Métodos de Diferencias Finitas para Ecuaciones en Derivadas Parciales

Ecuaciones en Derivadas Parciales Introducción Diferencias finitas Convergencia y estabilidad Ecuaciones hiperbólicas: ecuación de Ondas Ecuaciones parabólicas: ecuación del Calor Ecuaciones elípticas: ecuación de Laplace

Auxx+Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Fu=G Introducción EDP de orden 2, lineales de coeficientes constantes. Auxx+Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Fu=G Ecuación de Ondas utt - c2uxx = 0 Ecuación del Calor ut - cuxx = 0, c>0 Ecuación de Laplace uxx + uyy = 0 Condiciones iniciales y de contorno

Diferencias finitas Discretización: EDP EDF Métodos explícitos Sencillos Inestables Métodos implícitos Más complejos Estables h ¬ ® y j+1 k y j u i,j y j - 1 x x x i - 1 i i+1

Diferencias primeras Hacia adelante Error Hacia atrás

Diferencias primeras (cont.) Diferencias simétricas Error

Diferencias segundas Diferencias simétricas Error

Convergencia y estabilidad EDP F(x,y,u)=0 Solución: EDF Gi,j(h,k,u)=0, para cada (i,j) Convergencia Consistencia Estabilidad: Control del error de redondeo Consistencia + Estabilidad Convergencia

Ecuaciones hiperbólicas Ecuación de Ondas Condiciones iniciales Condiciones de contorno Ecuación en diferencias finitas utt = c²uxx , 0 < x < L, t > 0 u(x, 0) = f(x) ut(x, 0) = g(x) u(0,t) = l(t) u(L,t) = r(t)

Ec. de Ondas: Método explícito Condiciones iniciales ui,0 = fi y ui,1 - ui,-1 = 2kgi Paso 1º ui,1 = a2 (fi-1+fi+1)/2 + (1-a2)fi + kgi Pasos siguientes ui,j+1 = a2(ui+1,j + ui-1,j) +2(1 - a2)ui,j - ui,j-1 Convergencia a £ 1

Ecuación de ondas. Método explícito. Ejemplo utt = c²uxx , 0 < x < L, t > 0 c = 1, L=T=4, nx=4, nt=8, u(x, 0) = 2|x-2| ut(x, 0) = 0 u(0,t) = 0 u(L,t) = 0 Condición de convergencia : Instante t = 0: u0,0 = f(x0) = 2  |x0  2| = 2  |0  2| = 0 = f(x4) u1,0 = f(x1) = 2  |x1  2| = 2  |1  2| = 1 = f(x3) u2,0 = f(x2) = 2  |x2  2| = 2  |2  2| = 2

Instante t=1: ui,1 = a2·(ui-1,0+ui+1,0)/2 + (1  a2)·ui,0 + k·g(xi) donde a2 = 1/4, 1  a2 = 3/4: u1,1 = (1/4)(u0,0 + u2,0)/2 + (3/4)u1,0 = (1/4)(0 + 2)/2 + (3/4)1 = 1 = u3,1 u2,1 = (1/4)(u1,0 + u3,0)/2 + (3/4)u2,0 = (1/4)(1 + 1)/2 + (3/4)2 = 7/4

Aplicando la fórmula genérica Aplicando la fórmula genérica ui,j+1 = a2·(ui-1,j + ui+1,j) + 2·(1  a2)·ui,j  ui,j1 con lo que, para t = 1 obtenemos: u1,2 = (1/4)(u0,1 + u2,1) + (3/2)u1,1  u1,0  = (1/4)(0 + 7/4) + (3/2)1  1 = 15/16 = u3,2 u2,2 = (1/4)(u1,1 + u3,1) + (3/2)u2,1  u2,0  = (1/4)(1 + 1) + (3/2)(7/4)  2 = 9/8

Procediendo análogamente x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 t = 0 0 1.0000 2.0000 1.0000 0 t = 0.5 0 1.0000 1.7500 1.0000 0 t = 1 0 0.9375 1.1250 0.9375 0 t = 1.5 0 0.6875 0.4063 0.6875 0 t = 2 0 0.1953 -0.1719 0.1953 0 t = 2.5 0 -0.4375 -0.5664 -0.4375 0 t = 3 0 -0.9932 -0.8965 -0.9932 0 t = 3.5 0 -1.2764 -1.2749 -1.2764 0 t = 4 0 -1.2401 -1.6541 -1.2401 0

Ec. de Ondas: Método implícito Idea ui,j+1 - 2ui,j + ui,j-1 = a2 [(ui+1,j+1 - 2ui,j+1 + ui-1,j+1) + (ui+1,j-1 - 2ui,j-1 + ui-1,j-1)]/2 Pasos (1+a2)ui,j+1 - a2(ui+1,j+1 + ui-1,j+1)/2 = 2ui,j + a2(ui+1,j-1 + ui-1,j-1)/2 - (1+a2)ui,j-1 Convergencia para todo a

Algoritmo del método implícito Truco ecuación implícita - a2( ui-1,j-1 + ui-1,j+1)/4 + (1 + a2)(ui,j-1 + ui,j+1)/2 - a2(ui+1,j-1 + ui+1,j+1)/4 = ui,j . Sistema Aw = v, v = (u1,j,u2,j,...,unx-1,j)' tridiagonal ui,j+1 = wi - ui,j-1 Factorización LU Lz = v Uw = z

