E.T.S. DE INGENIEROS DE MINAS ASIGNATURA DIBUJO TÉCNICO Y SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN I Homología Ejercicios de autoaprendizaje Realizado por: Luis J. Fernández Gutiérrez del Álamo luije@dermos.upm.es

AYUDA FIN HOMOLOGÍA TEMA 1. –DEFINICIÓN DE HOMOLOGÍA TEMA 2. –DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS (PUNTO, RECTA) TEMA 3. –DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS DE LA HOMOLOGÍA (CENTRO, RECTAS LIMITE, EJE) TEMA 4. –DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS (CASOS SINGULARES) AYUDA FIN

INTRODUCCIÓN A LA HOMOLOGÍA TEMA 1 1.1 ELEMENTOS Y CONDICIONES DE UNA HOMOLOGÍA Volver AYUDA FIN

DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS TEMA 2 2.1 HOMÓLOGO DE UN PUNTO A DADO HOMÓLOGO DE UN PUNTO A’ DADO 2.2 2.3 HOMÓLOGA DE UNA RECTA R DADA HOMÓLOGA DE UNA RECTA R’ DADA 2.4 Volver AYUDA FIN

DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS DE LA HOMOLOGÍA TEMA 3 3.1 DETERMINACIÓN DE LA RECTA LÍMITE K’ DETERMINACIÓN DE LA RECTA LÍMITE L 3.2 3.3 DETERMINACIÓN DEL EJE Volver AYUDA FIN

DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS TEMA 4 TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN... RECTÁNGULO 4.3 4.1 TRAPECIO PARALELOGRAMO 4.2 CUADRADO 4.5 4.4 ROMBO LA FIGURA HOMÓLOGA TIENE... EJEMPLO 4.6 UN ÁNGULO DADO 4.7 UNAS DIMENSIONES DADAS CUADRILÁTERO EN CUADRADO DE DIMENSIONES DADAS TRAPECIO EN CUADRADO DE DIMENSIONES DADAS Volver AYUDA FIN

DEFINICIÓN DE HOMOLOGÍA Lección: 1.1 ELEMENTOS Y CONDICIONES DE UNA HOMOLOGÍA Centro de homología : V 1.- Todo par de puntos homólogos (a,a') está alineado con el centro de la homología (V) mediante su radiovector V Eje de la homología : E 2.- Todo par de rectas homologas (r,r') se cortan en el eje de la homología (E) m L a m' Recta límite de la primera figura : L n' K' 3.- Los puntos del infinito (m') de la segunda figura (r') tienen sus homólogos (m) en la recta límite L r' r E Recta límite de la segunda figura : K' 3.- Los puntos del infinito (n) de la primera figura (r) tienen sus homólogos (n') en la recta límite K' n n a' Siempre se cumple que d(V,L)=d(E,K') y d(V,K')=d(E,L) m' Volver FIN

DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS Lección: 2.1 HOMÓLOGO DE UN PUNTO A DADO Dado el punto A hallar su homólogo A’ 1.- Se traza una recta R cualquiera, que pase por A. V 2.- Se prolonga hasta cortar al eje en el punto b (coincide con b’ al ser punto doble por estar en el eje) m L 3.- Se prolonga hasta cortar a la recta límite L en el punto m (m’ estará en el infinito del radiovector de m) a m' 4.- Si la recta R pasa por m y por b, su homologa R’ pasará por b’ y por m’. Se dibuja R’ paralela al radiovector de m, desde el punto b’ K' r 5.- Los puntos homólogos están alineados con el centro de la homología, luego uniendo V con A, donde corte a R’ estará a’. b E b’ r' a' m' Volver FIN

DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS Lección: 2.2 HOMÓLOGO DE UN PUNTO A’ DADO Dado el punto A’ hallar su homólogo A V 1.- Se traza una recta R’ cualquiera, que pase por A’ 2.- Se determina el punto b’ donde corte al eje (coincide con b al ser punto doble por estar en el eje) L r’ 3.- Se determina el punto m’ donde corte a su recta límite K’ (m estará en el infinito en el radiovector de m’) m’ K' 4.- Si la recta R’ pasa por m’ y por b’, su homologa R pasará por b y por m. Se dibuja R, paralela al radiovector de m’, desde el punto b. a’ b’ E b 5.- Los puntos homólogos están alineados con el centro de la homología, luego uniendo V con A’, donde corte a R estará a. r m a Volver FIN m

DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS Lección: 2.3 HOMÓLOGA DE UNA RECTA R DADA Dada la recta R hallar su homóloga R’ 1.- Se prolonga la recta R hasta el eje. V 2.- El punto b, de corte con el eje, es punto doble (coincide con b’) m L 3.- Se prolonga la recta R hasta cortar a la recta límite L en el punto m (m’ estará en el infinito en el radiovector de m) m' K' r b E 4.- Si la recta R pasa por m y por b, su homologa R’ pasará por b’ y por m’. Se dibuja R’ paralela al radiovector de M desde el punto b’ b’ r' m' Volver FIN

DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS HOMÓLOGOS Lección: 2.4 HOMÓLOGA DE UNA RECTA R’ DADA Dada laq recta R’ hallar su homóloga R V 1.- Se prolonga la recta R’ hasta el eje 2.- El punto b’, de corte con el eje, es punto doble (coincide con b) L 3.- Se determina el punto m’ donde R’ corte a su recta límite K’ (m estará en el infinito del radiovector de m’) m’ K' r’ 4.- Si la recta R’ pasa por m’ y por b’, su homologa R pasará por b y por m. Se dibuja R paralela al radiovector de m’, desde el punto b b’ E b r m m Volver FIN

DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS DE LA HOMOLOGÍA Lección: 3.1 DETERMINACION DE LA RECTA LÍMITE K’ Dados el eje, el vértice y la recta límite L, determinar la recta límite K’ 1.- Se traza una recta r cualquiera que corte al eje y a la recta límite L V 2.- El punto b, de corte con el eje, es punto doble (coincide con b’) m L 3.- El punto m, de corte con L, tiene su homólogo en el infinito (m’ estará en el infinito del radiovector de m) m' n’ K' 4.- Se dibuja por b’ la recta r’, paralela al radiovector de m r 5.- Se determina n, punto del infinito de r b E b’ 6.- Se dibuja el radiovector de n (paralela a r desde V), en el cual deberá estar n’, cuando se corte con r’. n r' 7.- En punto n’ pertenece a la recta límite K’ n m' Volver FIN

DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS DE LA HOMOLOGÍA Lección: 3.2 DETERMINACION DE LA RECTA LÍMITE L Dados el eje, el vértice y la recta límite K’, determinar la recta límite L 1.- Se traza una recta r’ cualquiera que corte al eje y a la recta límite K’ V 2.- El punto b’, de corte con el eje, es punto doble (coincide con b) m L 3.- El punto n’, de corte con K’, tiene su homólogo en el infinito (n estará en el infinito del radiovector de n’) m' n’ K' 4.- Se dibuja por b la recta r, paralela al radiovector de n’ r 5.- Se determina m’, punto del infinito de r’ b E b’ 6.- Se dibuja el radiovector de m’ (paralela a r’ desde V), en el cual deberá estar m, cuando se corte con r. n r' 7.- En punto m pertenece a la recta límite L n m' Volver FIN

DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS DE LA HOMOLOGÍA Lección: 3.3 DETERMINACION DEL EJE Dados el vértice y las dos rectas límite, determinar el eje 1.- Se traza una recta r cualquiera que corte a la recta límite L V 2.- Se determina m, punto de corte con L (su homologo m’ estará en el infinito) m L 3.- Se determina n, punto del infinito de r, y se traza su radiovector (paralela a r desde V) r m' n’ K' 4.- El homologo de n, punto n’, estará en el radiovector de n y en la recta limite K’ E 5.- Se une n’ con m’, trazando desde n’ una paralela al radiovector de m, determinando así la homologa r’. n r' 6.- Donde se corten las rectas r y r’ será un punto doble (pertenecerá al eje) n m' Volver FIN

DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS Lección: 4.1 TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN TRAPECIO En un trapecio, los dos lados opuestos denominados bases, son paralelos 1.- Si A’B’ y C’D’ van a ser la bases, serán paralelas, luego AB y CD deben cortarse en la recta límite L. e L 2.- Se prolongan AB y CD hasta encontrar un punto E. 3.- Cualquier homología que tenga la recta límite L pasando por el punto E, será solución. a d b c Volver FIN

DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS Lección: 4.2 TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN PARALELOGRAMO En un paralelogramo los lados son paralelos dos a dos L f 1.- En el paralelogramo homólogo A’B‘ y C’D’ serán paralelas, luego AB y CD deben cortarse en L. e 2.- Se prolongan AB y CD hasta encontrar un punto E, que pertenecerá a L 3.- En el paralelogramo homólogo A’D‘ y B’C’ serán paralelas, luego AD y BC deben cortarse en L. a 4.- Se prolongan AD y BC hasta encontrar el punto F, perteneciente a L. d b 5.- Se unen E y F, determinando L. 6.- Cualquier homología que tenga esta recta como recta límite L , será solución. c Volver FIN

DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS Lección: 4.3 TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN RECTÁNGULO Un rectángulo es un paralelogramo, con los lados contiguos a 90º Una de las soluciones posibles V L f 1.- Se determina L como en el caso anterior e 2.- Cualquier homología que utilice esta recta como recta límite L, trasformará ABCD en un paralelogramo 3.- Se dibujar el arco capaz de 90º del segmento EF (circunferencia con diámetro EF y centro el punto medio) a d b 4.- Cualquier homología que tenga el centro V en dicha circunferencia y la recta límite L sea la dada , será solución. c Volver FIN

DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS Lección: 4.4 TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN ROMBO Un rombo es un paralelogramo, con las diagonales a 90º Una de las soluciones posibles V L f 1.- Se determina L como en el caso anterior m e 2.- Cualquier homología que utilice esta recta como recta límite L, trasformará ABCD en un paralelogramo 3.- Se prolongan las diagonales AC y DB hasta la recta límite L (determinando M y N). n a 4.- Se dibujar el arco capaz de 90º del segmento MN (circunferencia con diámetro MN y centro el punto medio) d b 5.- Cualquier homología que tenga el centro V en dicha circunferencia y la recta límite L sea la dada , será solución. Volver FIN c

DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS Lección: 4.5 TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN CUADRADO Un cuadrado es un paralelogramo, con los lados contiguos a 90º y con las diagonales a 90º Las dos soluciones posibles V L f 1.- Se determina L como en el caso anterior m e 2.- Cualquier homología que utilice esta recta como recta límite L, trasformará ABCD en un paralelogramo n a V 3.- Si además V está en el circulo EF, será un rectángulo. d 3.- Si además V está en el circulo MN tendrá las diagonales a 90º. b 4.- Cualquier homología que tenga el centro V en uno de los dos puntos comunes a ambos círculos y la recta límite L sea la dada , será solución. Volver FIN c

DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS Lección: 4.6 LA FIGURA HOMÓLOGA TIENE UN ÁNGULO DADO Una de las soluciones posibles V Se quiere que el ángulo C’A’B’ sea de  grados 1.- Se prolonga BA hasta determinar E en la recta límite L L f 2.- Se prolonga CA hasta determinar F en la recta límite L e 3.- Si determina los arcos capaces de  grados del segmento EF a 4.- Cualquier homología que tenga el centro V en uno de los dos arcos capaces y como recta límite L la dada , será solución. c b Volver FIN

DETERMINACIÓN DE HOMOLOGÍAS Lección: 4.7 LA FIGURA HOMÓLOGA TIENE UNAS DIMENSIONES DADAS Determinar el eje para que A’D’ mida una longitud D D 1.- Se prolonga AB hasta L, determinando F. V L f 2.- Se dibujan los radiovectores de VA y VB (en ellos estarán A’ y B’ respectivamente). f’ 3.- Se dibuja el radiovector VF (en el infinito de él estará F’). A’B’ será paralelo a él. a 4.- Desde V, sobre VF, se lleva la distancia D. b 5.- Desde el extremo de la distancia D, se lleva una paralela a VB Eje 6.- Donde corte a VA estará A’. 7.- Desde A’ se traza una paralela a VF, encontrando B’ en VB. 8.- Por donde se corten AB y A’B’ pasará el eje, paralelo a la recta límite L. b’ a’ Volver FIN

TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN CUADRADO DE LADO D EJEMPLO Ejemplo: 1 TRANSFORMA UN CUADRILÁTERO ABCD EN UN CUADRADO DE LADO D Determinar la homología que transforma el cuadrilátero ABCD en un cuadrado de lado D. De las soluciones posibles se tomará el centro más cercano al borde superior D V L 1.- Se prolongan AB y CD para determinar E, y se prolongan AD y BC para determinar F. La recta límite L será la recta EF f m e 2.- Se dibujan los arcos capaces de 90º del segmento EF 3.- Se prolongan las diagonales AC y BD para determinar M y N en la recta limite L. n 4.- Se dibujan los arcos capaces de 90º del segmento MN a K’ 5.- De los dos puntos de intersección entre ambos arcos, se toma el más cercano al borde superior. d 6.-Se lleva la distancia D sobre VF (VF será paralela a A’D’ y a B’C’) b Eje c’ 7.-Desde el extremo de la distancia D se lleva paralela a VD, localizando A’ cuando se corte con VA b’ 8.-Por A’ paralela a VF y en VD estará D’. Por A’ paralela a VE y en VB estará B’ . Por paralelas se localiza C’ en VC d’ 9.-El eje pasa por donde se cortan CD y C’D’ y es paralelo a L a’ 10.-Por V, paralela a BC hasta cortar a B’C’, determina K’ Volver FIN c

TRANSFORMA UN TRAPECIO ABCD EN UN CUADRADO EJEMPLO Ejemplo: 2 TRANSFORMA UN TRAPECIO ABCD EN UN CUADRADO Determinar la homología que transforma el trapecio ABCD en un cuadrado de lado D. De las soluciones posibles se tomará el centro más cercano al borde superior D K’ 1.- Se prolongan AD y BC para determinar E. La recta límite L pasara por E y será paralela a AB y a CD. (Debe pasar por F, intersección impropia entre AB y CD) f V L 2.- Trazando AC y BD se determinan M y N en L. Se dibuja su arco capaz de 90º. n Eje 3.- Se traza la perpendicular a L desde E (es el arco capaz de 90º entre E y F, impropio en el extremo de L), determinando V donde se corta con el arco capaz de EF f e c’ b 4.- Los lados A’B’ y C’D’ serán paralelos a L.. En esa dirección se lleva la distancia D, desde V. c a m d’ 5.- Se encaja A’B’ y por paralelas se determinan C’ y D’ 6.- Donde se corten AD y A’D’ se localiza en punto del eje d b’ 7.- Paralela a AD por V, donde se corte con A’D’ se tiene un punto de K’ a’ Volver FIN

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