Matemáticas y Arte por Francisco Rivero Mendoza

Presentación del tema: "Matemáticas y Arte por Francisco Rivero Mendoza"— Transcripción de la presentación:

1 Matemáticas y Arte por Francisco Rivero Mendoza

2 Matemáticas - Arte La búsqueda de un ideal de belleza.
Conocimiento del espacio tiempo. Búsqueda de patrones que se repiten. Métrica.

3 Matemáticas y Poesía. La guacharaca de Apure Le dijo al pájaro vaco
Préstame tu candelita Para encender mi tabaco Alberto Arvelo Torrealba

4 Relaciones líricas En su estructura, la poesía tiene algo de matemáticas en la periodicidad, tanto de las sensaciones fonéticas ( rima) como de acentos ( ritmo). La gua cha ra ca dea pu re Le dijo al pá ja ro va co Prés ta me tu can de li ta Pa raen cen der mi ta ba co

5 El Lilavati ( Baskhara s. XII)
“Un quinto de un enjambre de abejas se posa sobre una flor de kadamba(Loto); un tercio sobre una flor de silindha ( cambur). Tres veces la diferencia entre los dos números voló a las flores de un kutuja, y quedó una sola abeja que se alzó por el aire, igualmente atraída por el perfume de un jazmín y un pandamus. Dime tú ahora, mujer fascinante, cual era el número de abejas” Un matemático no es digno de este nombre si no es un poco poeta Karl Weierstrass

6 Matemáticas y Literatura
La matemática enseña también a escribir, si se quiere que la concisión, la claridad, y la precisión sean cualidades de estilo. El lenguaje matemático obliga a una gimnasia intelectual sumamente intensa. Algunos escritores han usado elementos matemáticos en sus creaciones literarias.

7 Veamos algunos ejemplos
Don Quijote: (segunda parte cap LI) La paradoja del ahorcado - “ Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un mismo señorío … digo pues que sobre este río estaba una puente, y al cabo della una horca y una como casa de audiencia, en la cual de ordinario había cuatro jueces que juzgaban la ley que puso el dueño del río, de la puente y del señorío…”

8 El Juramento del puente
Si alguno pasare por esta puente, de una parte a otra, ha de jurar primero adónde y a qué va; y si jurare verdad, déjenle pasar; y si dijere mentira, muera por ello ahorcado en la horca que allí se muestra....

9 Don Quijote: Un texto que se autorefiere creando un peligroso descenso al infinito

10 Un libro dentro de un libro
“Créanme vuesas mercedes- dijo Sancho- que el Sancho y el Don Quijote desa historia deben de ser otros que los que andan en aquella que compuso Cide Hamete Benengeli, “Por el mismo caso- respondió Don Quijote- no pondré los pies en Zaragoza; y así, sacaré a la plaza del mundo la mentira de ese historiador moderno y echarán de ver las gentes cómo yo no soy el Don Quijote que él dice”

11 Lewis Carrol: Alicia en el país de las maravillas
Un relato fantástico del matemático Charles Dogson ( ) Nada hacía suponer que aquel severo personaje gris de Oxford consagrado al estricto orden de las matemáticas y a la precsión de la lógica fuera a producir una de las más célebres obras en el terreno de lo irracional y lo absurdo.

12 Una merienda de locos Entonces dí lo que piensas- prosiguió la liebre.
Eso es lo que hago- dijo Alicia precipitadamente- A lo menos...yo pienso lo que digo. Es la misma cosa. No es lo mismo- advirtió el sombrerero- Según tú, sería lo mismo decir “Veo lo que como” que “Como lo que veo”

13 Jorge Luis Borges: La Biblioteca de Babel
“...A cada uno de los muros de cada hexágono corresponden cinco anaqueles; cada anaquel encierra treinta y dos libros de formato uniforme; cada libro es de cuatrocientas diez páginas; cada página de cuarenta renglones; cada renglón de unas ochenta letras…”

14 La biblioteca total. Tocando el infinito
“La biblioteca es total y en sus anaqueles se registran todas las posibles combinaciones de los veintitantos símbolos ortográficos, o sea, todo lo que es dable expresar”. “...Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los acángeles, el catálogo fiel de la biblioteca, miles y miles de catálogos falsos, la demostración de la falacia de esos catálogos, el evangelio gnóstico de Balsídes, el comentario de ese evangelio, el comentario del comentario, la relación verídica de tu muerte...”

