Simetrías

Simetría bilateral El hombre y los animales superiores poseen simetría de reflexión o bilateral Los espejos cambian nuestro lado derecho por el izquierdo y viceversa. ¿Por qué los espejos no cambian los pies por la cabeza?

La simetría rotatoria abunda en la naturaleza

La simetría en el arte de la decoración

Los grupos miden las simetrías Los artesanos y decoradores de templos alfombras y vasijas de todas las épocas y culturas, jamás imaginaron que estaban empleando en sus creaciones una de las herramientas más moderna, abstracta y sofisticada de toda la matemática: la Teoría de Grupos

Los 17 grupos de simetría en el plano Toda decoración simétrica del plano consiste de una celda básica o patrón que se repite infinitamente. En este proceso solo intervienen 4 tipos de movimientos: Traslaciones Reflexiones Rotaciones Deslizamientos

Grupo p1: Sin rotaciones Grupo p1, contiene sólo traslaciones en dos direcciones diferentes.

Grupo pg:No hay rotaciones Contiene deslizamientos en direcciones paralelas.

Grupo cm: sin rotaciones Grupo cm, contiene una reflexión sobre un eje vertical. Contiene un deslizamiento sobre un eje paralelo.

Grupo pm: sin rotaciones Contiene una reflexión.

Grupo p2: rotacion de orden 2 No contiene reflexiones ni deslizamientos

Grupo p2mg: Rotación de orden 2. Contiene un reflexión sobre un eje paralelo a la traslación. Contiene deslizamientos sobre líneas perpendiculres a los ejes de reflexión.

Grupo p2mm : rotación de orden 2 Contiene reflexiones sobre ejes perpendiculares

Grupo p2gg: Rotación de orden 2. Contiene deslizamientos con ejes que se cruzan perpendicularmente

Grupo c2mm: Rotación de orden 2 Contiene dos reflexiones sobre ejes perpendiculares. Contiene una rotación de orden dos

Grupo p3: Rotación de orden 3 No contiene reflexiones

Grupo p3m1: Rotación de orden 3. Contiene reflexiones La celda básica se obtiene al unir 4 centros de rotación cercanos. Los ejes de reflexión están sobre la diagonal mayor de la celda básica.

Grupo p31m: Rotación de orden 3. Contiene reflexiones sobre tres direcciones distintas que se intersectan en los centros de rotación. Si se unen 4 centros De rotación cercanos se obtiene la celda básica que es un paralelogramo. En la diagonal menor del mismo hay un areflexión.

Grupo p4: Rotación de orden 4 No contiene reflexiones ni deslizamientos.

Grupo p4mm: Rotación de orden 4 Contiene reflexones sobre ejes perpendiculares que se cortan en el centro de la celda básica.

Grupo p4gm: Rotación de orden 4 Contiene centros de rotación de orden 4 y de orden 2. Contiene reflexiones con ejes que pasan por los centros de rotación de orden 2.

Grupo p6: rotación de orden 6 No tiene reflexiones Posee centros de rotación de orden 3.

Grupo p6mm: Rotación de orden 6 Posee reflexiones Posee centros de rotación de orden 2.

Un método más interacativo Programa en Java Kali, Creado por Nina Armenta en 1995. Kali

Teselaciones

El proceso de construcción

Teselaciones regulares Se puede teselar el plano ( en forma periódica) con polígonos regulares del mismo tipo. Los únicos permitidos son el triángulo, el cuadrado y el hexágono ( teselaciones regulares)

Teselaiones irregulares Se puede teselar el plano usando dos tipos de polígonos regulres. Sólo existen ocho posibilidades. Son las llamadas ( teselaciones irregulares)

El Mundo maravilloso de M. Escher También es posible teselar el plano en forma artística con figuras que representan seres vivos.

Las teselaciones pentagonales Se han descubierto 14 tipos de teselaciones pentagonales con pentágonos irregulares La Sra. Marjorie Rice descubrió cuatro de ellas. Ella no es un matemático profesional, sino, tan sólo, un ama de casa que hace unas colchas muy bonitas.

Una teselación misteriosa: Pentágonos de Durero

Fractal de Durero

Teselaciones no periódicas: Diagramas de Penrose

Universos de Penrose: Un modelo matemático para los cuasicrsitales. Cada Universo de penrose en no periódico. El número posible de arreglos es infinito no enumerable. La Teoría de grupos es insuficiente para entender este orden: Para comprender su estructura se utiliza el Algebra de Lie.

Muchas gracias

Algunas referencias https://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico Mosaicos y teselaciones. http://webs.advance.com.ar/simetriadelespac io/capitulo4.htm. Intriguing Tessellations Math Forum: Tessellation Tutorials by Suzanne Alejandre. http://webpages.ull.es/users/imarrero/sctm0 4/modulo1/3/carmelo.pdf