Física: Repaso Matemático, Vectores y Sistemas de Referencia Dictado por: Profesor Aldo Valcarce 2do semestre 2014 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 FIS190C-2: Física para Ciencias.

Fechas de pruebas C1: Miércoles 13 de agosto (8:30 hrs cátedra) C2: Viernes 29 de agosto (14:00 hrs) I1: Lunes 8 septiembre (18:30 hrs) C3: Viernes 26 de septiembre (14:00 hrs) C4: Viernes 3 de octubre (14:00 hrs) I2: Lunes 13 octubre (18:30 hrs) C5: Viernes 24 de octubre (14:00 hrs) I3: Lunes 10 noviembre (18:30 hrs) C6: Viernes 14 de noviembre (14:00 hrs) Ex: Martes 2 diciembre (8:30 hrs) FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Repaso Matemático Notación científica: es un modo conciso de representar números mediante la técnica llamada coma flotante aplicada al sistema decimal. 10 0 =1; 10 1 =10; 10 2 =100; 10 3 =1000; 10 4 =10000 El resultado de la potencia 𝟏𝟎 𝒏 es igual a la unidad (𝟏) seguida de 𝒏 ceros. En el caso de una potencia entera negativa 𝟏𝟎 −𝒏 es igual a 𝟏/𝟏𝟎 𝒏 , o equivalentemente ‘0, 𝑛−1 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛−1 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 1’: 10 −1 =1/10=0,1; 10 −3 =1/1000=0,001; 10 −5 =1/100000=0,00001 Utilidad: Números grandes y pequeños pueden escribirse en menos espacio y es más difícil equivocarse: 15557462000000=1,557462× 10 13 0,00000000007415=7,415× 10 −11 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Repaso Matemático Notación científica – Operaciones Matemáticas Adición: se suman los coeficientes y se mantiene el exponente, por lo que siempre se debe tener el mismo exponente. Multiplicación: se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes División: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes Potenciación: se potencia el coeficiente y se multiplican los exponentes Radicación: se obtiene la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la raíz 5× 10 5 +4× 10 5 = 9×1 0 5 −8× 10 3 +3× 10 4 = −8×1 0 3 +30× 10 3 = 22× 10 3 = 2,2× 10 4 (3× 10 5 )×(4× 10 2 ) = 12×1 0 7 =1,2×1 0 8 (6× 10 3 )/(8× 10 7 ) = 0,75×1 0 −4 =7,5×1 0 −5 (5× 10 3 ) 3 = 5 3 ×1 0 3×3 =125×1 0 9 =1,25×1 0 11 3 8× 10 9 = 2×1 0 3 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Repaso Matemático Despejar variables de una ecuación Muchas de las ecuaciones típicas que se verán en clases tienen las siguientes formas: Problema: Solución: 𝐸 𝑝 =𝑚𝑔ℎ se quiere despejar ℎ Nos damos cuenta que tanto 𝑚 y 𝑔 están multiplicando ℎ, por lo cual pasan dividiendo al otro lado: ℎ= 𝐸 𝑝 𝑚𝑔 𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 +𝑎𝑡 se quiere despejar 𝑎 Sabemos que 𝑣 𝑖 que está sumando pasa al otro lado restando  𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 =𝑎𝑡 ; y ahora 𝑡 que está multiplicando pasa al otro lado dividiendo: 𝑎= 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 𝑡 𝑎 𝑐 = 𝑣 2 𝑟 se quiere despejar 𝑣 Como 𝑟 está dividiendo pasa al otro lado multiplicando  𝑎 𝑐 𝑟= 𝑣 2 ; ahora sacando la raíz cuadrada a ambos lados: 𝑣= 𝑎 𝑐 𝑟 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Repaso Matemático Despejar variables de una ecuación Muchas de las ecuaciones típicas que se verán en clases tienen las siguientes formas: Problema: Solución: 2𝑎 𝑥= 𝑣 𝑓 2 − 𝑣 𝑖 2 se quiere despejar 𝑣 𝑓 Como el término 𝑣 𝑖 2 está restando pasa al otro lado sumando  2𝑎 𝑥+ 𝑣 𝑖 2 = 𝑣 𝑓 2 ; ahora se saca la raíz cuadrada a ambos lados quedando: 𝑣 𝑓 = 2𝑎𝑥+ 𝑣 𝑖 2 𝑦=𝑣𝑡− 𝑔 2 𝑡 2 se quiere encontrar 𝑡 En este caso, como 𝑡 no se puede despejar directamente, se deberá recurrir a la ‘solución de la ecuación cuadrática’, la cual indica que si se tiene una ecuación de la forma 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0, los posibles valores de 𝑥 serán: Hay que reescribir adecuadamente esta ecuación: 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑎= 𝑔 2 ;𝑏=−𝑣;𝑐=𝑦 𝑔 2 𝑡 2 −𝑣𝑡+𝑦=0 𝑡= 𝑣± 𝑣 2 −2𝑔𝑦 𝑔 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Repaso Matemático Transformación de unidades Muchas veces en física se necesitará cambiar de unidades para lo cual se utiliza el ‘factor de conversión’, donde 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎 ×𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛=𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 Por ejemplo, se quiere cambiar 2 horas a minutos Se quiere cambiar 30 cm a metros O cambiar 120 km/hr a m/s FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Repaso Matemático Transformación de unidades Un poco más complicado es cuando se deben cambiar unidades que se encuentran elevadas a alguna potencia. Por ejemplo, cambiar un volumen de 0,4 𝑚 3 a 𝑐𝑐 (1 𝑐𝑐=1 𝑐𝑚 3 ) También se puede querer cambiar 500 𝑙 𝑏 2 𝑝𝑖𝑒 𝑠 −3 ℎ 𝑟 −1 al sistema MKS 0,4 (𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜) 3 =0,4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 × 100 𝑐𝑚 1 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 3 =0,4× 10 0 3 × 𝑐𝑚 3 =4× 10 5 𝑐𝑐 500 𝑙𝑏 2 𝑝𝑖𝑒 3 ℎ𝑟 =500 𝑙𝑏× 0,4536 𝑘𝑔 1 𝑙𝑏 2 𝑝𝑖𝑒× 0,305 𝑚 1 𝑝𝑖𝑒 3 × ℎ𝑟× 3600 𝑠 1 ℎ𝑟 =500× 0,2057 𝑘𝑔 2 0,02837 𝑚 3 ×3600 𝑠 =1,007 𝑘𝑔 2 𝑚 3 𝑠 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 FIS190C-2: Física para Ciencias.

