Tests de hipótesis Los tres pasos básicos para testear hipótesis son 1- formular dos hipótesis opuestas 2- derivar un test estadístico e identificar su distribución muestral 3- derivar una regla de decisión y elegir una de las dos hipótesis opuestas en base a la evidencia de una muestra.

Tests de hipótesis El primer paso consiste en formular dos hipótesis opuestas, la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alternativa (H1 o HA). Por ejemplo: a) H0)  = 0 vs. H1)  = 1 b) H0)  = 0 vs. H1)   0 c) H0)   0 vs. H1)  > 0 d) H0)   0 vs. H1)  < 0

Tests de hipótesis Un test estadístico es una regla de decisión que selecciona una de las dos sentencias siguientes: “rechace H0” o “no rechace H0” para cada resultado de un experimento. El procedimiento usual implica calcular un TEST ESTADISTICO T(x1...xn) calculado a partir de la muestra de observaciones. Conociendo la distribución de T bajo la hipótesis nula y en base al valor calculado de T para la muestra se toma una decisión entre las dos posibilidades anteriores.

Tests de hipótesis El rango de valores de T para los cuales el procedimiento del test recomienda rechazar H0 se denomina “región crítica” y el rango donde se recomienda no rechazar H0 se denomina “región de aceptación”. Para cualquier tipo de test hay 3 resultados posibles: - se toma una decisión correcta, es decir se rechaza una hipótesis falsa o no se rechaza una hipótesis verdadera.

Tests de hipótesis - se rechaza una hipótesis verdadera. - no se rechaza una hipótesis falsa. El error de rechazar H0 cuando es verdadera se denomina ERROR DE TIPO I. El error de no rechazar H0 cuando es falsa se lo denomina ERROR DE TIPO II. Asociados a cada uno de estos errores hay una probabilidad que indicamos como P(I) y P(II). Idealmente deseamos mantener ambas probabilidades lo mas bajas posibles.

Tests de hipótesis Desafortunadamente cuando se intenta disminuir una de estas probabilidades, la otra aumenta. Por ejemplo, si la regla de decisión se fijara en “siempre rechace H0” tendríamos que P(II)=0 porque nunca aceptaremos una hipótesis falsa pero como contrapartida P(I)=1 para los valores del parámetro que hacen que H0 sea verdadera.

Tests de hipótesis El procedimiento clásico consiste en fijar la probabilidad máxima tolerada para el error de tipo I, P(I) y luego derivar una regla de decisión para la que la probabilidad de error de tipo II sea mínima. La probabilidad máxima de error de tipo I cuando la hipótesis nula es verdadera se denomina NIVEL DE SIGNIFICACION y generalmente se lo expresa con la letra .

Tests de hipótesis La probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa está dada por 1 - P(II) y se llama PODER DEL TEST. En la práctica el procedimiento es encontrar una regla de decisión para la que P(II) es mínimo ( es decir, el poder del test es máximo) sujeto a la restricción que P(I)   donde  es constante, generalmente fijado en los valores 0.10, 0.05 o 0.01

Tests para la media de una distribución normal Sea X una variable aleatoria con distribución normal, X  N(, 2) La hipótesis nula más común es H0)  = 0. La hipótesis alternativa puede ser unilateral o bilateral.

Tests para la media de una distribución normal Test unilateral: Ya vimos que la media muestral es un estimador de la media poblacional . Si la media observada es considerablemente mayor a la media 0 especificada en la hipótesis nula nosotros sospecharíamos que la verdadera media  es probablemente mayor que 0. De esta manera si es “grande” nosotros rechazaríamos H0)  = 0

Tests para la media de una distribución normal Para poder calcular probabilidades en la distribución de el test estadístico que utilizamos es Procedimiento: * Formulamos H0)  = 0 vs H1)  > 0 * El estadístico t se distribuye bajo H0 como una t-Student con n-1 grados de libertad.

Tests para la media de una distribución normal * En la tabla de la distribución t buscamos el valor critico que corresponde a una variable con n-1 grados de libertad y el nivel de significación fijado de antemano. * En base a la información de la muestra aleatoria, comparamos el valor observado del estadístico t con el valor que encontramos en la tabla de la distribución t-Student en el paso anterior. Si tobs > t(n-1, ) entonces rechace H0.

Tests para la media de una distribución normal Test bilateral: * Formulamos H0)  = 0 vs H1)   0 * el estadístico que utilizamos es el mismo que antes y tiene la misma distribución bajo H0. * Ahora buscamos en la tabla de la distribución t-Student con n-1 grados de libertad el valor t* de la variable tal que P(t>t*) = /2 * Si t>t* o t< -t* entonces rechace H0)

Tests para el coeficiente de correlación entre dos variables X e Y * Formulamos H0) XY = 0 vs H1) XY  0 Si la hipótesis nula no es rechazado concluimos que X e Y no están correlacionadas. El estadístico en este caso es  donde r2 es el cuadrado del coeficiente de correlación muestral entre las variables. La regla de decisión es Si F > F* entonces rechace H0.