La sucesión de Fibonacci Propiedades. Número áureo. Rectángulos áureos. Arte, arquitectura y la sucesión. La naturaleza y la sucesión. Presentación Juan Ignacio Rodríguez 3ºC

La sucesión 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55… La sucesión de Fibonacci es una sucesión recurrente en la que cada término a partir del 3º se obtiene sumando los dos anteriores:

La sucesión 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55… A1=1 A2=1 A3=1+1=2 A4=2+1=3 A5=3+2=5 A6=3+5=8 A7=5+8=13 A8=8+13=21 La fórmula general de la sucesión es: an=(an-1)+(an-2) Siendo a1=1 Pero la sucesión se puede construir desde cualquier número entero:

La sucesión 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55… A1=7 A2=7 A3=7+7=14 A4=14+7=21 A5=21+14=35 A6=35+21=56 A7=56+35=91 A8=91+56=147 La fórmula general de la sucesión es: an=(an-1)+(an-2) Siendo a1=7 Pero la sucesión se puede construir desde cualquier número entero: por ejemplo. La razón áurea, que veremos más adelante, se cumple.

Ésta sucesión fue descubierta por el matemático Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci.

La descubrió a partir del estudio de la reproducción de los conejos durante 1 año. Donde observó, como veremos, que la descendencia seguía un orden sucesivo.

La sucesión 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55… Algunas propiedades de la sucesión: _Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar, menos 1, (1,3,5),  da como resultado el sexto término: (1+3+5)-1=8(a6) _Tan solo 1 termino de cada 3 es par, 1 de cada 4 es múltiplo de 3, uno de cada 5 es múltiplo de 5,etc: Las razones entre los números de la sucesión siempre varía, pero…

éstas razones entre los números de la sucesión ,según éstos aumentan, se acercan cada vez más al número áureo o número de oro( )=1’618039…

Las razones de la sucesión son: 1/1;2/1;3/2;5/3;8/5;13/8;21/13;34/21…. 1:1=1 2:1=2 3:2=1.5 5:3=1.66 8:5=1.6 13: 8=1.625 21:13=1.6153846 34:21=1.6190476 55:34=1.6176471 89:55=1.6181818 Como hemos visto antes, en la sucesión a partir de 7, ésta razón se cumple: A6/a5=56:35=1.6 A7/a6=91:56=1.625 Y así sucesivamente

Ésta razón fue descubierta antes que por Fibonacci, por matemáticos hindúes como Gopala, que investigaron los patrones rítmicos que se formaban con silabas de una o dos notas. La fórmula del número áureo es: =1+√5=1’618033988… 2

Que se extrae de la ecuación: X2-X-1=0 X=-(-1)+/-√(-1)2-4x1x(-1) 2x1 X=1+/-√5X1=1+√5 2 2 X2=1-√5 2

La razón áurea se halla también en los rectángulos áureos, en los que la proporción entre sus lados es igual al número áureo. El rectángulo áureo es un rectángulo de medidas armoniosas que, como veremos, ha sido utilizado en gran parte de nuestra cultura.

 El rectangulo áureo se construye: Dibujando un cuadrado y marcando el punto medio de uno de sus lados. Se une con uno de los vértices del lado opuesto y llevando esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

 Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale 1+√5, por lo que la proporción entre los dos lados es: 1+√5 2

El rectángulo áureo ha sido utilizado en el arte y la arquitectura. Como el Partenón griego: Donde sus medidas están construidas a partir de rectángulos áureos.

El rectángulo áureo ha sido utilizado en el arte y la arquitectura. Como el partenón griego: Donde sus medidas están construidas a partir de rectángulos áureos.

Nuestros DNI. están hechos a base de la proporción áurea:

Da Vinci utilizó para muchos de sus cuadros la proporción áurea. El rostro de la Gioconda está encajado en un rectángulo áureo, y dentro de estos rectángulos se identifican las partes de su cara.

Da Vinci utilizó para muchos de sus cuadros la proporción áurea. En el hombre de vitrubio, como se explica en El código Da Vinci, la proporción áurea se encuentra en sus medidas. Si se divide la altura total (línea roja )entre la altura hasta el ombligo (línea verde ), se obtiene el número áureo aproximadamente. (siempre hay errores de medición)

Esta proporción se encuentra en cualquier persona más o menos desarrollada. En el hombre de vitrubio, como se explica en El código Da Vinci, la proporción áurea se encuentra en sus medidas. Si se divide la altura total (línea roja )entre la altura hasta el ombligo (línea verde ), se obtiene el número áureo aproximadamente. (siempre hay errores de medición)

Las medidas de Toni son: 185cm de altura y 113cm hasta el ombligo. 185:113=1.63716….. Aprox. El número áureo. Las medidas de Iñaki son: 180cm de altura y 112cm hasta el ombligo. 180:112=1.6071…..Aprox. El número áureo.

En la naturaleza también se observa la sucesión de Fibonacci y la razón áurea. De hecho, la razón áurea es la base del crecimiento en la naturaleza:

La espiral logarítmica, o la concha del caracol nautilos (entre otros): Su crecimiento sigue el orden de los rectángulos áureos, formando entre los vértices de los rectángulos una espiral que ha cautivado por su belleza.

En las semillas de los girasoles, las espirales que forman siguen los número de la sucesión de Fibonacci: 34 espirales (marcada 1 de cada 2) 21 espirales

También se observa en la reproducción de los conejos (gracias a lo que descubrió la sucesión), los números de la sucesión se observan en el número de parejas cada mes.

Nueva pareja Continuación de padres Cada pareja tarda 1 mes en ser fértil y otro mes en el embarazo, o lo que es lo mismo, tarda 2 meses en dar a luz.

Nueva pareja Continuación de padres Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Mes 5 Cada mas es un termino de la sucesión. El primer mes hay una pareja que no tiene crías.1. El segundo mes ya es fértil y comienza el embarazo.1. El tercer mes la primera pareja tiene otra pareja. Ya son 2 parejas. El cuarto mes la primera pareja tiene otra pareja y la segunda comienza el embarazo. Son 3 parejas. El quinto mes la primera pareja tiene otra y la segunda otra, la tercera pareja comienza el embarazo. Son 5 parejas Este proceso continúa siguiendo la sucesión de Fibonacci.

Fibonacci (Leonardo de Pisa) descubrió, sin saberlo, la clave del crecimiento en toda la naturaleza.

Fibonacci (Leonardo de Pisa) descubrió, sin saberlo, la clave del crecimiento en toda la naturaleza. FIN