Ejercicio Propuesto ¿Cuántas botellas de coca-cola de 200 cc se necesitan para tener un metro cúbico (1 𝑚 3 ) de coca-cola? FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Vectores y Sistemas de Referencia FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Magnitudes Físicas Escalares: definidos por un número Ej.: masa, tiempo, presión, temperatura, energía, voltaje,… Vectoriales: definidas por magnitud, dirección y sentido Ej.: fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento, campo eléctrico, campo magnético, … FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Sistemas de Referencias Un sistema de referencia (o marco de referencia) es un conjunto de convenciones usadas por un observador para poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un sistema físico y de mecánica. ¿Cómo informarle a otra persona la posición de un punto en una hoja? El punto B se encuentra en: (6 en x , 5 en y) ó (6, 5). Coordenadas Cartesianas o rectangular (x, y). FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 FIS190C-2: Física para Ciencias.

Sistemas de Referencias 2 En ocasiones es más conveniente representar un punto de acuerdo a sus coordenadas polares (r,θ). La estrella se encuentra en: (13 en r , 23° en θ) ó (13, 23°). Coordenadas Polares (r,θ). FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 FIS190C-2: Física para Ciencias.

Sistemas de Referencias 3 Las transformaciones de las coordenadas cartesianas a las polares (y viceversa) se pueden realizar usando las siguientes relaciones trigonométricas. y sen θ = 𝑦 𝑟 cos θ = 𝑥 𝑟 tan θ = 𝑦 𝑥 r = 𝑥 2 + 𝑦 2 r θ x FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014 FIS190C-2: Física para Ciencias.

A Vector Geométrico Sentido Magnitud: largo del vector Dirección FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Propiedades de vectores: Igualdad Tienen igual magnitud, dirección y sentido FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Propiedades de vectores: Suma FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ejemplo: suma de dos vectores Si una persona camina 3 metros al este y luego 4 metros al norte ¿Cuál es la distancia desde el punto inicial? ¿Cuál es la dirección? FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Suma de vectores: regla del paralelogramo La suma de dos vectores que parten desde el mismo origen es la diagonal del paralelogramo que forman sus proyecciones. FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Suma de 4 vectores FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

La suma es conmutativa FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

La suma es asociativa FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ejemplo 1 Pasos: 1.- Hacer figura. 2.- ¿Qué se busca? 3.- ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector AC ? FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Vectores: Neutro, Inverso y Resta FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ponderación: Multiplicación por un escalar FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Componentes de un vector Se definen los vectores unitarios i y j que indican la dirección en los ejes x e y, respectivamente. FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Signos de las componentes FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Componentes de un vector Se definen los vectores unitarios i y j que indican la dirección en los ejes x e y, respectivamente. Representación de los vectores que conectan los puntos: D y B: D y A: D y C: 6 𝑖 +5 𝑗 −5 𝑖 +3 𝑗 4,5 𝑖 −3,5 𝑗 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Se conocen las componentes: ¿cuáles son las magnitud y dirección? Φ θ FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Se conocen la magnitud y dirección: ¿cuáles son las componentes? En esta figura: y Entonces, usando el ángulo θ Tenemos: ϕ θ FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Base de vectores en cartesianas FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Suma de Vectores por componentes FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Suma de Vectores por componentes R = A + B FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ponderación: Multiplicación por un escalar FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ejemplo 1: continuación Pasos: 1.- Hacer figura. 2.- ¿Qué se busca? 3.- ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector AC ? FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Ejemplo 2 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014

Resumen Repaso matemático. Las magnitudes físicas pueden ser escalares o vectoriales. La posición en un plano se puede representar en el sistemas de coordenadas i) cartesianas o ii) polares. Repaso de vectores: Se pueden sumar y restar entre si. Se pueden ponderar (multiplicar por un escalar). Se pueden descomponer dependiendo del sistema de referencia. sen θ = 𝒚 𝒓 cos θ = 𝒙 𝒓 tan θ = 𝒚 𝒙 r = 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014