Calcular el cero del polinomio de orden 3 que pasa por los puntos siguientes: El polinomio de interpolación será de la forma: donde las ai son los coeficientes a calcular a partir del siguiente sistema, que se obtiene al obligar a que el polinomio pase por los puntos dados:

Resolviendo el sistema mediante la regla de Cramer:

le sumamos la 2ª fila le sumamos la 1ª columna multiplicada por 2

les sumamos la 2ª columna le sumamos la 1ª columna multiplicada por 2

le sumamos la 2ª fila le sumamos la 1ª columna multiplicada por 2

les sumamos la 2ª columna Luego: y el polinomio de interpolación es:

Observando nuevamente los puntos de interpolación: se ve que y(x) experimenta un cambio de signo, es decir,tiene un cero entre x1 = 0 y x2 = 1. Por tanto un punto inicial adecuado para el método de Newton podría ser x = 0.5: Si tomamos: tiene los mismos ceros que:

Se tiene la función y(x) definida de forma implícita mediante la expresión: Calcular y(0.9). Se comprueba que cuando x = 1, y = 1; luego ese puede ser un buen punto de partida para el método de Newton con la función siguiente:

Conociendo la expresión del polinomio de Legendre de 4º orden: calcular mediante la cuadratura de Gauss-Legendre (sin ayuda de los datos tabulados) con 4 puntos (n=3) la siguiente integral: Primeramente tenemos que calcular los ceros del polinomio. Si usamos el método de Newton con: partiendo del punto:

Por tanto, dos raíces del polinomio serán: ± 0.33981 Para encontrar los otros dos ceros podemos tomar como nuevo punto de partida en el método de Newton el punto x0 = 1:

Por tanto, las otras dos raíces del polinomio serán: ± 0.861136 A continuación tendríamos que calcular los factores de peso, wi, correspondientes a estas raíces:

Haciendo la cuadratura de Gauss-Legendre y tomando n = 3 (4 puntos): ¡¡¡EN RADIANES!!! Sin embargo, este resultado no es una buena aproximación como puede comprobarse en el siguiente ejercicio.

Calcular mediante la cuadratura de Gauss-Legendre con 6 puntos (n=5) la siguiente integral. Hacerlo también mediante Simpson con un h = 1/8 : Gauss-Legendre: ¡¡¡EN RADIANES!!!

Simpson: h = 1/8 (17 puntos): ¡¡¡EN RADIANES!!!

Calcular los tres primeros polinomios ortonormales con respecto al producto escalar ordinario de funciones definidas en el intervalo (0,1). El producto escalar ordinario de funciones para este intervalo se define del siguiente modo: Luego podemos escoger:

Se debe cumplir que: , luego:

Se debe cumplir que:

También podríamos haber resuelto el ejercicio alternativamente del siguiente modo: Sabemos que los tres primeros polinomios de Legendre son: y que estos son polinomios ortogonales en el intervalo (-1,1). Por tanto, si les aplicamos el cambio de variable correspondiente para ir de (-1,1) a (0,1). Obtendríamos unos nuevos polinomios que serían ortogonales en el nuevo intervalo (0,1), y ya sólo nos quedaría normalizarlos. El cambio de variable de x  (-1,1) a y  (0,1)viene dado por:

Una vez obtenidos los polinomios ortogonales en el intervalo (0,1), p0(y), p1(y) y p2(y), si ahora queremos los correspondientes polinomios ortonormales sólo tenemos que dividirlos por el valor de sus normas:

Con lo que obtenemos el mismo resultado que con el procedimiento anterior:

Utilizar el teorema de convolución para calcular la antitransformada de Fourier de la siguiente función: Tenemos que calcular la antitransformada:

y, llamando: Antitransformada de Fourier nos queda que: Teorema de convolución

Por tanto, la integral de convolución de g(t) consigo misma queda: donde

Luego:

Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función: La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:

Luego:

Una variable aleatoria continua, x, obedece a una distribución normal (o gaussiana) de acuerdo a la siguiente expresión: Si s = 5 y x0 = 25, calcular la probabilidad de obtener un resultado menor o igual a 20: Sustituyendo los valores la distribución de probabilidad queda: La probabilidad de obtener un resultado menor o igual a 20 será:

