros valores de v por ejemplo: v = 50 entonces dv/dt = -0.2

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Dicha figura es un ejemplo de lo que se denomina campo direccional o a veces campo de pendientes

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Se puede observar en el campo direccional del modelo planteado para un objeto que cae con las características de peso y resistencia al aire que si la velocidad inicial es mayor a 49 aproximadamente el objeto tenderá a disminuir su velocidad hasta alcanzar los 49m/s. Lo mismo sucede si se suelta a una velocidad menor, el objeto tendera a acelerar hasta alcanzar los 49m/s. A esta solución se le llama punto de equilibrio que es la solución que corresponde a un equilibrio entre la gravedad y el arrastre.

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Campo direccional. Los campos direccionales son valiosas herramientas para estudiar las soluciones de ecuaciones diferenciales de la forma. dy/dt = f(t,y) Donde f es una función dada de las dos variables t y y, que a veces recibe el nombre de función de razón de cambio.

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Ejemplo 2: Considere una población de ratones de campo que habitan en determinada zona rural. En ausencia de depredadores, se supone que dicha población aumenta a una razón proporcional a la población actual. Si el tiempo se denota en t y la población de ratones por p(t), entonces la suposición acerca del crecimiento poblacional puede expresarse por medio de la ecuación dp/dt = rp. Donde el factor de proporcionalidad r se denomina constante de cambio o tasa de crecimiento.

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos De manera específica, supóngase que el tiempo se mide en meses y que la constante de cambio r tiene el valor 0.5/mes. Entonces cada termino de la ecuación tiene las unidades ratones/mes. Además suponga que en el mismo territorio viven varias lechuzas, las cuales matan 15 ratones de campo al día. Para incorporar esta información en el modelo, debe agregarse otro término a la ecuación diferencial, que pasa a ser: dp/dt = 0.5p - 450

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Podemos observar que el punto de equilibrio son 900, si la cantidad de ratones es mayor que 900 la población de ratones se incrementará con el tiempo. Si la población de ratones es menor a 900 la población de ratones disminuira

Pasos para la construcción de modelos matemáticos 1.- Identificar las variables independientes y dependiente y asignar letras para representarlas. 2.- Elegir las unidades de medición para cada variable. 3.- Enunciar con claridad el principio básico que se encuentra detrás o rige el problema que se investiga 4.- Expresar el principio o ley del paso 3 en términos de las variables que se eligieron en el paso 1. 5.- Asegurarse de que cada término en la ecuación tiene las mismas unidades físicas. 6.- En los ejemplos, el modelo fue una ecuación diferencial deseada, pero el modelo puede estar formado por mas de una ecuación diferencial o por un sistema de ecuaciones.

Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales En los modelos anterior se dedujeron las ecuaciones diferenciales m(dv/dt) = mg – yv , y dp/dt = rp – k La primera ecuación modela la caída de un objeto y la segunda ecuación una población de ratones de campo que es depredada por lechuzas. Ambas ecuaciones son de la forma general dy/dt = ay –b Donde a y b son constantes dadas.

Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales Fue posible extraer algunas conclusiones cualitativas importantes acerca del comportamiento de las soluciones de las ecuaciones anteriores, considerando los campos direccionales correspondientes. Sin embargo para contestar preguntas de naturaleza cuantitativa es necesario encontrar las soluciones en sí, y ahora es momento de investigar como se hace.

Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales Considerar la ecuación dp/dt = 0.5p – 450 que describe la interacción de determinada poblaciones de ratones de campo y lechuzas. Encontrar las soluciones de esta ecuación. Para resolver la ecuación, es necesario encontrar funciones p(t) que, cuando se sustituyan en la ecuación, la reduzcan a una identidad evidente.

Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales Primero, la ecuación se rescribe en la forma dp/dt = (p – 900) / 2 Y separamos las variables dp / (p – 900) = 1/ 2 dt Integramos ambas partes Ln (p – 900) = t / 2 + c Aplicamos exponencial en ambas partes de la ecuación exp ( ln (p – 900) ) = exp ( t/2 + c)

Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales Y nos queda p – 900 = exp ( t/2 + c) Aplicando las leyes de los exponentes p – 900 = exp(t/2) * exp (c ) Como el exponencial de una constante es una constante la ecuación puede quedar p – 900 = c* exp(t/2) Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial es p = c* exp(t/2) + 900

Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales Para encontrar el valor de las constantes arbitrarias debemos conocer las condiciones iniciales. Por ejemplo: si la población inicial de ratones es 950, esto se representa como: P(0) = 950, dado que la solución de la ecuación esta en unidades de ratones con respecto al tiempo, es decir; p(t), por lo tanto en t = 0, la población de ratones es 950. Sustituyendo en la ecuación P(t) = 900 – c exp(t/2), sustituyendo 950 = 900 – c exp(0/2),

Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales Cualquier número elevado a la 0 potencia es 1, entonces la ecuación queda 950 = 900 – c Por lo tanto dada las condición inicial, el valor de la constante arbitraria es: c = 950 – 900 = 50 Y la solución particular a la ecuación diferencial es: p(t) = 900 + 50 exp(t/2) Este tipo de problemas son de valor inicial.

Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales Algunas soluciones para el modelo con diferentes condiciones iniciales P = 950, t = 0 Entonces C = 50 P = 910, t = 0 Entonces C = 10 P = 940, t = 0 Entonces C = 40 P = 930, t = 0 Entonces C = 30 P = 900, t = 0 Entonces C = 0 P = 870, t = 0 Entonces C = -30 P = 850, t = 0 Entonces C = -50 P = 860, t = 0 Entonces C = -40 P = 870, t = 0 Entonces C = -30

Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales De manera general, podemos concluir que una ecuación diferencial con la forma: dy/dt = ay – b Su solución general será y(t) = b/a – c exp(at) Donde c = y(0) – b/a Donde y(0) es la condición inicial cuando t = 0. Por ultimo es: y(t) = b/a – [ y(0) – (b/a) ]exp(at)

Resumen Definición de una ecuación diferencial Tipo de ecuaciones diferenciales Parciales / Ordinarias Orden, el de la derivada mas alta en la ec. Dif. Grado, la potencial de la derivada mas alta en la ec. dif. Lineal o No Lineal Soluciones Solución General Solución Particular Solución Singular

Resumen Concepto de Existencia y Unicidad Concepto de Problemas de Valor inicial y de Frontera Las ecuaciones diferenciales como modelos Modelado de sistemas utilizando ecuaciones diferenciales Solución de algunas ecuaciones diferenciales