Método implícito. Resolución del sistema Sustitución Factorización LU

x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 t = 0 0 1.0000 2.0000 1.0000 0 t = 0.5 0 1.0000 1.7500 1.0000 0 t = 1 0 0.9184 1.1837 0.9184 0 t = 1.5 0 0.6926 0.4824 0.6926 0 t = 2 0 0.2912 -0.1699 0.2912 0 t = 2.5 0 -0.2449 -0.6647 -0.2449 0 t = 3 0 -0.7996 -0.9953 -0.7996 0 t = 3.5 0 -1.2231 -1.2214 -1.2231 0 t = 4 0 -1.3966 -1.3981 -1.3966 0

Ecuaciones parabólicas Ecuación ut = cuxx, 0 < x < L, t > 0 del Calor Condición u(x, 0) = f(x) inicial Condiciones u(0, t) =T0 u(L, t) = TL de contorno Ecuación en diferencias

Ec. del Calor: Método explícito Condición inicial ui,0 = f(xi) Condiciones de contorno u0,j = T0 unx,t = TL para j>0 Pasos siguientes ui,j+1 = a(ui+1,j+ui-1,j) +(1-2a)ui,j Convergencia a £ 1/2 Óptimo a = 1/6

Ecuación del Calor. Método explícito. Ejemplo Hallar la temperatura para t = 0.3 de una barra de 1m cuyos extremos se mantienen a 20ºC y a 40ºC. La temperatura inicial de la barra es de 100ºC y el coeficiente c = 0.1. Tomar Dx = 0.2 y Dt = 0.1. Justificar la aplicabilidad del método explícito.

Ajuste de las condiciones iniciales y de contorno: Ajuste de las condiciones iniciales y de contorno: u0,0 = 60, u1,0 = u2,0 = u3,0 = u4,0 = 100, u5,0 = 70 Instante t = 0.1 u1,1 = (u0,0 + u2,0)/4 + u1,0/2 = (60+100)/4 + 100/2 = 90 u2,1 = u3,1 = 100 u4,1 = (u3,0 + u5,0)/4 + u4,0/2 = (100+70)/4 + 100/2 = 92.5

Instante t = 0.2 : u1,2 = 75 u2,2 = 97.5 u3,2 = 98.125 u4,2 = 81.25 Instante t = 0.3: u1,3 = 66.875 u2,3 = 92.0313 u3,3 = 93.75 u4,3 = 75.1563

Ec. del Calor: Método implícito Idea: Diferencias hacia atrás Pasos (1+2a)ui,j - a(ui-1,j + ui+1,j) = ui,j-1 Convergencia para todo a

Ecuación del Calor. Método implícito Se verifica la condición de convergencia : a = 1/4 < 1/2 Diagonal principal: 1 + 2a = 3/2, Diagonales contiguas a = 1/4. Para t = 0.1:

Valores obtenidos por este método:. x = 0. 2 x = 0. 4. x = 0. 6 x = 0 Valores obtenidos por este método: x = 0.2 x = 0. 4 x = 0.6 x = 0.8 t = 0.1 86.2237 97.3423 97.8301 89.6384 t = 0.2 76.3776 93.3707 94.4771 82.1718 t = 0.3 69.0598 88.8487 90.5494 76.5394

Método de Crank-Nicholson Idea: media de diferencias centrales ui,j+1 - ui,j = a [(ui+1,j+1 - 2ui,j+1 + ui-1,j+1) + (ui+1,j - 2ui,j + ui-1,j)] /2 Pasos 2(1+a)ui,j+1 - a(ui+1,j+1 + ui-1,j+1) = 2(1-a)ui,j + a(ui+1,j + ui-1,j) Convergencia para todo a

Ecuación del Calor. Método de Crank-Nicholson Matriz del sistema: Término independiente del primer paso:

Valores obtenidos por Crank-Nicholson:. x = 0. 2 x = 0. 4. x = 0 Valores obtenidos por Crank-Nicholson: x = 0.2 x = 0.4 x = 0.6 x = 0.8 t = 0.1 87.8683 98.6826 98.9578 90.8958 t = 0.2 76.0999 95.1069 96.0470 82.0380 t = 0.3 68.2003 90.2963 91.9748 76.0250

Ecuaciones elípticas Ecuación de Laplace uxx + uyy = 0, 0 < x < a, 0 < y <b Condiciones de contorno u(x,0), u(x,b), u(0,y), u(a,y) Discretización

Ecuación de Laplace Ecuación en diferencias: a=k/h a2(ui-1,j + ui+1,j) + ui,j-1 + ui,j+1 - 2(a2+1)ui,j = 0 Matriz del sistema: grande , dispersa Caso h = k : ui-1,j + ui+1,j + ui,j-1 + ui,j+1 = 4ui,j

Ec. de Laplace: Métodos iterativos Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Criterio de parada

Método de Sobrerrelajación Idea: ponderar el desplazamiento de Gauss-Seidel Pasos Si w = 1 coincide con Gauss-Seidel

Ecuación de Laplace. Ejemplo uxx+ uyy=0, 0 < x < 1 0 < y < 1, n=4 m=4, u(x, 0) = 0 u (x, 1) = 100x u(0, y) = 0 u(1, y) = 100y e = 0.01 Ajuste de las condiciones de contorno:

Método de Jacobi. Iteraciones: 8 Operaciones en coma flotante: 1142

Método de Gauss-Seidel. Iteraciones: 11 Operaciones en coma flotante: 1378

Método de Sobrerrelajación. Factor de relajación: w = 1.2 Iteraciones: 8 Operaciones en coma flotante: 1802

Algoritmos iterativos por bloques Iteración por bloques fila Para j = 1, 2, … , m-1, resolver el sistema Iteración por bloques columna Método implícito de direcciones alternadas

Método de Direcciones Alternadas. Iteraciones: 5 Operaciones en coma flotante: 1468

Errores máximos. Solución: u(x,y) = x·y

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