Si queremos integrar por cuadraturas tenemos que pasar del intervalo (y ≤ 1)

Representar gráficamente la función f(x)= exp(x)-5x Pero luego tiene que haber al menos dos ceros, que podemos encontrar mediante el método de Newton, tomando como puntos iniciales, uno a la izquierda de x = ln5 y otro a su derecha:

Calcular la serie de Fourier de la función g(x)=|x| en la base ortogonal {exp(inpx)/√2p} definida en el intervalo (-1,1).

l ≠ 0

Si queremos pasar a la base de senos y cosenos:

Calcular la raíz cúbica (real) de 25 con una aproximación de tres decimales.

Calcular la parte real de la serie de Fourier de la función g(x)= exp[(2+i)x] definida en el intervalo (-p,p).

Utilizar el método de Runge-Kutta con el problema siguiente para calcular la solución aproximada en x = 1.2 y x =1.4, usando un h=0.1: Teniendo en cuenta que la solución analítica es y = exp(x2-1), evaluar los errores absolutos y relativos cometidos. h = 0.1:

Sea la siguiente función, f(x): a) Calcular la serie de Fourier de esta función en el intervalo (0,2) tanto en función de exponenciales complejas como de senos y cosenos. b)Representar la función correspondiente a la serie en el intervalo (-2,6).

l ≠ 0

j impar j≠0 j impar j impar

Calcular mediante el procedimiento de Simpson y de los trapecios (con 7 puntos en ambos casos) y mediante cuadratura de Gauss-Legendre con los valores de la tabla correspondientes a 4 puntos (n = 3) el valor de la siguiente integral: Si tomamos h = 1/2 (7 puntos): Por trapecios:

Por Simpson:

Con la cuadratura de Gauss-Legendre y tomando n=3 (4 puntos):

Encontrar las soluciones aproximadas del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de primer grado mediante el método de Euler modificado para t<1 con un intervalo de 0.1:

En una población de 1000 habitantes, uno contrae un virus contagioso En una población de 1000 habitantes, uno contrae un virus contagioso. Si al día siguiente hay 3 infectados , ¿cuántos serán los afectados al cabo de una semana? h = 1/7:

Luego, transcurrida una semana, están todos enfermos.

Calcular los ceros del siguiente sistema en el entorno de x = 2, y =3, z=8: El enunciado anterior es equivalente al siguiente: Calcular los ceros del siguiente sistema en el entorno de x = 2, y =3:

Calcular los ceros del siguiente sistema en el entorno de x = 2, y =3: ¡¡¡EN RADIANES!!!

Cuando se combinan dos sustancias, A y B, se forma un compuesto C. La reacción es tal que, por cada gramo de A se usan 4 gramos de B. Se observa que, transcurrido un minuto se han formado 6 gramos de C. Si la velocidad de reacción es proporcional a las cantidades de A y B que quedan y, al principio hay 50 gramos de A y 32 gramos de B, ¿qué cantidad de compuesto C habrá a los 10 minutos del inicio de la reacción? Si llamamos C(t) a los gramos de compuesto C que se crean en t minutos y A(t) y B(t) a los gramos de compuestos A y B que se descomponen en el mismo tiempo, entonces tenemos que:

Con lo cuál queda que: o, equivalentemente: y la ecuación diferencial ordinaria de primer grado a resolver es : donde k es una constante cuyo valor debemos calcular.

Si empleamos el método de Euler simple para aproximar numéricamente las soluciones: h = 1: y, una vez calculada la constante k, podemos seguir iterando para encontrar las soluciones aproximadas a otros tiempos:

El teorema de los números primos establece que el número de primos en el intervalo a < x < b es aproximadamente igual a: Compárese el número de primos mayores que 100 y menores que 200 obtenidos con esta aproximación con el valor exacto. Con la cuadratura de Gauss-Legendre y tomando n=3 (4 puntos):

Sin embargo, el número correcto de primos mayores que 100 y menores que 200 es 21.