15 Dale Brown: El código da Vinci
Anagramas Códigos secretos. Criptografía. Proporción dorada. Número de oro. Geometría sagrada. Sucesión de Fibonacci.

16 Un receso musical...

17 Quatrivium La música y la matemática han estado relacionada durante siglos. En el curriculum de los estudiantes de la edad media se incluían las siguientes artes o disciplinas: Aritmética Geometría. Astronomía Música

18 Pitágoras y la música Para construir la escala musical los pitagóricos construyeron un instrumento formado por una sola cuerda que se tensaba y que se podía hacer más larga, o más corta, moviendo una tabla móvil ( Monocordio) Cuando la cuerda medía ½ del total el sonido se repetía pero más agudo. Cuando el largo de la cuerda es 2/3 del tamaño original se obtiene otra nota musical ( la quinta) Cuando la cuerda es ¾ del largo de la anterior se obtiene la cuarta.

19 La escala diatónica  En la escala diatónica, las frecuencias de cada nota son radios de números enteros.  Frecuencia Razón nota anterior Tónica f Do Segunda 9/8 f 9/8 Re Tercera 81/64 f Mi Cuarta 4/3 f 256/243 Fa Quinta 3/2 f Sol Sexta 27/16 f La Séptima 243/128 f Si Octava 2 f 256 / 243

20 El Piano Bien Temperado
El Piano Bien Temperado, Obra de Juan Sebastian Bach compusta de 24 piezas musicales, en doce tonalidades usando el modo mayor y menor. Bach afinó su piano en la escala temperada dividiendo los tonos en series dentro de un espacio definido. La escala temperada es la que se usa hoy en día.

21 La música y las probabilidades
Algunos músicos compusieron obras a partir de reglas y conceptos matemáticos, como por ejemplo, las probabilidades. Mozart, a la edad de 21 años, creó un juego para componer valses de 16 compases, lanzando los dados.

22 La obra musical se titula “ Juegos de dados musical para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico, ni saber nada de composición” (K294). Los números en la matriz corresponden a los 176 compases que compuso Mozart. Hay 2x1114 variaciones del mismo vals.

23 ¿De que está hecha la música?
Respuesta: De funciones trigonométricas. Los sonidos producidos por la vibración de cuerdas y membranas se propagan en el aire mediante ondas sonoras.

24 Componentes de una onda
Intensidad = Amplitud Tono= frecuencia. Timbre = forma particular de la onda.

25 El Análisis de Fourier El matemático Francés Jean Baptiste Joseph Fourier ( ), descubrió que toda función periódica ( onda sonora) es una combinación de senos y cosenos.

26 El Osciloscopio sonoro
musica

27 ¿ Y que hay del ritmo y la melodía?
En 2002, los trabajos Toussaint, inician una investigación teórica de ritmos con herramientas matemáticas, introduciendo nuevas técnicas geométricas, gráficas y de combinatoria. Esto permite la enseñanza, el análisis, la visualización y el reconocimiento automatizado de ritmos. Godfried T. Toussaint : “ A mathematical analysis of African, Brasilian and Cuban clave rithms”

28 El ritmo clave son y su análisis matemático.
Para los ritmos se usa un sistema sencillo de notación en base a unidades de tiempo.

29 Otra forma de representar los ritmos consiste en emplear un vector de intervalos.
Cada dígito representa el intervalo de tiempo entre sonidos sucesivos. Clave son se representa por: ( ) Ejercicio ¿ cómo se representa el ritmo de Gaita?

