Análisis de Señales y Sistemas “7a Clase:Modelo de Estados” César Galindo V. C. Galindo. MSc, Ingeniero Civil Electrónico

Descripción

Descripción

Enfoque por Laplace

Enfoque por Laplace

Matriz de Transición

Matriz de Estados

Representación en espacio de estado La dinámica del sistema viene determinada por los valores propios o raíces características de la matriz A, puesto que coinciden con los polos de la ecuación característica del sistema. A esta conclusión se llega aplicando transformada de Laplace a las ecuaciones de estado.

Transformaciones La representación en variables de estado no es única. Dado x vector de estado, el vector resultante de aplicar una transformación lineal x1=P-1x, donde P es una matriz no singular, también es vector de estado. La ecuación de estado resultante para el caso no forzado sería x1’ = P-1APx1 + P-1Bu En este caso, la matriz de estado del sistema pasa a ser P-1AP, aunque los valores propios se mantienen al ser invariantes ante transformaciones lineales.

Transformaciones Si se construye adecuadamente la matriz de transformación P, puede obtenerse una matriz del sistema diagonal, lo que facilita el estudio del mismo. Un ejemplo de diagonalización es el que resulta cuando A posee n valores propios distintos y se construye P tomando los correspondientes autovectores por columnas. El resultado es una matriz de estado en cuya diagonal principal aparecen los valores propios del sistema. Esta operación de diagonalización se conoce también como transformación modal.

x(t) = eAt x(t0) + òt0t eA(t-t) Bu(t) dt Controlabilidad Un sistema es controlable si dado un estado inicial x0 y un tiempo inicial t0, para cualquier estado final x1 existe una señal de control físicamente realizable que puede guiar al sistema desde el estado inicial al final en un tiempo finito. La solución de la ecuación de estado es de la forma x(t) = eAt x(t0) + òt0t eA(t-t) Bu(t) dt

Controlabilidad

Controlabilidad Para que el sistema sea de estado completo controlable, este conjunto de ecuaciones debe tener solución única, es decir, la matriz [B|AB| ... |An-1B] (matriz de controlabilidad) de dimensión n x n debe ser de rango n. Se llega a la misma condición si se considera u como un vector de dimensión r, siendo en este caso, la dimensión de la matriz de controlabilidad n x nr.

Observabilidad Se dice que un sistema es de estado completo observable si cada estado x(t0 ) puede determinarse a partir de la observación de la salida en un intervalo de tiempo finito. La condición de observabilidad puede obtenerse a partir de la ecuación de salida del sistema no forzado. Resulta así que para que el sistema sea observable, la matriz [C* |A*C* | ... |(A* )n-1C* ] (matriz de observabilidad), de dimensión n x nm, debe ser de rango n.

Observabilidad Al igual que en el caso de la controlabilidad, existe un método alternativo para determinar la observabilidad de un sistema a partir de su expresión desacoplada. En este caso, para que el sistema sea observable todos los estados deben estar representados en el vector de salida. Las condiciones de controlabilidad y observabilidad tienen su reflejo en el plano s, de forma que para que un sistema sea controlable y observable no debe presentar cancelaciones en su matriz de transferencia. Tanto la observabilidad como la controlabilidad deben ser verificadas antes de comenzar el diseño de un sistema de control basado en la representación en el espacio de estados. Si no se cumplen, debe replantearse la selección de las variables de estado o, lo que es lo mismo, el modelado del sistema.

Forma Canónica Controlable Se obtiene por el método denominado de programación directa, considerando cada variable de estado como la derivada de la variable de estado anterior. Las ecuaciones de estado y de salida resultantes son como sigue:

Forma Canónica de Jordan Se aplica en este caso una expansión en fracciones parciales de la función de transferencia. Las ecuaciones de estado correspondientes se muestran a continuación para el caso en que el sistema posea n raíces distintas (p1...pn). los ci corresponden a los coeficientes de cada fracción.