Utilizar el método de Runge-Kutta con el problema siguiente para calcular el valor aproximado de p, usando un h=0.5 y evaluar los errores absolutos y relativos cometidos : La ecuación diferencial se puede integrar de forma exacta:

Luego, para aproximar el número p, tenemos que calcular cuánto vale y(x) en x=1: h = 0.5:

Calcular mediante el procedimiento de Simpson y de los trapecios (con 9 puntos en ambos casos) y mediante cuadratura de Gauss-Legendre con los valores de la tabla correspondientes a 4 puntos (n = 3) el valor de la siguiente integral: Si tomamos h = 1/4 (9 puntos): Por trapecios:

Por Simpson:

Con la cuadratura de Gauss-Legendre y tomando n=3 (4 puntos):

Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:

Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:

Calcular la transformada de Fourier del producto de convolución de las siguientes funciones:

El producto de convolución de las funciones f(t) y g(t) es: es decir que el producto de convolución de f(t) y g(t) son dos funciones pulso de anchura a-b centradas en (a+b)/2 y -(a+b)/2 cuya gráfica es la siguiente:

y cuya transformada de Fourier calculamos en el ejercicio anterior:

Una forma alternativa para calcular la transformada de Fourier del producto de convolución de f(t) y g(t) es usar el teorema de convolución, según el cuál, la transformada de Fourier del producto de convolución de f(t) y g(t) es igual al producto de las transformadas de Fourier respectivas de f(t) y g(t):

Calculamos la transformada de Fourier de g(t):

que coincide con la transformada que habíamos calculado del otro modo.

Mediante la tabla siguiente, obtener una aproximación numérica de la derivada segunda en x0 utilizando los valores tabulados de x1, x2 y x3: A continuación, se pide lo mismo, es decir, obtener una aproximación numérica de la derivada segunda en x0 pero ahora mediante el polinomio de interpolación que pase por los cuatro puntos. Razonar la comparación entre ambos resultados.

Primeramente se nos pide obtener una aproximación de la derivada segunda en un punto xn de una tabla equiespaciada a partir de los valores en xn+1, xn+2 y xn+3: Nuestro objetivo es encontrar los coeficientes a, b y c tales que:

luego los coeficientes a, b y c tendrán que verificar que:

Por tanto:

A continuación, tenemos que calcular el polinomio de interpolación que pasa por los puntos siguientes: El polinomio de interpolación será de la forma: donde las ai son los coeficientes a calcular a partir del siguiente sistema, que se obtiene al obligar a que el polinomio pase por los puntos dados:

El polinomio de interpolación será de la forma: Con lo cuál la derivada segunda en x0 (encualquier punto, en realidad) es: Que es, exactamente, el resultado que habíamos obtenido. Ello se debe a que:

Utilizar el algoritmo de la serie de Taylor para obtener una solución aproximada de la siguiente ecuación diferencial:

Por tanto, haciendo las sustituciones oportunas: la solución puede escribirse como:

Resolver la siguiente ecuación: Lo anterior equivale a encontrar el cero de la siguiente función:

Utilizar el método de Picard con el problema siguiente:

Calcular la serie de Fourier en el intervalo (-p, p) de la siguiente función: Tenemos que calcular los al y los bl de la siguiente serie: como el intervalo es el (- p, p):

n ≠ 0 n ≠ 1

n ≠ 1, 0

n ≠ 1

Comprobar que el número p puede escribirse en la forma siguiente: Ayuda: utilizar el desarrollo de Fourier que habíamos obtenido para la función de Heaviside:

Si calculamos la norma al cuadrado del vector h(x), es decir, el producto de escalar de esa función por sí misma: Pero la norma al cuadrado del vector h(x), la podríamos calcular también del siguiente modo:

Como teníamos de antes que:

Emplear el método de Runge-Kutta para aproximar q(0.1) y q(0.1) a partir de la siguiente ecuación diferencial ordinaria de segundo orden: sujeta a las condiciones: Podemos escribir un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer grado, equivalente a lo anterior:

h = 0.1 ¡¡¡EN RADIANES!!!