Medidas de Tendencia Central Preparado por: Prof. Alice Pérez Fernández Universidad Interamericana Recinto de Fajardo

Objetivos:  Conocer, Aplicar e interpretar las medidas de Tendencia Central

Introducción  Aunque se organicen los datos en una forma útil y significativa es preciso disponer de los datos de forma tal que puedan presentarse proporciones cuantitativas (Haber y Runyon, 1992).  Una forma útil de describir a un grupo en su totalidad es encontrar un grupo que lo represente (Levin, 1979).

 En las distribuciones de frecuencia los datos se acumulan alrededor de un valor central situado entre los dos extremos de la variable que se estudia (Haber y Runyon, 1992).  Ese valor se conoce como una medida de tendencia central, ya que está generalmente localizada hacia el medio o centro de una distribución en la que la mayoría de los puntajes tienen a concentrarse (Levin,1979).

Utilidad  Puede reducir una masa de datos a un simple valor cuantitativo que llegará a ser comprendido y comunicado a otras personas.

Medidas de Tendencia Central  Moda  Mediana  Media Aritmética

Si la distribución bajo análisis es:  Perfectamente simétrica (Diagrama A pág. 104, Texto)  Las tres medidas antes mencionadas proveen idénticos resultados  Asimétrica positiva (Diagrama B, pág. 104) (muestra una cola de valores extremos a la derecha).  La media será mayor que la mediana y esta mayor que la moda  Asimétrica Negativa (Diagrama C, pág. 104) (muestra una cola de valores extremos a la izquierda).  La media será menor que la mediana y la mediana menor que la moda.

Moda (Mo)  La moda es el valor que más se repite.

Moda  Es la medida de tendencia central más fácil de obtener. Esto es cierto debido a que la moda (Mo) puede, encontrarse simplemente por inspección más que por cálculo (Levin, 1979).  Es frecuente encontrar distribuciones con más de una moda. Cuando se da esta situación, es poco probable que podemos hacer comparaciones válidas del comportamiento observado en los grupos de interés.  Hay distribuciones que no tienen Moda (Mo) (si todos los valores de la distribución son diferentes).

La moda para una distribución de frecuencias con clases no agrupadas.  La moda es aquel valor que a su derecha bajo la columna de frecuencias tiene el numeral más alto

Ej. Peso de los niños de madres saludables nacidos en Centro Médico en el mes de octubre. XF

La moda para una distribución de frecuencias con clases agrupadas. Se consigue resolviendo la ecuación: Mo = LRT + [D1 ] [ i ]; donde: D1+D2 D1+D2 LRI = Límite Real Inferior de la clase modal (la clase con el mayor número de (la clase con el mayor número de frecuencias) frecuencias) D1 = Diferencia entre las frecuencias en la clase modal y las frecuencias en la clase inmediatamente anterior las frecuencias en la clase inmediatamente anterior D2 = Diferencia entre las frecuencias en la clase modal y las frecuencias en la clase inmediatamente superior. frecuencias en la clase inmediatamente superior. i = intervalo de la clase modal

Ejemplo  Segundos en reaccionar ante un estímulo previo al consumir una droga antidepresiva. X (segundos) F 14 – – – – – – – 3 4 Total26

Mo =  LRI de la clase modal = 11.5  Frecuencia clase modal = 9  Frecuencia clase anterior a la clase modal = 2 modal = 2  Frecuencia clase inmediatamente superior a la clase modal = 3 superior a la clase modal = 3  Intervalo de clase = 2 Mo = LRT + [D1 ] [ i ] D1 + D2 D1 + D2

Mo = [9 – 2 ] [ 2 ] Mo = [7 ] [ 2 ] Mo = [7 ] [ 2 ] Mo = [9 – 2 ] [ 2 ] Mo = [.538] [2 ] Mo = Mo = segundos

Otra manera de conseguir la moda  En vez de aplicar la ecuación anterior muchos investigadores suelen tomar como valor modal el punto medio de la clase con mayor número de frecuencias. PM = se suman los límites aparentes de cada clases, y luego divides por 2. cada clases, y luego divides por 2. PM = PM = 12.5

Media Aritmética  Es la medida de tendencia central comúnmente utilizada.  Se define como el valor en la distribución respecto del cual la suma de las desviaciones es igual a cero.  Toma en consideración todos los valores de la distribución bajo estudio.  A partir de esta medida se obtiene otros indicadores descriptivos sumamente importantes.

 Es la medida de tendencia central más relevante y que mayores aplicaciones tiene en el análisis estadístico ya que es uno de los parámetros utilizados en la construcción de ciertos modelos matemáticos; modelos que han sido desarrollados para tomar decisiones de carácter probabilístico.

Adolece  Se afecta por la presencia de valores extremos.  No puede computarse cuando las distribuciones contienen clases abiertas.