30 La Trilogía Sagrada: Matemáticas, Arte y Naturaleza
La belleza de las proporciones El rectángulo dorado El Número de Oro La sucesión de Fibonacci La espiral Las simetrías Las teselaciones

31 Las proporciones Un radio es una comparación de dos cantidades, tamaños, cualidades o ideas diferentes a y b y se expresa por la fórmula a:b. Una proporción es una relación de equivalencia entre dos radios. Si las cantidades que intervienen son a, b , c y d, entonces la proporción se escribe a: b::c: d. Ejemplo 20 es a 4, como 5 es a 1.

32 La proporción dorada b a ¿Cómo dividir un segmento en forma bella y armoniosa? a + b : b :: b : a La suma de las dos partes es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor. Esta proporción la llamamos proporción dorada

33 Construcción del segmento áureo

34 La belleza de las formas en la naturaleza
“Las formas supremas de lo bello son la conformidad con las leyes, la simetría y la determinación ( el orden), y son precisamente estas formas las que se encuentran en las matemáticas, y puesto que estas formas parecen ser la causa de muchos objetos, las matemáticas se refieren en cierta medida a una causa que es la belleza” Aristóteles.

35 La belleza de las proporciones
“Lo bello es lo que nos deleita, haciendo de medianeros, oídos y vista” – Platón. La altura total dividida entre la altura hasta el ombligo debe ser iguala la proporción dorada  = 1.618…

36 El rectángulo dorado (X + 1) : x = x : 1 1 x 1 X = ( 1 + √ 5 ) / 2 x
 ≈ 1.56

37 Número de oro en el arte del renacimiento italiano
El rectángulo dorado sirve de división armónica entre los espacios. Para que un espacio dividido en partes iguales resulte agradable y estético, deberá haber entre la parte más pequeña y la mayor, la misma relación que entre ésta y la menor. Euclides

38 Ley de la sección dorada

39 El numero de oro generalizado: ¿Qué hay entre un rectángulo dorado y un cuadrado?
Un rectángulo verde

40 Una familia de números de oro Números de oro generalizados
Si para cada número natural n, consideramos la ecuación n x 2 – x- n = 0 La solución de la misma es el n-número de oro n = { 1 + ( 1 + 4n ) ½}/ 2n En particular se tiene que 1 = 

41 Los números de oro generalizados:
1 (1 + √ 5) /2 2 ( 1 + √17) / 4 3 ( 1 + √ 37) / 6 4 ( 1 + √ 65) / 8 5 ( 1 + √ 101) / 10 6 ( 1 + √ 145) / 12

42 La sucesión de Fibonacci
Una sucesión de números naturales 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…… Una sucesión de proporciones racionales 1 /1 , 2/1, 3 /2, 5/3, 8/5, 13/8, … Que tienden hacia la Proporción Áurea → 

43 La Espiral La espiral aparece en la naturaleza organizando el crecimiento de las formas. Cada Angulo central, de una espiral logarítmica, origina arcos similares

44 Las espirales del girasol
Hay 55 espirales ( en el sentido de las agujas del reloj). Hay 89 espirales en sentido contario a las agujas del reloj. La relación 55,89 se conoce como la phyllotaxis de la planta.

45 La Espiral generadora del movimiento en el arte del cuatrocientos florentino.

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47 Simetrías

48 Simetría bilateral El hombre y los animales superiores poseen simetría de reflexión o bilateral Los espejos cambian nuestro lado derecho por el izquierdo y viceversa. ¿Por qué los espejos no cambian los pies por la cabeza?

49 La simetría rotatoria abunda en la naturaleza

50 La simetría en el arte de la decoración

51 Los grupos miden las simetrías
Los artesanos y decoradores de templos alfombras y vasijas de todas las épocas y culturas, jamás imaginaron que estaban empleando en sus creaciones una de las herramientas más moderna, abstracta y sofisticada de toda la matemática: la Teoría de Grupos

52 Los 17 grupos de simetría en el plano
Toda decoración simétrica del plano consiste de una celda básica o patrón que se repite infinitamente. En este proceso solo intervienen 4 tipos de movimientos: Traslaciones Reflexiones Rotaciones Deslizamientos

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54 Grupo p1: Sin rotaciones
Grupo p1, contiene sólo traslaciones en dos direcciones diferentes.

55 Grupo pg:No hay rotaciones
Contiene deslizamientos en direcciones paralelas.

56 Grupo cm: sin rotaciones
Grupo cm, contiene una reflexión sobre un eje vertical. Contiene un deslizamiento sobre un eje paralelo.

57 Grupo pm: sin rotaciones
Contiene una reflexión.

58 Grupo p2: rotacion de orden 2
No contiene reflexiones ni deslizamientos

59 Grupo p2mg: Rotación de orden 2.
Contiene un reflexión sobre un eje paralelo a la traslación. Contiene deslizamientos sobre líneas perpendiculres a los ejes de reflexión.

60 Grupo p2mm : rotación de orden 2
Contiene reflexiones sobre ejes perpendiculares

61 Grupo p2gg: Rotación de orden 2.
Contiene deslizamientos con ejes que se cruzan perpendicularmente

62 Grupo c2mm: Rotación de orden 2
Contiene dos reflexiones sobre ejes perpendiculares. Contiene una rotación de orden dos

63 Grupo p3: Rotación de orden 3
No contiene reflexiones

64 Grupo p3m1: Rotación de orden 3.
Contiene reflexiones La celda básica se obtiene al unir 4 centros de rotación cercanos. Los ejes de reflexión están sobre la diagonal mayor de la celda básica.

65 Grupo p31m: Rotación de orden 3.
Contiene reflexiones sobre tres direcciones distintas que se intersectan en los centros de rotación. Si se unen 4 centros De rotación cercanos se obtiene la celda básica que es un paralelogramo. En la diagonal menor del mismo hay un areflexión.

66 Grupo p4: Rotación de orden 4
No contiene reflexiones ni deslizamientos.

67 Grupo p4mm: Rotación de orden 4
Contiene reflexones sobre ejes perpendiculares que se cortan en el centro de la celda básica.

68 Grupo p4gm: Rotación de orden 4
Contiene centros de rotación de orden 4 y de orden 2. Contiene reflexiones con ejes que pasan por los centros de rotación de orden 2.

69 Grupo p6: rotación de orden 6
No tiene reflexiones Posee centros de rotación de orden 3.

70 Grupo p6mm: Rotación de orden 6
Posee reflexiones Posee centros de rotación de orden 2.

71 Un método más interacativo
Programa en Java Kali, Creado por Nina Armenta en 1995. Kali

72 Teselaciones

73 El proceso de construcción

74 Teselaciones regulares
Se puede teselar el plano ( en forma periódica) con polígonos regulares del mismo tipo. Los únicos permitidos son el triángulo, el cuadrado y el hexágono ( teselaciones regulares)

75 Teselaiones irregulares
Se puede teselar el plano usando dos tipos de polígonos regulres. Sólo existen ocho posibilidades. Son las llamadas ( teselaciones irregulares)

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77 El Mundo maravilloso de M. Escher
También es posible teselar el plano en forma artística con figuras que representan seres vivos.

78 Las teselaciones pentagonales
Se han descubierto 14 tipos de teselaciones pentagonales con pentágonos irregulares La Sra. Marjorie Rice descubrió cuatro de ellas. Ella no es un matemático profesional, sino, tan sólo, un ama de casa que hace unas colchas muy bonitas.

79 Una teselación misteriosa: Pentágonos de Durero

80 Fractal de Durero

81 Teselaciones no periódicas: Diagramas de Penrose

82 Universos de Penrose: Un modelo matemático para los cuasicrsitales.
Cada Universo de penrose en no periódico. El número posible de arreglos es infinito no enumerable. La Teoría de grupos es insuficiente para entender este orden: Para comprender su estructura se utiliza el Algebra de Lie.

83 Muchas gracias

84 Algunas referencias https://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico
Mosaicos y teselaciones. Intriguing Tessellations Math Forum: Tessellation Tutorials by Suzanne Alejandre.