Computo de la media  Cuando la información ha sido organizada a través de un arreglo de valores, la media se computa: ___ X = Σ X donde; X = Valores que toma la variable X = Σ X donde; X = Valores que toma la variable N___ X = media de la muestra N = Total de casos de la Muestra X = media de la muestra N = Total de casos de la Muestra Σ – Suma de…

La media para una distribución de frecuencias con clases no agrupadas.  Se utiliza cuando tenemos muchos casos bajo estudio y poca variación entre los valores externos.  Se utiliza la siguiente ecuación: ___ X = Σ donde; X = Valor qie toma la variable X = Σ donde; X = Valor qie toma la variable ___ f = frecuencias en cada clase X = media de la muestra X = media de la muestra n = total de casos en la n = total de casos en la Σ = suma de… muestra (Σf)

Ejemplo  Segundos de reacción ante un estímulo previo consumir un gramo de THC. X (segundos) FXf Total9(n)90 (Σ x f)

Ejemplo ___ X = Σ x f X = Σ x f n___ X = 90 X = 90 9___ X = 10 X = 10

 La media para una distribución de frecuencias con clases agrupadas  La media se computa usando la siguiente ecuación: ___ X = Σ xi f donde; X = Σ xi f donde; n___ X = media de la muestra X = media de la muestra Σ = suma de… Xi = punto medio de cada clase n = total de casos en la muestra (Σf)

 Cuando las clases están constituidas por números relativamente alto y/o cuando el número de los sujetos en la mayoría de las clases es elevado, se recomienda el uso de la siguiente ecuación: __ __ X = [ i ] [ Σfd ] + c donde: n

__ X = media de la muestra i = intervalo de las clases (debe ser el mismo en todas) todas) Σ = suma de… f = frecuencias en casa clase d = desviación de cada clase respecto de la clase que se supone tiene la media clase que se supone tiene la media n = total de casos en la muestra (Σf) c = punto medio de la clase que se supone tiene la media la media

Ejemplo Cociente de inteligencia para una muestra de adictos a cocaína X (CI) f Xi (Punto Medio ) Xi f 150 – , – , – , – , – , – , – , – , – , – , – ,035.5 Total1,000n112,080.0 (Σ xi f)

___ ___ X = Σ xi f X = Σ xi f n ___ ___ X = 112,080.0 = X = 112,080.0 = ,000 1,000

La Media Ponderada  En ciertos momentos nos vemos ante la necesidad de hallar una media para varias distribuciones tomadas en conjunto.  Si para cada distribución se ha computado una media y las muestras no difieren en tamaño, la media para todas las distribuciones en conjunto puede obtenerse sumando las medias individuales y luego dividiendo dichas sumatorias por el número de grupos o muestras bajo estudio.

__ __ XT = Σ X donde: K__ XT = media para todas las muestras en conjunto conjunto Σ = suma de… __ X = media de cada muestra K = número de muestras

Ejemplo Tenemos 3 grupos de 50 sujetos cada uno que toman una prueba de coordinación bajo diferentes estímulos, obtenemos: Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 __ __ __ __ __ __ X1 = 60 X2 = 80 X3 = 90 X1 = 60 X2 = 80 X3 = 90 __ __ XT = Σ X K__ XT = [ ] =

Muestras de diferentes tamaños:  En estos casos se computa la media ponderada; media que se obtiene multiplicando cada muestra por la media correspondiente; sumando los productos y dividiendo luego por la suma de todas las muestras. __ __ Xp = Σn Xi donde Σni Σni__ Xp = media ponderada Σ = suma de… Ni = tamaño de cada muestra __ Xi = media de cada muestra

Ejemplo Supongamos que tenemos 3 conjuntos de sujetos de cantidades diferentes cada muestra. N1 = 20 N2 = 40 N3 = 30 __ __ __ X1 = 60 X2 = 80 X3 = 90

Sustituimos… __ Xp = Σ ni xi Σ ni Σ ni__ Xp = [ (20) (60) + (40) (80) + (30) (90)] __ Xp = 1, , , __ Xp = 7, __ Xp = 78.89

 La media ponderada no solo es útil para sustituciones donde se interesa computar una media a partir de dos o más muestras, sino también en ciertos casos donde los valores asignados a la variable contienen factores de ponderación.

Ejemplo Usted al finalizar el semestre en cursos obtiene: -2 Calificaciones de A (una de tres créditos y otra de cuatro) -2 B (tres créditos para cada una) -1 C (dos créditos ) -1 D (cuatro créditos) -Usted quiere conocer su ejecución Promedio para dicho semestre.

Utilice:__ Xp = ΣXW; donde: ΣW ΣW__ Xp = media ponderada X = valor asignado a la variable W = factor de ponderación

Calificación (Valor Asignado) X (Núm. de Creditos) WXW A4728 B3618 C224 D144 Totales19(EW)54 (ΣXW)

__ 54 Xp = 19 = 2.84

La Mediana  La mediana se refiere al valor que divide la distribución en dos partes iguales.  No se afecta por valores extremos.  Puede computarse con clases abiertas (siempre y cuando no esté contenida en una de ellas).

 Variable como edad, ingreso, educación y tamaño familiar, suelen examinarse a través de la mediana.  Se acostumbra utilizar la mediana cuando la variable bajo estudio tiende a mostrar marcada asimetría en su distribución (positiva o negativa). En tales situaciones, esta medida es el mejor indicador de la tendencia central.

 Cuando la información se organiza a través de un arreglo de valores, la mediana es el numeral que aparece ubicado en la posición (n + 1)/2; donde n es el total de casos bajo estudio. La mediana para un arreglo de valores

La mediana para una distribución de frecuencias con clases no agrupadas  En aquellas situaciones donde la variable se organiza a través de distribuciones cuyas clases no están agrupadas, se puede computar de la siguiente forma: Md = LRT + [n/2 – fa] donde: f Md = Mediana LRT = Límite Real Inferior de la clase donde se halla la mediana mediana N = total de casos en la muestra fa = frecuencias acumuladas hasta la clase inmediatamente anterior a la clase donde se halla la inmediatamente anterior a la clase donde se halla la mediana mediana f = frecuencia en la clase donde se halla la mediana

La mediana para una distribución de frecuencias con clases agrupadas Md = LRT + [n/2 – fa] [ i ] f